L不显含时间，因此能量守恒： 在此已经有3个独立的运动积分了，原则上可以把欧拉角参数随时 间变化的关系解出
第四部分：关于应考
一、往年试卷的解读 2017年试卷考察了有心力场，通过拉格朗日函数求哈密顿函数， 判断正则变换，求母函数，求变换后的哈密顿函数，泊松括号，哈 密顿雅可比方程，刚体主转动惯量和主轴，欧拉刚体动力学方程； 2018年试卷考察了首次积分，通过拉格朗日函数求哈密顿函数， 正则方程，泊松括号，判断正则变换，求母函数，求变换后的哈密 顿函数，哈密顿雅可比方程，刚体动能（或拉格朗日函数），刚体 拉格朗日力学，求刚体欧拉角
重要知识点和基本方法： 1.勒让德变换和哈密顿函数（注意！哈密顿函数的自变量和拉格朗 日函数不同！） 2.修正的哈密顿变分原理，正则方程 3.劳斯函数，了解其即有“拉格朗日”部分也有“哈密顿”部分 4.正则变换，要求掌握判断xx变换是不是正则变换和求生成函数 5.泊松括号，要求掌握基本性质，算法和物理意义 6.哈密顿雅可比方法 注明：勒让德变换仅仅要求会用，经典力学的延伸不考！
二、关于复习范围 期中前内容约占1/3，期中后内容约占2/3 课本需要复习的章节，黑体字为重点： 1.3，1.4，1.5；2.1，2.2；3.1，3.2，3.3，3.4；4.2，4.3，4.4 着重复习课本的基本概念，基本例题，基本方法，基本习题（以布 置过的作业题为准）；要求概念清晰（特别是近似的概念不要混 淆！），例题的方法熟练掌握，习题一看就有思路 不考的地方包括：群论，流形，广义相对论 注意：期末考试题目都很正则，解法很机械，不会有偏难怪题目
4.正则变换
四类生成函数（也叫母函数）：
根据偏微分关系可以通过生成函数求出广义动量或坐标，以第一类 生成函数为例：
第二，三，四类生成函数同理
5.泊松括号
定义： 基本性质：
6.哈密顿雅可比方法
第三部分：刚体专题
本章是重点！基本知识点和基本方法： 1.刚体的定义：刚体中任意两点的距离保持不变，自由刚体的自由 度为6。包括平动（同质点，自由度3），定轴转动（自由度1）， 定点转动（自由度3），平面平行运动（2平动自由度，1定轴转动 自由度），一般运动（自由度6），要求了解，因此仅在此简介 2.刚体上某点运动的描述：旋转中心速度和旋转速度叠加 3.欧拉角的定义与转动矩阵，刚体运动学 4.惯量张量和惯量主轴，刚体动能和角动量 5.欧拉动力学方程 6.几种典型刚体：欧拉陀螺，特别是对称欧拉陀螺；拉格朗日陀螺 注明：只对几种简单的有解析解的情形做要求
1.勒让德变换和哈密顿函数
2.正则方程和修正的变分原理
根据哈密顿量的定义和拉格朗日方程推导正则方程
利用拉格朗日方程： 比较系数可以得到正则方程：
以及
修正的哈密顿变分原理：δ S=0
使用分部积分：
因此：
使用哈密顿函数的定义可以验证正则方程和拉格朗日方程等价
哈密顿力学的解题一般步骤： （1）写出拉格朗日函数，这一步在拉格朗日力学中已经讲过 （2）写出广义动量，做勒让德变换 （3）改变自变量得到哈密顿函数 （4）写出正则方程，并将其化简 （5）数学上解正则方程
3.循环坐标和劳斯函数法
劳斯函数法解题一般步骤： （1）写出拉格朗日函数，这一步在拉格朗日力学中已经讲过 （2）找到循环坐标，写出守恒的广义动量 （3）对循环坐标部分做勒让德变换 （3）改变自变量得到劳斯函数，且将守恒的广义动量代入化简 （4）对非循环坐标写出拉格朗日方程，并将其化简 （5）数学上解正则方程
致谢
最后由衷感谢袁业飞老师，袁铭同志和各位同学对我工作的支持。 由于本人能力和时间都有限，工作中难免发生过疏忽和错漏，在此 深表歉意，望大家海涵。如果大家对我的工作比较满意，欢迎大家 下个学期选王少杰老师的电动力学，我乐意继续给大家担任助教。 谢谢大家！ 肖诗麒 2019.1.4
理论力学期末复习
肖诗麒 2019.1.4
知识框架
牛顿力学 ↓←达朗贝尔原理+约束与广义坐标概念（位形空间） ↓←哈密顿变分原理←引入数学：变分法 拉格朗日力学→应用：中心力场，振动，电磁场，连续介质，刚体 ↓→延伸：诺特定理，对称和守恒 ↓←勒让德变换，相空间 ↓←修正哈密顿原理 哈密顿力学→泊松括号，正则变换，劳斯函数，哈密顿雅可比方法 ↓ 经典力学的延伸：刘维尔定理，位力定理，定态薛定谔方程
6.几个重要的例子
重要概念： 本体圆锥：转动瞬轴（即角动量矢量方向）转动过程中在本体系扫 出的圆锥 空间圆锥：在惯性系中角动量守恒，转动瞬轴绕角动量转动扫出的 圆锥
拉格朗日陀螺：尖端固定，重力场中的对称陀螺 保守力场，方便使用拉格朗日力学求解 发现φ 和ψ 是循环坐标！因此对应的广义动量守恒！
1.变分原理与变分法
2.拉格朗日函数，拉格朗日方程，拉格朗 日力学
3.广义动量与循环坐标
4.对称与守恒
（1）运动积分概念：求解拉格朗日方程需要引入的积分常数，也 叫首次积分，第一积分 （2）需要掌握的是能量守恒，动量守恒，角动量守恒 （3）诺特定理了解即可，不需要掌握
时间平移不变性和能量守恒：
说明
本PPT分为4个部分，即 第一部分：拉格朗日力学回顾 第二部分：哈密顿力学 第三部分：刚体专题 第四部分：关于应考
第一部分：拉格朗日力学回顾
重要知识点与基本方法： 1.变分原理与变分法 2.拉格朗日函数，拉格朗日方程，拉格朗日力学 3.广义动量，特别是循环坐标→广义动量守恒 4.对称性与守恒律（只要求动量，能量和角动量） 主要应用： 5.中心力场；6.振动；7.电磁场 8.刚体（非常重要！因此第三部分专门讲这一点） 注明：达朗贝尔原理期末不做要求，连续介质不考，广义相对论绝 对不考！
3.欧拉角和刚体运动学
4.惯量张量，刚体动能和角动量
5.欧拉刚体动力学方程
刚体动力学问题一般解题步骤： （1）求出惯量张量 （2）将惯量张量对角化，求出惯量主轴和主转动惯量 注意：可以利用刚体几何的对称性直接猜出惯量主轴！ （3）求出外力矩在惯量主轴上的分量，列欧拉动力学方程并求解 （4）最后求出欧拉角随时间的变化 或者： （5）根据其运动形式利用欧拉动力学方程求所受外力矩
五、大家担心的事情 1.现在课程已经结束，一个学期的表现基本上决定了期末分数，哪 怕有涨落也不会太大。因此过多的担心发挥是没必要的 2.最终总评的成绩预计按照平时20%，期中30%，期末50%给出； 但期中和期末的比例可以调整，即考得较好的一次加权较高 3.据统计，大家作业成绩平均19/20，这样作业分会拉一下大家的 总评，一般来说总评会比期末高 4.事实证明袁老师最后会调分，优秀率给到上限，往届学生对理论 力学总评基本满意 5.如果大家有需要，我们可以最后安排也很固定： 1.通过拉格朗日函数求哈密顿函数。方法：勒让德变换 2.（1）判断正则变换。方法：雅可比行列式或者全变分条件 （2）求母函数和变换后的哈密顿函数。方法：使用定义 3.泊松括号的计算和应用。方法：使用定义和性质 4.哈密顿雅可比方程。方法：分离变量 5.刚体转动惯量和动能，动力学方程，求欧拉角。方法：使用定义
三、关于考试给出的参考公式
四、关于考试过程的几点建议 1.先易后难：每道题先写出拉格朗日函数，哈密顿函数，基本方程 等基本点，有时间再写方程求解，积分计算等内容。毕竟这是物理 考试而不是数学考试，结果没算出来扣不了多少分 2.基本点尽量认真，力求少犯错，避免扣掉无谓的分！ 3.相关公式请看附录 4.读题一定要仔细，不要带有预先的想法而理解错题目的意思；相 近的概念一定要看清；务必看清题目问的是什么
空间平移不变性和动量守恒：
空间转动不变性和角动量守恒：
因此，拉格朗日力学解体步骤可以改进： （1）确定自由度和广义坐标 （2）写出拉格朗日函数 （3）找出守恒量以减少需要求解的自由度 （4）写出拉格朗日方程并化简 （5）在数学上解方程
5.中心力场（2维问题）
6.振动
7.电磁场
第二部分：哈密顿力学