任意角的三角函数【学习目标】1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.3．会应用三角函数的定义解决相关问题。
【要点梳理】要点一：三角函数定义设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=；(2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； (3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠. 要点诠释：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan y xα=。
要点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：正切、余切余弦、正割正弦、余割 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。
要点三：诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等sin(2)sin k απα+⋅=，其中k Z ∈cos(2)cos k απα+⋅=，其中k Z ∈tan(2)tan k απα+⋅=，其中k Z ∈要点诠释：该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。
要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.要点四：单位圆中的三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于P ，过P 作PM 垂直x 轴于M ，作PN 垂直y 轴于点N.以A 为原点建立y '轴与y 轴同向，与α的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T ')，则有向线段0M 、0N 、AT(或AT ')分别叫作α的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.要点诠释：三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴的正方向的交点的切线上；三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.【典型例题】类型一：三角函数的定义例1．已知角α的终边经过点P （－4a ，3a ）（a ≠0），求sin α，cos α，tan α的值。
【思路点拨】先根据点P （－4a ，3a ）求出OP 的长；再分a ＞0，a ＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论 【答案】35，45-，34-或35-，45，34-【解析】 5||r a ==。
若a ＞0，则r=5a ，α是第二象限角，则33sin 55y a r a α===， 44cos 55x a r a α-===-， 33tan 44y a x a α===--， 若a ＜0，则r=－5a ，α是第四象限角，则3sin 5α=-，4cos 5α=，3tan 4α=-。
【总结升华】 本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想。
三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。
要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。
举一反三：【变式1】已知角α的终边在直线y =上，求sin α，cos α，tan α的值。
【答案】1221,22--【解析】因为角α的终边在直线y =上，所以可设()(0)P a a ≠为角α终边上任意一点。
则2||r a ==（a ≠0）。
若a ＞0，则α为第一象限角，r=2a ，所以sin α==， 1cos 22a a α==，tan α==。
若a ＜0，则α为第三象限角，r=－2a ，所以sin 22a α==--，1cos 22a a α=-=-，tan aα==。
类型二：三角函数的符号例2．判断下列各三角函数值的符号（1）17tan 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）tan120°·sin269°；（3）tan191°－cos191°。
【答案】（1）正（2）正（3）正【解析】（1）因为177466πππ-=-+，且76π是第三象限角，所以176π-是第三象限角。
所以17tan 06π⎛⎫-> ⎪⎝⎭。
（2）∵120°是第二象限的角，∴tan120°＜0。
∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0。
∴tan120°·sin269°＞0。
（3）∵191°是第三象限的角，∴tan191°＞0，cos191°＜0，∴tan191°―cos191°＞0。
举一反三：【高清课堂：任意角的三角函数385947 例3】【变式1】确定下列各三角函数值的符号.（1）sin532︒；（2）23cos 12π；（3）11tan 3π-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（4）sin3.1； （5）tan 7； （6）sin(cos )cos(sin )θθ，其中θ是第二象限角.【答案】（1）正（2）正（3）正（4）正（5）正（6）负【变式2】（2015秋 甘肃定西月考）已知sin θ＜0，tan θ＞0．（1）求θ角的集合；（2）求2θ终边所在象限； （3）试判断sin cos tan 222θθθ的符号． 【答案】（1）3{|2,2,}2k k k Z πθπππ++∈；（2）略；（3）略 【解析】（1）∵sin θ＜0，∴θ为第三、四象限角或在y 轴的负半轴上，∵tan θ＞0，∴θ为第一、三象限角，∴θ为第三象限角，即θ角的集合为：3{|2,2,}2k k k Z πθπππ++∈． （2）由（1）可得：3(,)224k k θππππ∈++，k ∈Z 当k 是偶数时，2θ在第二象限， 当k 是奇数时，2θ在第四象限． （3）∵3(,)224k k θππππ∈++， ∴当k 是偶数时，2θ在第二象限， 则tan 02θ<，sin 02θ>，cos 02θ<．可得：sin cos tan 0222θθθ>， 当k 是奇数是，2θ在第四象限， 则tan 02θ<，sin 02θ<，cos 02θ>，可得：sin cos tan 0222θθθ>， 综上，sin cos tan 0222θθθ>． 类型三：诱导公式一的应用例3．（1）2515cos tan 34ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（2）sin810°+tan765°+tan1125°+cos360°。
【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值。
【答案】（1）32（2）4 【解析】（1）原式cos 8tan 434ππππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13cos tan 13422ππ=+=+=。
（2）原式= sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)=sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4。
【总结升华】 在弧度制下，与角α终边相同的角为2k πα+，k ∈Z ，在角度制下终边相同的角为k ·360°+α，k ∈Z 。
利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。
举一反三：【变式1】计算：（1）1315cos sin 34ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ （2）sin1170°+tan405°+cos720°。
【答案】（1）122+（2）3 【解析】（1）原式cos 4sin 434ππππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1212cos sin 34222ππ+=+=+=。
（2）原式= sin(3×360°+90°)+tan(360°+45°) +cos(0°+2×360°)=sin90°+tan45°+cos0°=3。
类型四：三角函数线的应用例4．（1）在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边。
①2sin 3α=；②3cos 5α=-；③tan α=2； （2）比较sin1155°与sin （―1654°）的大小。
【答案】（1）略（2）>【解析】（1）①作直线23y =交单位圆于P 、Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如下图①。
②作直线35x =-交单位圆于M 、N 两点，则OM 与ON 为角α的终边。
如下图②。
③在直线x=1上截取AT=2，其中点A 的坐标为（1，0），设直线OT 与单位圆交于C 、D 两点，则OC 与OD 为角α的终边。
如下图③。
（2）先化成0° ～360°间的角的三角函数。
sin1155°=sin(3×360°+75°)=sin75°,sin(－1654°)=sin(－5×360°+146°)=sin146°。
在单位圆中，分别作出sin75°和sin145°的正弦线M 2P 2，M 1P 1（如图）。
因为M 1P 1＜M 2P 2，所以sin1155°>sin （－1654°）。
【总结升华】 （1）三角函数线可以用来求出满足形如()f m α=的三角函数的角α的终边，这是解三角不等式及求三角函数定义域时常用到的。
（2）第（2）题主要考查公式一及单位圆中三角函数的应用，首先利用公式将1155°和1654°分别变化到0°～360°的角，然后在同一单位圆中作出它们的三角函数线，利用三角函数线即可比较出大小。
举一反三：【变式1】求证：当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin α＜α＜tan α。
【证明】如图，设角α的终边与单位圆相交于点P ，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，过点A 作圆的切线交OP 的延长线于点T ，过点P 作PM ⊥OA 于点M ，连接AP ，则：在Rt △POM 中，sin α=MP ；在Rt △AOT 中，tan α=AT 。