数列与不等式的综合问题测试时间： 120分钟 满分：150分解答题（本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1. [2016 •银川一模]（本小题满分15分）在等差数列｛刘中，a i = 3,其前n 项和为S, 等比数列｛b n ｝的各项均为正数，b 1 = 1，公比为q （q z 1），且b 2+ S 2= 12, q = f 2.b 2（1） 求 a n 与 b n ；…1 1 1 1 2（2） 证明：3< S +§+…+ S<§.b 2 + S 2= 12 ,1 1 1故 S+S +…+ s n =1—百.（121 1因为n >2所以0<市三$于1 2 1 2 所以21 —市＜2, 1 1 1 1 2 即 3= S 1+S 2+…+s n <2.（15 分）33a2. [2017 •黄冈质检]（本小题满分15分）已知数列｛◎｝的首项a 1= , a n +1 =二,n 52a n + 1a 1 a 2a n2 11（2） 记S = + — + •••+—，若$<100，求最大正整数 n .（1）设｛a n ｝的公差为d ,因为q + 6 + d = 12,所以 6 + dq =解得 q = 3 或 q =— 4（舍），d = 3.（4 分）故 a n = 3+ 3（ n — 1） = 3n , b n = 3n 1.（6 分）⑵证明：因为S n =n 3+ 3n（8分）1所以S n 3+ 3n1 1 nn +1.（10 分）11 - 21 1 2-31 1 3-4 +…+1 1 nn +1*€ N.1（1）求证：数列一一1为等比数列；a n1 2 1解 (1)证明：因为——=-+厂,3 3 a n所以一—1=1= 1 1 — 1 .a +13-n 33 -n1 1 3—3=n + 2 x —11 —-31若$<100，则n +1 —亍<100，所以最大正整数 n 的值为99.（15分）3. [2016 •新乡许昌二调]（本小题满分15分）已知｛a n ｝是等差数列， 数的等比数列，且 a 1 = 2, b 1= 3, a s + b 5= 56, a 5+ b e = 26.（1） 求数列｛a n ｝ , ｛b n ｝的通项公式；22b n* 一（2）若—x + 3x w -对任意n € N 恒成立，求实数x 的取值范围. n + 14a 1 + 2d +b 1 • q = 56,解（1）由题意，2a 1 + 4d +b 1 • q = 26,.42+ 2d + 3 • q = 56,将a 1= 2, b 1 = 3代入，得22+ 4d + 3 • q = 26,消 d 得 2q 4— q 2— 28= 0, A （2q 2+ 7）（ q 2— 4） = 0,I ｛b n ｝是各项都为正数的等比数列，Aq = 2,所以 d = 3 , （4 分）a n= 3n — 1, b n=3 •n — 12.（8 分）n — 1、r 3 ・2 ⑵记C n =亠n — 12n — 16+ 1一 C n = 3•2n + 12n +3>0a n +11又因为石 1 *1工0,所以-—1工0（ n € N ）, 所以数列11为等比数列. a n （7分）⑵由(1)n — 1所以丄=2X 3 n + 1.n3所以s 」+1+…+1 a21 1 1a n= n + 23+尹…+ £n+11=n + 1 —亍,｛ b n ｝是各项都为正所以C n最小值为C1 = 1, （12 分）因为—x2+ 3x^——对任意n € N恒成立,2n+ 1所以—x2+ 3x w2,解得x>2 或x w 1,所以x€ （—a, 1] U [2 ,+s） . （15 分）4. [2016 •江苏联考](本小题满分15分)在等差数列｛刘和等比数列｛b n ｝中，a i = 1, b i =2，b n >0( n € N *)，且b i , a 2, b 2成等差数列，a 2, b, a 3 + 2成等比数列.(1)求数列｛a n ｝、｛b n ｝的通项公式；6. [2016 •德州一模](本小题满分15分)已知数列｛a n ｝满足a 1 + 2a 2 + 3a s +-+ n a n = n (n € N*).(1)求数列｛a n ｝的通项公式a n ；n n 1 1 1 所以君 1 T k = 2?&1 k k +1 n1 1 127&1 k 一 k +1 (12 分)1 11—n + <2d^.(15 分) (2)设C n = abn ,数列｛c n ｝的前n 项和为S,S zn + 4nS n + 2 n>a n + t 对所有正整数 n 恒成立，求常数t 的取值范围.解(1)设等差数列｛ a n ｝的公差为d ,等比数列｛b n ｝的公比为q (q >0).21 + d =2 + 2q ,由题意，得22q = 1 + d3 + 2da n = 3n — 2,b n = 2 ・3 .(5 分) ⑵ C = 3 • b — 2 = 2 ・3— 2.(7 分) 解得d = q = 3.(3分)Si = C 1 + C 2 + …+ C n=2(31 + 32+…+ 3) — 2n =3n +1 — 2n — 3.(10 分)$n + 4n 32n +1— 3 n八.S +n = 3^—3 = 3 + 1.(11分 )3 + 1>3n — 2 +1 恒成立，即 t <(3 — 3n + 3) min .(12 分)令 f (n ) = 3n — 3n + 3,则 f ( n + 1) — f (n ) = 2 •盯一3>0，所以 f (n )单调递增.(14 分) 故t <f (1) = 3,即常数t 的取值范围是(一a, 3) . (15分)5. [2016 •天津高考](本小题满分15分)已知｛a n ｝是各项均为正数的等差数列，公差为d .对任意的n € N , b n 是a 和a n +1的等比中项.(1)设C n = &+1 — b 2, n € N*，求证：数列｛C n ｝是等差数列;2nna 1= d , T n=k 51(— 1)kb k ,n €N ,求证：耳=1T <-^.证明 (1)由题意得b ! = a na +1,有6 = b 2 +1 — b n = a n +1 a n +2 — a n a n +1 = 2da n +1, (3 ^分).- -因此 C n + 1 — C n = 2d ( a n + 2 — N n + 1 ) = 2d ，所以｛ C n ｝是等差数列.(6 分) ⑵ T n = ( —b 2 + b 2) + (— b 3+ b 2) +•••+ ( — b 2n — 1+ b 2n )=2d ( a + a +…+ a )=2d •a 2+ az n21an 1*（2）令b n ・2=（n € N ） , T n = b l + b 2+・・・+ b n ,写出T n 关于n 的表达式，并求满a 2n — 1足T n >5时n 的取值范围.解 （1） T a i + 2a 2+ 3a s +…+ na = n ,所以 a 1 + 2a 2 + 3a 3+…+ （n — 1） a n — 1= n — 1（ n 》2）.1两式相减得a n = ”（n 》2）, （4分）1 *又 a 1= 1 满足上式，a n = （ n € N ）, （5 分）n两式相减得2X 5+ 3 83 80 5 又 T5=3—戸=32>32=2,5所以n 》5时，T n 》T 5>-,2故所求n 》5, n € N *.（15分）7. [2016 •吉林二模]（本小题满分20分）已知数列｛a n ｝前n 项和S 满足：2S + a n = 1. （1）求数列｛a n ｝的通项公式；2a n + 11⑵ 设b n =，数列｛b n ｝的前n 项和为T n ,求证：T < •1 + a n1 + a n +14（2）由（1）知 b n= - 2n — 1,（6T n = 1+ 22+ |3+…+2 2 2 2n — 1 1 13 5 2齐=亍+ 2^+尹…+2n — 1 ?11 1 2Tn = 2 + 21 1尹尹…+2n — 1 2门+11 12齐=2+2x1 1 12—2 • 2r~1-2字，（9分）1T n = 1 + 4 2c 2n + 3 n = 3 —n,（10 分）由 T n — T n - 12n — 1n,2 ，当n 》2时, T n — T n —1>0,所以数列｛T n ｝单调递增.（12分）37 511 T'=3—1616 厲解（1）因为2S n + a n = 1 ,所以2S +1 + a n+ 1 = 1. 两式相减可得2a n+ 1+ a n+ 1 —a n= 0 ,即卩3a n +1 = a n ,1又 2S + a 1= 1 ,• a = 3,3 1所以数列｛a n ｝是公比为3的等比数列.（6分） 故 a n = 3 •31 1m — 1 <」一1,2 2 '1 1n -1+ m •即叮a n3, （4 分）数列｛a n ｝的通项公式为 a n =1 n.（8 分）2a n + 11 + a n 1 + a n + 1'2・3 n1 1…八、・・ b n = nn 十 1 ,= n … — ' n 十 1, , （11 ^⑵证明：T b n =1 n -11 11 1 1--T n b 1 + b 2 +'…+ b n~1~2+ （2— -3）+…’+ ~n~n+1++ ++ ++1 1 1 八4一 3^+7<4, （18 分） ••• T n <4.（20 分）__— an +1& [2016 •浙江高考]（本小题满分20分）设数列｛a n ｝满足a n — —n _ 1*（1）证明：|a n | >2 （| a 1| — 2） , n € N ； 3 n**2 , n € N ,证明：| a n | W 2, n € N.⑵ 若 |a n | W 证明⑴由a n + 1a n —12W1,得 | a n | — 2l a n +1| W1,故| a n | | a n + 11n € N , （3 分）1a 1|1a 2| , 1 a 2| 丨 a s | | a n —1| | a n |1 1 W 21+ 22+^ +<1，（6分） 因此|a n | n — 1>2 （| a 1 — 2）.（8分）对于任意 r>n .| an|丨 am | a n | | a n + 1| | a n + 1 | | a +2|2n 2m2n?n + 1 + 2"+1| a m- 1| |a m |（12 分）mn2 2 33 m n=2+ 4 ・2 .（15 分）从而对于任意m>n,均有3 m n| a n|<2 + -・2 .①由m的任意性得| a n| w 2.* 丨a%1—2否则，存在n0 € N,有| an。