立体几何专题练习卷一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．正方体DC B A ABCD 111-的棱长为a ，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的大小是__________．2．已知某铅球的表面积是2484cm π，则该铅球的体积是___________2cm ．3．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为4arccos5，则该圆锥的体积为___________．4．在长方体1111ABCD A B C D -中，若12,1,3AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成的角θ可用反三角函数值表示为θ=____________．5．若取地球的半径为6371米，球面上两点A 位于东经O12127'，北纬O 318'，B 位于东经O12127'，北纬O 255'，则A B 、两点的球面距离为_____________千米(结果精确到1千米)．6．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π15 2cm ，则此圆锥的体积为__________3cm ．7．若圆锥的底面半径和高都是2，则圆锥的侧面积是_____________． 8．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A B C 、、为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC ∠=____________.9．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为__________cm. （精确到0.1cm ）10．如图，用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45︒，容器的高为10cm ．制作该容器需要铁皮面积为__________cm2．（衔接部分忽略不计，结果保留整第9题数）11．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是__________ .12．如右下图，ABC ∆中， 90=∠C ，30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于N ），则图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为__________ ．13．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥， 则该圆锥与圆柱等底等高。

若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为__________14．一个圆锥形的空杯子上面放着一个球形的冰淇淋，圆锥底的直径与球的直径相同均为10，如果冰淇淋融化后全部流在空杯子中，并且不会溢出杯子，则杯子的高度最小为____________．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分） 15．如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）ABC D A 1B 1C 1D 1P(1)(2)(3)(4)A. (1)、(2)、(3)、(4)B.(1)、(3)C.(1)、(4)D.(2)、(4) 16．给出下列命题：(1)三点确定一个平面；(2)在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；(3)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；(4)若直线a b c 、、满足,a b a c ⊥⊥、则//b c .其中正确命题的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个17. 已知长方体的表面积是224cm ，过同一顶点的三条棱长之和是6cm ，则它的对角线长是（ ）B. 4cmC.D.18．用一个平面去截正方体，所得截面不可能是 （ ）．（A ） 平面六边形； （B ）菱形； （C ）梯形； （D ）直角三角形三、解答题（本大题满分74分）19．（满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图：三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，若底 面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC所成的角为3π．若M 是BC 的中点，求： （1）三棱锥ABC P -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，060=∠ABC ，⊥PA 平面ABCD ，PC 与平面ABCD 所成角的大小为2arctan ，M 为 PA 的中点．（1）求四棱锥ABCD P -的体积；（2）求异面直线BM 与PC 所成角的大小（结果用 反三角函数表示）．21. （本题满分14分）第1小题8分，第2小题6分.如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，且已知163P ABCD V -=.(1)求球O 的表面积；(2)设M 为BC 中点，求异面直线AM 与PC 所成角的大小.A PABCDMDCBA PO22．（本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12C C A CB C===，90ACB ∠=︒. （1） 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图；（2） 若P 是1AA 的中点，求四棱锥111B C A PC -的体积.23．（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分） 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC AC BC ==，90ACB ∠=︒，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点.（1）求异面直线PQ 与1B C 所成角的大小；（2）若直三棱柱111ABC A B C -的体积为12，求四棱锥1C BAPB -的体积.ABC1A 1B 1C 第22题图ABC1A 1B 1C P立体几何专题练习卷答案一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．正方体DC B A ABCD 111-的棱长为a ，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的大小是__________． 答案：60︒2．已知某铅球的表面积是2484cm π，则该铅球的体积是___________2cm ． 答案：413313π⨯ 3．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为4arccos5，则该圆锥的体积为___________． 答案：16π4．在长方体1111ABCD A B C D -中，若12,1,3AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成的角θ可用反三角函数值表示为θ=____________．答案：5．若取地球的半径为6371米，球面上两点A 位于东经O12127'，北纬O318'，B位于东经O12127'，北纬O 255'，则A B 、两点的球面距离为_____________千米(结果精确到1千米)． 答案：6736．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π15 2cm ，则此圆锥的体积为__________3cm ．答案：π127．若圆锥的底面半径和高都是2，则圆锥的侧面积是_____________．答案：8．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A B C 、、为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC ∠=____________.答案：3π9．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为__________ cm. （精确到0.1cm ）答案：8.310．如图，用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45︒，容器的高为10cm ．制作该容器需要铁皮面积为__________cm2．（衔接部分忽略不计，结果保留整数）答案：444 cm 211．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是__________ . 答案：6012．如图，ABC ∆中， 90=∠C ，30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于N ），则图 中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为__________ ．答案：π273513．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高。

若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的 侧积面与圆锥的侧面积之比为__________ 答案：214．一个圆锥形的空杯子上面放着一个球形的冰淇淋，圆锥底的直径与球的直径相同均为10，如果冰淇淋融化后全部流在空杯子中，并且不会溢出杯子，则杯子的高度最小为____________． 答案：20二、选择题（本大题满分20分，每小题5分） 15．如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）ABC D A 1B 1C 1D 1P(1)(2)(3)(4)A. (1)、(2)、(3)、(4)B.(1)、(3)C.(1)、(4)D.(2)、(4)答案：C16．给出下列命题：(1)三点确定一个平面；(2)在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；(3)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；(4)若直线a b c 、、满足,a b a c ⊥⊥、则//b c .其中正确命题的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：B17. 已知长方体的表面积是224cm ，过同一顶点的三条棱长之和是6cm ，则它的对角线长是（ ）B. 4cmC.D.答案：D18．用一个平面去截正方体，所得截面不可能是 （ ）．（B ） 平面六边形； （B ）菱形； （C ）梯形； （D ）直角三角形答案：D三、解答题（本大题满分74分）19．（满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图：三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，若底 面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABCA所成的角为3π．若M 是BC 的中点，求： （1）三棱锥ABC P -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． [解]（1）因为⊥PA 底面ABC ，PB 与底面ABC 所成的角为3π所以 3π=∠PBA ………2分 因为2=AB ，所以32=PB …………4分2324433131=⋅⋅⋅=⋅=∆-PA S V ABC ABC P ………………6分（2）连接PM ，取AB 的中点，记为N ，连接MN ，则AC MN // 所以PMN ∠为异面直线PM 与AC 所成的角 ………………7分 计算可得：13=PN ，1=MN ，15=PM ………………9分101515213151cos =-+=∠PMN ………………11分 异面直线PM 与AC 所成的角为1015arccos………………12分 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，060=∠ABC ，⊥PA 平面ABCD ，PC 与平面ABCD 所成角的大小为2arctan ，M 为 PA 的中点．（1）求四棱锥ABCD P -的体积；（2）求异面直线BM 与PC 所成角的大小（结果用 反三角函数表示）． 答案：解：（1）连结AC ，因为⊥PA 平面ABCD ， 所以PCA ∠为PC 与平面ABCD 所成的角……（2分）由已知，2tan ==∠ACPAPCA ，而2=AC ， 所以4=PA ．……（3分）底面积3260sin 220=⋅⋅=S ，……（4分） 所以，四棱锥ABCD P -的体积MDCBA PO3384323131=⋅⋅==Sh V ．……（6分） （2）连结BD ，交AC 于点O ，连结MO ，因为M 、O 分别为PA 、AC 的中点，所以MO ∥PC ，所以BMO ∠（或其补角）为异面直线BM 与PC 所成的角．……（8分） 在△BMO 中，3=BO ，22=BM ，5=MO ，……（10分） （以下由余弦定理，或说明△BMO 是直角三角形求得）46arcsin=∠BMO 或410arccos 或515arctan ．……（13分） 所以，异面直线BM 与PC 所成角的大小为46arcsin （或另外两个答案）．……（14分.21. （本题满分14分）第1小题8分，第2小题6分.如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，且已知163P ABCD V -=.(1)求球O 的表面积；(2)设M 为BC 中点，求异面直线AM 与PC 所成角的大小.答案：解：(1)16S π=； (2)arccos1022．（本题满分16分，第1小题7分，第2小题9分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12C C A CB C ===，90ACB ∠=︒.（1） 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图；（2） 若P是1AA 的中点，求四棱锥111B C A PC -的体积.答案：ABC1A 1B 1C 第22题图PABCD22⎤⋅=⎥⎦23．（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC AC BC ==，90ACB ∠=︒，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点.ABC1A 1B 1C P（1）求异面直线PQ 与1B C 所成角的大小；（2）若直三棱柱111ABC A B C -的体积为12，求四棱锥1C BAPB -的体积. 解：（1）如图，建立空间直角坐标系.不妨设12CC AC BC ===.依题意，可得点的坐标()2,0,1P ，()1,1,0Q ，()10,2,2B .于是，()1,1,1PQ =-- ，()10,2,2B C =-- .由10PQ B C ⋅= ，则异面直线PQ 与1B C 所成角的大小为2π. （2）解：连结CQ . 由AC BC =，Q 是AB 的中点，得CQ AB ⊥; 由1AA ⊥面ABC ，CQ 面ABC ，得1C Q A A ⊥.又1AA AB A = ，因此CQ ⊥面11ABB A 由直三棱柱111ABC A B C -的体积为12⇒11CC AC BC ===.可得2CQ =. 所以，四棱锥1C BAPB -的体积为1111111133224C BAPB BAPB V CQ S -⎡⎛⎫=⋅⋅=+= ⎪⎢⎝⎭⎣.。