例1 证明下面诸命题推得的结论是有效的: 如果今天是星期三, 那么我有一次离散数学或数字逻辑测验; 如果离散数学课老师有事, 那么没有离散数学测验; 今天是星期三且离散数学老师有事, 所以, 我有一次数字逻辑测验。

证明先将各命题形式化。

设A: 今天是星期三。

B: 我有一次离散数学测验。

C: 我有一次数字逻辑测验。

D: 离散数学课老师有事。

则本题要求证: A→B∨C , D→┐B , A∧D C。

(1) A∧D（前提）
(2) A ((1),Ｉ1）
(3) A→B∨C（前提）
(4) B∨C ((2), (3), Ｉ11）
(5) D ((1), Ｉ2）
(6) D→┐B（前提）
(7) ┐B（(5), (6), Ｉ11）
(8) C（(4), (7),Ｉ10）
例2 证明三段论方法的正确性：
凡人要死。

苏格拉底是人。

苏格拉底要死。

令H(x): x是人。

M(x): x要死。

a: 苏格拉底。

则本题要证明：x(H (x)→M (x )) , H (a ) M (a )
证明
(1) H (a ) （前提）
(2) x (H (x )→M (x ))（前提）
(3) H (a )→M (a ) （(2),US）
(4) M ( a ) （(1), (3), Ｉ11
例3 用形式证明的方法证明“任何人如果他喜欢步行, 他就不喜欢乘汽车,每个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。

有的人不爱跨自行车, 所以
有的人不爱步行。

”
证明设个体域为全体人的集合。

P (x): x喜欢步行。

Q (x): x喜欢搭车。

R (x): x喜欢骑自行车。

则本题要证明:
x (P (x)→┐Q (x )), x (Q (x )∨R (x )) , x┐R (x ) x┐P (x )本题证明树如图2―2。

其证明过程如下:
(1) x ┐R (x)（前提）
(2) ┐R (c ) （(1), ES）
(3) x (Q (x )∨R (x)) （前提）
(4) Q (c )∨R (c ) （(3), US）
(5) Q (c)（(2), (4),Ｉ10）
(6) x (P (x )→┐Q (x )) （前提）
(7) P (c )→┐Q (c)（(6), US）
(8) ┐P (c ) （(5), (7), Ｉ12）
(9)x┐P (x) （(8), EG）
例4 将下列推理符号化, 并推证其结论:
所有有理数是实数, 某些有理数是整数, 因此某些实数是整数。

解：设
R(x)：x是实数。

Q(x)：x是有理数。

I(x)：x是整数。

则上述推理可符号化为：x(Q(x)→R(x))，x(Q(x)∧I(x)) x(R(x)∧I(x))。

结论推证如下：
① x(Q(x)∧I(x)) (前提)
②Q(a)∧I(a) (①，ES)
③Q(a) (②，I1)
④I(a) (②，I2)
⑤x(Q(x)→R(x)) (前提)
⑥Q(a)→R(a) (⑤，US)
⑦R(a) (③，⑥，I11)
⑧R(a)∧I(a) (④，⑦，I9)
⑨ x(R(x)∧I(x)) (⑧，EG)
∴x(Q(x)→R(x))， x(Q(x)∧I(x)) x(R(x)∧I(x))。