例如 设论域为自然数。
P( x)：x 是偶数
Q( x)：x 是 素 数
因为存在一个自然数2，2既是偶数又是素数，所以 公式成立。
反之若设
P( x)：x 是偶数
Q( x)：x 是 奇 数
则∃xP(x)∧∃xQ(x) 为真，但论域中不存在一个自
然数既是偶数又是奇数，使得∃x(P(x)∧Q(x)) 为真，
都为前束范式，而下列各式不是前束范式。
xP( x) Q( x) xP( x) xQ( x) x(P( x) xQ( x))
谓词公式转化为前束范式的步骤： ①利用等价公式把公式的联结词归化。 ②利用量词转换律和德•摩根律，把公式中的否定 联结词移到原子命题函数前面。 ③利用约束变元的换名规则和自由变元的代入规 则，使所有约束变元和自由变元不同名。 ④将所有量词按其出现的先后顺序移到公式前面。
则称P永真蕴含Q，简称为P蕴含Q，记为P⇒Q 。
前面介绍了全称量词可以对合取式进行分配，存在量 词可以对析取式进行分配。我们不觉要问，全称量词对析 取式、存在量词对合取式究竟有什么关系呢？ （1）存在量词对合取式的蕴含式
x(P( x) Q( x)) xP( x) xQ( x)
证明：假设前件∃x(P(x)∧Q(x)) 为真，则论域中至少存在 一个个体c ，使得P(c)∧Q(c) 为真。所以P(c)为真、Q(c)也 为真 。 即∃xP(x)为真、∃xQ(x)也为真 。因此， ∃xP(x)∧∃xQ(x) 为真。
例2-13将下列公式转换成前束范式。
(1) xP( x) xQ( x)
(2) xP( x) xQ( x)
(3) x(P( x) yQ( x, y, z) zR( x, y, z))
解(1): xP( x) xQ( x)
xP( x) xQ( x) xP( x) xQ( x)
一 元 谓 词F( x) : x 3,G( x) : x 5, R( x) : x 7; 在I下 求 下 列 各 式 的 真 值 。
(1) xF( x) G( x) (2) xR( x) F( x) (3) xF( x) G( x)
练 习2： 设I是 如 下 一 个 解 释 ：
由以上四点我们可以得到一组常用的谓词等价公式 如下：
xP( x) xP( x)
E16
xP( x) xP( x)
E17
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
E18
x(P( x) Q( x)) xP( x) xQ( x)
E19
x( A( x) B) xA( x) B
(xP( x) xQ( x)) x(P( x) Q( x)) (xP( x) xQ( x)) x(P( x) Q( x)) (xP( x) xQ( x)) x(P( x) Q( x)) (xP( x) xQ( x)) x(P( x) Q( x))
（二）量词转换律
我们将否定符移到量词后面时，全称量词变为存 在量词，存在量词变为全称量词。反之，量词后 面的否定符移到量词的前面时，也要作相应的改 变，这种量词与否定的关系是普遍成立的，人们 习惯称之为量词转换律
xP( x) xP( x)
xP( x) xP( x)
（三）量词辖域的扩张和收缩
P( x) Qபைடு நூலகம் x) P( x) Q( x)
( A B) A B
(P(x) Q(x)) P(x) Q(x)
A B A B
xP(x) xQ(x) xP(x) xQ(x)
( A B) A B (xP( x) xQ( x)) xP( x) xQ( x)
都同姓。 从上述例子中可知，相同量词的出现顺序可以交换，而不同 量词出现的顺序不可以交换，但它们之间存在着蕴含关系。
xyP( x, y) yxP( x, y)
证明：设xyP(x, y) 为真，则至少存在一个个体x c ，使得对 于所有 y, P( x, y)为真。即 P(c, y) 为真，所以 yP(c, y)为真， yxP( x, y) 为真。 该公式的逆反命题为：
x(P( x) Q( x)) x(P( x) Q( x))
解(2): xP( x) xQ( x) xP( x) xQ( x) xP( x) xQ( x) xP( x) yQ( y) xy(P( x) Q( y)) xy(P( x) Q( y))
（1）若量词辖域中是合取式或析取式，则不受约束的谓词公 式可以直接进入和退出该辖域。
（2）若量词辖域是条件命题的前件，则作为后件的不受约 束的谓词公式不能直接进出该辖域。
xA( x) B x( A( x) B)
xA( x) B x( A( x) B)
（3）若量词辖域是条件命题后件，则作为前件不受约束的谓 词公式可以直接进出该辖域。
练 习3： 已 知 个 体 域D {a, b, c},消 去 下 列 公式的量词：
1) xR( x) xS( x); 2) x(R( x) S( x)); 3) x(P( x) Q( x)).
2.5 谓词演算中的永真蕴含公式
定义2-18 设P、Q为谓词公式，若P→Q为永真式，
E20
x( A( x) B) xA( x) B
E21
x( A( x) B) xA( x) B
E22
x( A( x) B) xA( x) B
E23
xA( x) B x( A( x) B)
E24
xA( x) B x( A( x) B)
x(P( x) yQ( x, y, z) zR( x, y, z))
x(P( x) uQ( x,u, z) zR( x, y, z))
x(P( x) uQ( x, u, z) vR( x, y,v))
xuv(P( x) Q( x, u, z) R( x, y,v)) xuv((P( x) Q( x, u, z)) R( x, y,v))
D 2,3;
a f (2) f (3) F (2) F (3) ,,,,,
23 2 0 1
G(2,2) , G(2,3) , G(3,2) , G(3,3) ;
1
1
1
1
试 求 下 列 公 式 在I下 的 真 值 ：
(1)xF( x) G( x,a)
(2)xF f ( x) Gx, f ( x)
E25
B xA( x) x(B A( x))
E26
B xA( x) x(B A( x))
E27
（五）前束范式 定义2-17 在谓词公式中，如果所有量词都出现在公式的 最前面，且其辖域为整个公式，则称该谓词公式为前束范 式。 例如：
x(P( x) Q( x)) x(P( x) Q( x))
第二章 谓词逻辑
第四讲
回顾
两个谓词公式的个体变元必须有相同的 个体域才能讨论其是否等价。
定义2-13 两个有相同个体域E的谓词公式A和B， 若对两个谓词公式所有变元的任一组赋值，所得 命题真值相同，则称这两个谓词公式在指定个体 域E上等价。记为 A B 。
（一）命题公式的推广
A B A B
yxP( x, y)
yxP( x, y)
xyP( x, y) yxP( x, y)
yxP( x, y)
xyP( x, y)
其中xyP( x, y)和yxP( x, y含) 义相同，xyP( x, y)和 yxP(x, y)
含义相同。后面四种情况经过换名后实际上只有两种情况。 即xyP(x, y) 和 xyP( x, y) 。 例如 设x的个体域为甲班，y 的个体域为乙班。
xuv((P( x) Q( x, u, z)) R( x, y,v))
xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an )
xF ( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an )
练 习1： 设 解 释I为 ：
个 体 域D 2,3,6;
例2-14 证明 xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) 证明：xA( x) xB( x) xA( x) xB( x)
xA( x) xB( x) x(A( x) B( x))
x( A( x) B( x))
P(x, y) ：表示同姓。则
xyP( x, y) ：表示甲班每个人和乙班所有人同姓。 yxP(x, y) ：表示乙班每个人和甲班所有人同姓。
所以甲班和乙班所有人同姓，即xyP(x, y) yxP(x, y)
同理可得：xyP( x, y) yxP( x, y)
仍以上述例子讨论其它两种情况： xyP(x, y)：甲班每个人在乙班中可以找到同姓的人。 xyP(x, y) ：甲班有人与乙班中所有人同姓。此时乙班所有人
分别用A( x)、B ( x)替换P( x)和Q( x)，得
(xA( x) xB( x)) x( A( x) B( x))为真。
xA( x) xB( x) x( A( x) B( x))
（3）其它蕴含式
xP( x) xP( x)
证明：设论域为D，∀xP(x)若为真，则对于论域中的任一个 体c，P(c)为真。根据定义∃xP(x)为真。所以蕴含式成立。
yxP( x, y) xyP( x, y)
所以有两个量词的谓词公式有如下的蕴含关系：
xyP( x, y) yxP( x, y) yxP( x, y) xyP( x, y) yxP( x, y) xyP( x, y) xyP( x, y) yxP( x, y) xyP( x, y) yxP( x, y) yxP( x, y) xyP( x, y)