2.1任意角的三角函数
课前复习：
1. 特殊角的三角函数值记忆
新课讲解：
任意点到原点的距离公式：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么 （1）比值y r
叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r
叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x
叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y
叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α
的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；
③当()2k k Z π
απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等
于0，所以tan y x α=
无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值
y r 、x r 、y x 、x y
分别是一个确定的实数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
当角的终边上一点(,)P x y 221x y +=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
有向线段：带有方向的线段。
2．三角函数线的定义：
设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .
由四个图看出：
当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有 sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
o x y M T P A o x y M T
P A x y o M T P A x y o M T P A （Ⅳ） （Ⅰ） （Ⅲ）
说明：
（1）三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线 在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆 内，一条在单位圆外。
（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点。
（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
题型一：求解三角函数值
一般角：利用三角函数的定义
特殊角：先化为0至360度之间的角
)
Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()
Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ
例1．求下列各角的四个三角函数值：
（1）0； （2）π； （3）
32
π．
例2．已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的四个函数值。
变式训练1：已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。
变式训练2：角α的终边上有一点P （a ，a ），a ∈R ，a ≠0，则sin α的值是( ) A.
22 B.－22 C. 22或－22 D.1
例3．求下列三角函数的值：
（1）9cos
4π （2）11tan()6
π-，
变式训练1： .____________tan600o 的值是 D 3.D 3.C 3
3.B 33.A --
题型二：判断三角函数值在不同象限内的正负性
例4．确定下列三角函数值的符号：
（1）cos 250； （2）sin()4π
-； （3）tan(672)-； （4）11tan 3
π． 变式训练1： .________,0cos sin 在则若θθθ> B
第二、四象限 第一、四象限第一、三象限
第一、二象限.D .C .B .A
变式训练2： ____0sin20cos 的终边在则若 θθ<>θ，且 C
第二象限 第四象限 第三象限 第一象限.D .C .B .A 变式训练3： 若θ是第二象限角，则( ) A.sin 2θ＞0 B.cos 2θ＜0 C.tan 2θ＞0 D.cot 2
θ＜0 变式训练4： 若角α、β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( )
A.sin α=sin β
B.cos α=cos β
C.tan α=tan β
D.cot α=cot β
变式训练5： sin2·cos3·tan4的值( )
A.小于0
B.大于0
C.等于0
D.不存在 例5．求函数x x
x x y tan tan
cos cos +=的值域
变式训练1： 若x x sin |
sin |+|cos |cos x x +x x tan |
tan |=－1，则角x 一定不是( )
A.第四象限角
B.第三象限角
C.第二象限角
D.第一象限角
例6．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）3π
； （2）56π； （3）23π-； （4）136π
-．
课上练习：
1.有下列命题：
①终边相同的角的三角函数值相同；
②同名三角函数的值相同的角也相同；
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；
④不相等的角，同名三角函数值也不相同.
其中正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.若角α的终边经过P （－3，b ），且cos α=－5
3，则b =_________，sin α=_________. 3.在（0，2π）内满足x 2cos =－cos x 的x 的取值范围是_________.
4.已知角α的终边在直线y =－3x 上，则10sin α+3cos α=_________.
5.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第_________象限.
6.计算
=-65sin π ，=413cos π ，=43sin π ，=-3
2sin π ， 7.解答题： (1）若点(6,)P t 是角α终边上的一点，且满足0t >，3cos 5α=
，求sin α，tan α的值
（2）已知角α的终边上有一点(3,4)(0)P t t t -≠，求sin α,cos α,tan α的值；。