厦门一中立体几何专题一、选择题（10 X 5' =50 '）1•如图，设0是正三棱锥 P-ABC 底面三角形 ABC 的中心， 过0的动平面与P-ABC 的三条侧棱或其延长线的交点分别记 为 Q 、R 、S ,则-11 1（ ）PQ PR PSA. 有最大值而无最小值B. 有最小值而无最大值C. 既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等D. 是一个与平面QRS 位置无关的常量2•在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 （A., B., C. 0,D.nn2n的面积的取值范围是（）若B €a ,C €3 ,则厶ABC 的周长的最小值是（ ）B.2 .75.如图，正四面体 A-BCD 中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上,使得詈 Cy =入（0＜入＜+m ），记f （入）=a x+ 3入，其中a 入表示EF 与AC 所成的角，3入表示EF 与BD 所成的角，贝U（ ）A. f （入）在（0,+ g ）单调增加B. f （入）在（0,+ g ）单调减少C. f （入）在（0,1）单调增加，在（1,+ g ）单调减少D. f （入）在（0,+ g ）为常数合是 （）A. 一条直线B. —个平面C.两条平行直线D.两个平面7.正四棱锥底面积为 Q ,侧面积为S ,则它的体积为 （）A. 1 Q （S2Q 2）B. 1 Q （S2Q 2）6 •3 'C. 1 -Q(S2Q 2)23•正三棱锥P-ABC 的底面边长为 2a,点E 、F 、G 、H 分别是 PA 、PB 、BC 、AC 的中点，则四边形 EFGHA.(0,+ g )B.C.D. ^a 2, 24.已知二面角a -a-3为60°,点A 在此二面角内，且点A 到平面a 、3的距离分别是AE=4, AF=2,6.直线a //平面3，直线a 到平面3的距离为 1，则到直线a 的距离与平面3的距离都等于7的点的集第5题图D.f QS第1题图8. 已知球O的半径为R, A、B是球面上任意两点，则弦长|AB|的取值范围为（）B.(0,2R]C. ( 0,2R )D. : R,2R ]9•已知平面aQ 平面B =l,m 是平面a 内的一条直线，则在平面B 内A. .—定存在直线与直线 m 平行，也一定存在直线与直线B. —定存在直线与直线 m 平行，但不一定存在直线与直线C. 不一定存在直线与直线 m 平行，但一定存在直线与直 线m 垂直D. 不一定存在直线与直线 m 平行，也不一定存在直线与 直线m 垂直10. 如图为一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折11. ______________________________________________________________________ 边长为a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值为 __________________________ ;推广到空间，棱长为a 的正四面体内任一点到各面距离之和为 ______________12. 在厶ABC 中，AB=9, AC=15，/ BAC=120°,其所在平面外一点 P 到A 、B 、C 三个顶点的距离都是14,贝U P 点到直线 BC 的距离为 _____________ . 13. 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起， 恰得到一个所有二面角都相等的六面体， 并且该六面体的最短棱的长为 2,则最远的两顶点间的距离是 _______________ .14. ___________________________________________________________________ 有120个等球密布在正四面体 A-BCD 内，问此正四面体的底部放有 ___________________________ 个球. 三、解答题(4X 10' +14' =54')15. 定直线11丄平面a ，垂足为M ，动直线12在平面a 内过定点 N ,但不过定点 M.MN=a 为定值，在11、12上分别有动线段 AB=b,CD = c.b 、c 为定值.问在什么情况下四面体 ABCD 的体积最大？最大值是多少？AC 的中点，求:(1) PM 与FQ 所成的角； (2) P 点到平面 EFB 的距离； (3 )异面直线PM 与FQ 的距离.16.如图所示，已知四边形 ABCD 、EADM 和MDCF 都是边长为 a 的正方形，点 P 、Q 分别是ED 和A. : 0,2 R ] m 垂直A.6B.7C.8D.9、填空题 (4X 4 ' =16')叠即可还原)，则这个多面体的顶点数为 (第16题图连结人丘‘将厶DAE 沿AE 折起到△ D 1AE 的位置，使得/(1)试用基向量 AB , AE , AD 1表示向量OD 117.如图，在梯形 ABCD 中，AB // CD ,/ ADC = 90° ,3AD=DC=3,AB=2,E 是 CD 上一点，满足 DE = 1 ,D 1AB = 60° ,设AC 与BE 的交点为O.(2) 求异面直线OD i与AE所成的角.(3) 判断平面D i AE与平面ABCE是否垂直，并说明理由第17题图18. 如图，在斜棱柱ABC —A i B i C i中，底面为正三角形，侧棱长等于底面边长，且侧棱与底面所成的角为60°顶点B i在底面ABC上的射影O恰好是AB的中点.(i)求证：B i C± C i A;(2 )求二面角C i-AB-C的大小.第i8题图i9.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC , BC=2a,AC=a,AB=、3 a,点P到平面ABC的距离为 | a.(i )求二面角P-AC-B的大小；(2)求点B到平面FAC的距离.第i9题图立体几何练习参考答案一、选择题 1.D 设正三棱锥P-ABC 中，各棱之间的夹角为a，棱与底面夹角为B ,h 为点S 到平面PQR 的距离，1 11则 V S -PQR = 3S ^PQR • h= — ( — PQ • PR • sin a ) • PS • sin B ,另一方面，记 O 到各平面的距离为 d,则有33 211 1 dV S -PQR =V O -PQR +V O -PRS +V O -PQS =S ^PQR °d+ S ^PRS ，d+S^PQS -d=3333a + d • - -PQ -PS-sin a •故有 PQ -PR -PS-sin B =d(PQ -PR+PR -PS+PQ -PS),即旦—-PQ -PR -sin a +— •丄 PS ・PR ・sin2321 1 _ sinPR PS d3 2 PQ 常量.2.B 设正n 棱锥的高为h,相邻两侧面所成二面角为B .当h f 0时，正n 棱锥的极限为正n 边形，这时 相邻两侧面所成二面角为平面角，即二面角Qfn.当h fg 时，正n 棱锥的极限为正n 棱柱，这时相邻两侧面所成二面角为正n 边形的内角，nEFGH 为矩形，当 P f 底面△ ABC 的中心O 时，矩形EFGH f 矩形E i F i GH.3a=_Aa 23 34. C 如图，I a 丄AE,a 丄AF,「. a 丄平面 AEF.设a 交平面 AEF 于点G ,则/ EGF 是二面角a -a-3的平面角，/ EGF=60° ,/ EAF=120。

，且易知当 △ ABC 的周长最小时， B € EG,C € FG.设点A 关于平面a 的对称点为 A '，点A 关于平面3的对称点为 A 旌结A ' A 〃，分别交线段EG 、FG 于点B 、C,则此时△ ABC 的周长最短，记为I.由中位线定理及余弦定理得l=2EF=2 42222 4 2cos120 =4.7.5. D 因为 ABCD 是正四面体，故 AC 丄BD,作 EG // AC 交 BC 于G ,连结 GF ，则a 入=/ GEF,且CG AE CF GBEBFD ,• GF // BD,故 GF 丄 EG,且3 入=/ EFG, • f （入）=a "3 入=90 ° 为常数. 6. C 这两条直线在距a 为-的平面上，分布在 a 在该平面上的射影的两侧.57. A 设正四棱锥各棱长均为 1,则Q=1 , S= 3，此时，正四棱锥的高 h=—,2 •- V= -Qh= 2將Q=1 , S=、3代入选择支，知A 正确.3 6 8. B 考虑A 、B 两点在球面上无限靠近但又不重合，及 A 、B 两点应为直径的两端点时的情况.点评 若忽视几何里的两点、两直线、两平面等均应是相异的两兀素，就会误选A ，球的最长弦就是直径，但球没有最短弦.9. C 若m // I ，则3内必有与 m 平行的直线；若 m 与I 相交，则3内无直线与 m 平行.n .故选B.3.B 如图，易知四边形S 矩形 E 1F 1GH =ElF 1 FlG =a即S 矩形EFGH T v '3 a 2当3 P TS 时，S 矩形 EFGH fg .S 矩形 EFGH € — a23.故选B.%第4题图解第3题图解•••不一定存在直线与直线 m 平行，排除A 、 B.又B 内一定存在与 m 在B 内的射影垂直的直线， 由二垂线定理知，B 内一定存在直线与m 垂直,故选C.10. B 本题考查简单多面体的表面展开与翻折， 着重考查考生的空间想像能力，该多面体是正方体切割掉一个顶点，故有 7个顶点. 二、填空题11. 』a;—本题通过等积找规律.2 312. 2 ,7 分析 P 点到A 、B 、C 距离相等，故P 点在平面ABC 上的射影是三角形 ABC 的外心，故 可由△ ABC 的已知条件求出厶 ABC 外接圆半径，进而求得 P 点到平面ABC 的距离，及外心到直线 BC 的 距离，从而最终解决问题•解记P 点在平面ABC 上的射影为 0,则AO 、BO 、CO 分别是PA 、PB 、PC 在平面ABC 上的射影 PA=PB=PC ,• OA=OB=OC , • OABC 的外心.在厶 ABC 中，BC= ,92152 9 15 =21由正弦定理，2R=」，.•• R=7.、3sin 120P 点到平面ABC 的距离为 1427 327 .•/ OP 丄平面 ABC , OD 丄 BC,「. PD 丄 BC.O 点到直线BC 的距离OD = (A3)221223（D为BC边的中点）13.3女口图所示，作 CE 丄AD ，连结EF ，易证EF 丄AD, 则/ CEF 为面ADF 和面ACD 所成二面角的平面角•设G 为 CD 的中点，同理/AGB 为面ACD 和面BCD 所成二面角的 平面角，由已知/ CEF = / AGB.设底面△ CDF 的边长为2a,侧棱AD 长为^在厶ACD 中，AG 2ab2 a 22aCE • b=AG • 2a,所以 CE=—bb在厶 ABC 中，易求得 AB=2 . b2^3 a 2 b2；由厶CEFAGB 得些CF等即■. b 22a• P 至U BC 的距离PD = 222a2a解得b= 4a，因此b=2时，2a=3, •最远的两顶点间距离为 3.314.36 正四面体ABCD的底部是正△ BCD，假设离BC边最近的球有n个，则与底面△ BCD相切的球也有n 排，各排球的个数分别为 n 、n-1、…、3、2、1,这样与底面相切的球共有 1+2+…+n =农 1)个•由2于正四面体各面都是正三角形•因此，正四面体内必有 n 层球，自上而下称为：第 1层、第2层、…第n 层，那么第n-1层，第n-2层，…第2层，第1层球的个数分别是：n(n 1+2+ …+n= 21) 1+2+…+"于1+2=,1 =n(n 1) (n 1)n2 2120,即 *n(n+1)( n+2)=120.即(n-8)(n2 + 11n+90)=°,.・. n =8,因此正四面体内共有8层小球，其底部所放球数为^=36(个).三、解答题15•分析 在四面体ABCD 的基础上，补上一个三棱锥 B-MCD.解如图，连结MC 、MD ，贝U •/ AM 丄平面 MDC , BM 丄平面 MDC 1V A -BCD =V A -MDC -V B -MDC = S ^MDC • (AM-BM )1=S ^MDC • AB3设M 到CD 的距离为x,则S MDC =丄CD • x= 1 ex,2 2•- V A -BCD = 1 x — ex - b= 1 bex326■/ x < MN=a,.••当 x=a 时，即MN 为11与12的公垂线时，V A -BCD 最大，它的最大值为 丄abe.6点评 x < MN,包含x=MN,也包含x<MN ,垂线段小于斜线段16•解 建立空间直角坐标系，使得 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0), M (0,0,a ) ,E(a,0,a), F (0,a,a ), 则由中点坐标公式得P( |,0,|),Q(|,-| ,0),(1)所以 PM =(-|,0,f ),FQ (|,-f ,-a),pM• FQ=(-^)X f+0+f x (-a)=- 7a2,- -_3 a 2L且|PM |=』a,|FQ |=』a,所以 eos PM ,FQ =_PM FQ43.22|PM ||FQ IJ2 小 162a a 2 2⑵设n=(x,y,z)是平面EFB的单位法向量，即|n|=1,n丄平面EFB，所以n丄EF，且n丄BE ,x• n=子,*子,PE 週,0,.设所求距离为d,则d=| PE • n|=3a;3(3)设e=(x i ,y i ,z i )是两异面直线的公垂线上的单位方向向量,■E--------------- •-] AFT MD 1 • AB = AD 1 • AB-丄 AE • 2 二 MD 1 丄 AB .------- - --------- "■ ・■ ----- F > ■ - >■ -MD 1 • AE = AD 1 • AE -1 AE2=、2 cos 45° -1X ( . 2 )2=0, •• MD 1 丄 AE . 2 2所以MD 1垂直于平面 ABCE 内两条相交直线,• MD 1丄平面ABCE.zi 22 2x y 又 E F =(-a,a,0), BE = (0,-a,a )，即有 ax ay 0, ay az 0,1,得其中的一个解是3 "T, .3 3 ;二 COS<OD 1 , AE >= OD i AE |OD i | | AE| 1 6 .2 2所以OD 1与AE 所成角为 arccos 』 3 ⑶设AE 的中点为M ，则MD 1 = AD 1 - - AE . 2则由PM =,FQ =勺号,a,2 X 12 y 12 z 11, 得旦旨2 a 2 X1a z12a 2y10,0.而MF =(0,a,0), 17.解(1) OD 1AD 1(2)OD 1AE求得其中的一个e= 一333.3 ,, 3 3设所求距离为m,则m=| MF ] 3 3根据已知，可得四边形 ABCE 为平行四边形，所以 O 为BE 中点.AO AD 1 !(AB AE) AD 12 丄AB 丄AE .2(AD 1丄忑丄AE) AE 12 2 cos4522 2cos45十2)2 1••• (OD 1 )2=( AD 1 -—2 1 AB -AB=1 X 2X cos60° -丄 X ..2 X 2cos45 ° =0,23122而D i M 平面 AD i E ，所以平面 AD i E 丄平面 ABCE. 18.(1)解法一 连结 BC i 、CO ,v B i O 丄平面 ABC , CO 丄 ABB iC 丄 AB ,又•••在菱形BB i C i C 中，B i C 丄BC i , 二 B i C 丄平面 ABC i ,「. B i C 丄 C i A. (2)作C i Q 丄平面ABC 于Q 点，连接AQ , •••/C i CQ 是侧棱与底面所成的角，即/C i CQ=60° ,在厶 C i CQ 中，CQ= ^CC i =AO , C i Q=」CC i ,2 2由 BC , B i C i , OQ 平行且相等，又T CO 丄 AB,「.QA 丄 AB,「. C i A 丄 AB, •/ QAC i 是二面角C i -AB-C 的平面角， 在厶 AQC i 中，C i Q=AQ ，• / QAC i =45°解法二 (i )以O 为原点，OC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图, T B i O 丄平面ABC , •/ B i BO 是侧棱与底面所成角，•/ B i BO=60 ° .设棱长为2a,则OB i = 3 a,BO=a ，又CO 为正三角形的中线，• CO=、3 a. 则 A(0,a,0),B(0,-a,0),C( . 3 a,O,O),B i (o,o, . 3 a),C i ( 3 a,a,、3 a).B iC =( .. 3 a,0,-、3 a),C i A =(-、3 a,0,- . 3 a).••• B i C • C i A =-3a 2+0+3a 2=0,「. B i C 丄C i A.⑵在△ C i AB 中，|C i A |= 6 a,|BC i |=| ( .3 a,2a, .3 a ) |= . i0 a,| AB|=2a,• - S ^CiAB = 6 a 2,作C i Q 丄平面ABC 于Q 点，贝U Q( .3 a,a,0).•- S ^ABQ =a 2,设二面角C i -AB-C 的平面角为B ,SABQ2 贝0 cos 0 = -------- ------- .S C i AB2二面角C i -AB-C 的平面角为45° . i9. ( i )解法一 由条件知厶ABC 为直角三角形，/ BAC=90 ° ,PA=PB=PC ,•••点P在平面ABC上的射影是△ ABC的外心，即斜边BC的中点E,取AC中点D，连结PD、DE、PE , PE丄平面ABC.DE 丄AC(T DE // AB).「. AC丄PD,/ PDE 为二面角P-AC-B 的平面角PE tan PDE =DE 3a2-3,、3a2•••/ PDE =60 °,故二面角P-AC-B的平面角为60° .解法二设0为BC的中点，则可证明P0丄面ABC，建立如图空间直角坐标系,则 A 丄a, 3a,0 ,B(-a,O,O),C(a,O,O),P 0,0-a ,2 2 2AB= 3a,」a,0 , DP= -a, 3 a,-a2 2 442••• AB丄AC,FA=PC,PD 丄AC,cos< AB , DP>即为二面角P-AC-B的余弦值./ 3 * 3 、. 3 3 门(a)( a) a a 0 而cos< AB, DP >= 2 4 2 4I19 2 32 c 19 2 3 2 9 2〔.—a —a 0 a —a —a■ 4 4 ■ 1616 4二面角P-AC-B的平面角为60°⑵解法一PD=PE2 DE2.4a2 9a2 3a,S SPC=1• AC • PD=」a 22 2设点B到平面PAC的距离为h,则由V P-ABC=V B-APC得丄31S A ABC • PE= • S^APC• h,第19题图解AC中点D3122h=S ABC PESAPCa 3a i a故点B到平面PAC的距离为Aa2解法二点E到平面FAC的距离容易求得，为空a,而点B到平面PAC的距离是其2倍,4•••点B到平面FAC的距离为2a.2。