第三单元函数与平面直角坐标系第15讲二次函数的应用及综合问题知识点名师点晴二次函数的实际应用1．常见题型1>抛物线形类2>商品销售类3>几何类2．应用二次函数解决实际问题的步骤1>找问题中的变量和常量以及他们之间的函数关系式2>列函数表达式表示他们之间的关系3>应用二次函数的图象及性质解决问题4>检验结果的合理性二次函数在提二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论。

一次函数与二次函数的综合运用一次函数作为实际问题的基础，在此可以延伸已知条件，得到与一次函数自变量相关的二次函数，随后运用二次函数的性质去解决问题。

（1）解决含多个变量的问题时，先注意分析这些变量之间的关系，然后从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，再根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决实际问题的数学模型。

（2）选择最住方案实际上是在比较的基础上完成的，在没有学习函教之前，一般是将全部方案一一列举出来，然后根据题意选择一个最住方案；学习函数之后，我们可以利用函教的性质，直接求出最住方案。

1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2 C．y=﹣12x2D．y=12x2【答案】C【解析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为y=ax2，a≠0；那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．则﹣2=4a，解得a=-12，那么y=﹣12x2．故选：C．2．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），某抛物线的顶点坐标为D（﹣1，1）且经过点B，连接AB，直线AB与此抛物线的另一个交点为C，则S△BCD：S△ABO=（）A．8：1 B．6：1 C．5：1 D．4：1【答案】B【解析】设直线AB的解析式为y=kx+b，二次函数的解析式为y=a（x+1）2+1，将点A（1，0）、B（0，2）代入y=kx+b中得：2k bb+=⎧⎨=⎩，解得：22kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2；将点B（0，2）代入到y=a（x+1）2+1中得：2=a+1，解得：a=1，∴二次函数的解析式为y=（x+1）2+1=x2+2x+2．将y=﹣2x+2代入y=x2+2x+2中得：﹣2x+2=x2+2x+2，整理得：x2+4x=0，解得：x1=﹣4，x2=0，∴点C的坐标为（﹣4，10）．∵点C（﹣4，10），点B（0，2），点A（1，0），∴55∴BC=4AB．∵直线AB解析式为y=﹣2x+2可变形为2x+y﹣2=0，∴|﹣2+1﹣2|=3，|﹣2|=2．∴S△BCD：S△ABO=4×3：2=12：2=6：1．3．小明跳起投篮，球出手时离地面209m，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离4m处达到最高4m．已知篮筐中心距地面3m，与球出手时的水平距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？【答案】（1）y=()21449x --+；(2）不能正中篮筐中心；3米. 【解析】（1）设抛物线为y=()244a x -+，将（0，209）代入，得()2044a -+=209， 解得a=19-，∴所求的解析式为y=()21449x --+；（2）令x=8，得y=()218449--+=209≠3，∴抛物线不过点（8，3）， 故不能正中篮筐中心； ∵抛物线过点（8，209）， ∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移79个单位长度，故小明需向上多跳79m 再投篮（即球出手时距离地面3米）方可使球正中篮筐中心．4．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x 元，每星期的销售量为y 件．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ 【答案】(1)y=﹣30x+2100；(2) 每件售价定为55元时，最大利润6750元． 【解析】（1）根据题意可得： y=300+30（60﹣x ） =﹣30x+2100；（2）设每星期利润为W 元，根据题意可得： W=（x ﹣40）（﹣30x+2100）=()230556750x --+， 则x=55时，W 最大值=6750．故每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等. 1.在现实生活中，一些物体的形态呈抛物线形，比如有些桥梁、大门、水流、跳绳以及投球、跳水的路在现实生活中，一些物体的形态呈抛物线形，比如有些桥梁、大门、水流、跳绳以及投球、跳水的路线；还有一些事件中数据的变化图象呈现抛物线形。

2.解与之相关的实际问题，就要用到二次函数的知识.我们常把它们放到平面直角坐标系中，利用已知数据，求出二次函数的解析式，再利用函数解析式进一步解决实际问题.3.应用二次函数解决实际问题的步骤（1）一找：找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； （2）二列：列函数表达式表示它们之间的关系； （3）三解：应用二次函数的图象及性质解题；（4）四验：检验结果的合理性，特别检验是否符合题意.4. 二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论。

5. 一次函数作为实际问题的基础，在此可以延伸已知条件，得到与一次函数自变量相关的二次函数，随后运用二次函数的性质去解决问题。

考点一、利用二次函数解决抛物线形问题例1.（2019▪山西省）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )A ．226675y x =B ．226675y x =-C ．2131350y x =D ．2131350y x =-【答案】B【分析】设抛物线解析式为y=ax 2，由已知可得点B 坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可. 【解析】∵拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系， ∴设抛物线解析式为y=ax 2，点B(45，-78)， ∴-78=452a ， 解得：a=26675-， ∴此抛物线钢拱的函数表达式为226675y x =-， 故选B.点评：本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 【变式训练】1.如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12m 时，桥洞顶部离水面4m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是()21y x 649=--+，则选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是 ．【答案】()21y x 649=-++. 【解析】根据题意，选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是()21y x 649=--+，则选取点B 为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位.原抛物线的顶点为（6，4），根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为（6-，4），即选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是()21y x 649=-++.2.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是2y x 2x 3=-++，则下列结论：（1）柱子OA 的高度为3m ；（2）喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m ；（4）水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【答案】D 【解析】【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x 轴，y 轴的交点，解答题目的问题．【解析】当x=0时，y=3，故柱子OA 的高度为3m ；（1）正确； ∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴顶点是（1，4），故喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确； 解方程-x 2+2x+3=0， 得x 1=-1，x 2=3，故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确． 故选：C ．点评：本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x 轴交点，y 轴交点的实际意义是解决问题的关键．考点二、利用二次函数解决商品销售类问题例2.（2019▪盘锦市）2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y 1（元）与月份x （1≤x≤12，且x 为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y 2（元）与月份x （1≤x≤12，且x 为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示． 月份x … 3 4 5 6 … 售价y 1/元 …12141618…（1）求y 1与x 之间的函数关系式． （2）求y 2与x 之间的函数关系式．（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w （元），求w 与x 之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）设1y 与x 之间的函数关系式为1y kx b =+，将（3，12）（4，14）代入1y 解方程组即可得到结论；（2）由题意得到抛物线的顶点坐标为（3，9），设2y 与x 之间的函数关系式为：2y ＝239a x -+（），将（5，10）代入2y ＝239a x -+（）得2539a -+（）＝10，解方程即可得到结论；（3）由题意得到w ＝1y −2y ＝2x ＋6−142x ＋32x−454＝−142x ＋72x−214，根据二次函数的性质即可得到结论．【解析】（1）设y 1与x 之间的函数关系式为y 1＝kx+b ， 将（3，12）（4，14）代入y 1得，312414k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：26k b =⎧⎨=⎩，∴y 1与x 之间的函数关系式为：y 1＝2x+6； （2）由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，9）， ∴设y 2与x 之间的函数关系式为：y 2＝a （x ﹣3）2+9， 将（5，10）代入y 2＝a （x ﹣3）2+9得a （5﹣3）2+9＝10， 解得：a ＝14， ∴y 2＝14（x ﹣3）2+9＝14x 2﹣32x+454；（3）由题意得，w ＝y 1﹣y 2＝2x+6﹣14x 2+32x ﹣454＝﹣14x 2+72x ﹣214，∵﹣14＜0，∴w 由最大值，∴当x ＝﹣2b a ＝﹣72124⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝7时，w 最大＝﹣14×72+72×7﹣214＝7． 点评：本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式训练】1. 某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件的售价应为______元． 【答案】25【解析】设最大利润为w 元，则w=（x ﹣20）（30﹣x ）=﹣（x ﹣25）2+25， ∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25， 故答案为：25．2.凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？（2）求写出该文具店一次销售x （x ＞10）只时，所获利润y （元）与x （只）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？【答案】（1）50；（2）20.19(1050)4 (50)x x x y x x ⎧-+<≤=⎨>⎩；（3）理由见解析，店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．【解析】（1）设一次购买x 只，则20﹣0.1（x ﹣10）=16，解得：x=50． 答：一次至少买50只，才能以最低价购买；（2）当10＜x≤50时，y=[20﹣0.1（x ﹣10）﹣12]x=20.19x x -+，当x ＞50时，y=（16﹣12）x=4x ；综上所述：20.19(1050)4 (50)x x x y x x ⎧-+<≤=⎨>⎩；（3）y=20.19x x -+=20.1(45)202.5x --+，①当10＜x≤45时，y 随x 的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．②当45＜x≤50时，y 随x 的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小． 且当x=46时，y 1=202.4，当x=50时，y 2=200．∴y 1＞y 2． 即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象．当x=45时，最低售价为20﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此时利润最大．故店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．考点三、二次函数在几何图形中的运用例3．（2019▪海南省）如图，已知抛物线25y ax bx =++经过(5,0)A -，(4,3)B --两点，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为D ，连结CD ． （1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），设点P 的横坐标为t ． ①当点P 在直线BC 的下方运动时，求PBC ∆的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P ，使得PBC BCD ∠=∠若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）265y x x =++；（2）①278；②存在，37,24P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或(0,5)． 【分析】（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①()12PBC C B S PG x x ∆=-，即可求解；②分点P 在直线BC 下方、上方两种情况，分别求解即可． 【解析】（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式得：2555016453a b a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得：16a b =⎧⎨=⎩， 故抛物线的表达式为：265y x x =++…①，令=0y ，则=1x -或5-，即点(1,0)C -；（2）①如图1，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点G ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC 的表达式为：=+1y x …②，设点(,+1)G t t ，则点()2,65P t t t ++，()()221331516562222PBC C B S PG x x t t t t t =-=+---=---V ， 302<Q ，PBC S ∴V 有最大值，当52t =-时，其最大值为278； ②设直线BP 与CD 交于点H ，当点P 在直线BC 下方时，PBC BCD ∠=∠Q ，∴点H 在BC 的中垂线上，线段BC 的中点坐标为53,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 过该点与BC 垂直的直线的k 值为﹣1，设BC 中垂线的表达式为：=+y x m -，将点53,22⎛⎫--⎪⎝⎭代入上式并解得： 直线BC 中垂线的表达式为：=4y x --…③，同理直线CD 的表达式为：=2 +2y x …④，联立③④并解得：=2x -，即点(2,2)H --，同理可得直线BH 的表达式为：112y x =-…⑤， 联立①⑤并解得：32x =-或4-（舍去4-）， 故点37,24P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；当点()P P '在直线BC 上方时，PBC BCD ∠=∠Q ，BP CD '∴∥，则直线BP′的表达式为：=2 +y x s ，将点B 坐标代入上式并解得：=5s ，即直线BP′的表达式为：=2 +5y x …⑥，联立①⑥并解得：=0x 或4-（舍去4-），故点(0,5)P ；故点P 的坐标为37,24P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或(0,5)．【变式训练】在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线()20y ax bx c a =++<经过点A 、B ．(1)求a 、b 满足的关系式及c 的值．(2)当0x <时，若()20y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围． (3)如图，当1a =-时，在抛物线上是否存在点P ，使PAB ∆的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)21b a =+；2c =；(2)102a -≤<；(3)存在，点()1,2P -或()12,1-或(12,2---. 【分析】(1)求出点A 、B 的坐标，即可求解；(2)当0x <时，若()20y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，则函数对称轴02b x a =-≥，而21b a =+，即：2102a a+-≥，即可求解； (3)过点P 作直线l AB P ，作PQ y P 轴交BA 于点Q ，作PH AB ⊥于点H ，11222122PAB S AB PH PQ ∆=⨯⨯=⨯=，则1P Q y y -=，即可求解．【解析】(1)2y x =+，令0x =，则2y =，令0y =，则2x =-，故点A 、B 的坐标分别为()2,0-、()0,2，则2c =，则函数表达式为：22y ax bx =++，将点A 坐标代入上式并整理得：21b a =+；(2)当0x <时，若()20y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大， 则函数对称轴02b x a =-≥，而21b a =+， 即：2102a a +-≥，解得：12a ≥-， 故：a 的取值范围为：102a -≤<； (3)当1a =-时，二次函数表达式为：22y x x =--+，过点P 作直线l AB P ，作PQ y P 轴交BA 于点Q ，作PH AB ⊥于点H ，∵OA OB =，∴45BAO PQH ∠=∠=︒，112221222PAB S AB PH PQ ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 则1P Q y y -=，在直线AB 下方作直线m ，使直线m 和l 与直线AB 等距离，则直线m 与抛物线两个交点坐标，分别与点AB 组成的三角形的面积也为1，故：1P Q y y -=，设点()2,2P x x x --+，则点(),2Q x x +， 即：2221x x x --+--=±，解得：1x =-或12-，故点()1,2P -或 ()12,1-+或(12,2--.点评：主要考查二次函数和与几何图形．解题关键在于要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。