其次, 同一品种下数据表现出来的差异称为试验(随
机)误差, 这是由客观条件的偶然干扰造成, 与因素(品种) 无直接联系.
方差分析正是分析两类误差的有效工具.
本问题只考虑品种一种因素，故是单因素试验，即只有
一个因子，记为 A, 5个不同的品种就是该因子的5个不同 的水平，分别记为 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , 由于同一品种在不 同的田块上的亩产量不同，故可以认为一个品种的亩产 量 就是一个母体，在方差分析中，总是假定各母体相互独 立地服从同方差的正态分布，即第 j 个品种的亩产量是 一个随机变量，它服从正态分布:
nj
ns , 称为总平均,
它是从 s 个总体中抽得的样本的样本均值.
用样本值 xij 与总平均
x 之间的偏差平方和来反映
种子品种代 号 (水平)
重复试验序号及作物实测产量 1 128 125 148 2 126 137 132 3 139 125 139 4 130 117 125 5 142 106 151 133 122 139
A1 A2
A3
这里试验的指标是作物产量, 作物是因素, 三种种 子品种代表三个不同的水平. 首先,形成数据差异的直接原因是种子的不同品 种.因此, 每个品种下产量的均值差异检验是我们的主 要任务.这种由因素(种子品种)造成的差异称为条件(系 统)误差.
H 0 : 1 2 s 0, H1 : 1 , 2 , , s 不全为零.
(二) 离差平方和分解 引入记号
nj
1 xj nj
s
x
i 1
ij
( j 1, 2,
, s) 水平Aj下的样本均值,
称为组内平均(或列平均)
1 x xij , n n1 n2 n j 1 i 1
在试验中变化的因素称为因子，用A、B、C ...... 表示， 因子在试验中所取的不同状态称为水平，因子A的不同水
平用A1 , A2 , 变量。
, As表示。以下用字母 x, y,
等表示随机
例1 为考察种子品种对作物产量的影响, 同一 作 的种子, 分别在条件大 物选用三个命名为 A1 , A2 , A3 体 相同的 5 块等面积的小田块上试种, 其作物产量 ( 单 位 : kg),如下表，试分析种子的不同品种对作物产量 的 影响.
j 1
s
j j ( j 1, 2, , s)
j A的第 j 个水平的效应, 表示水平 Aj下的总体平均
值与总平均的差异, 效应间的关系：
n
j 1 j
s
j
0
利用上述记号, 将单因素试验方差分析模的型改写 成如下形式: X ij j ij , 2 ij ~ N (0, ), 各 ij 相互独立， （ 3） i 1, 2, , n j , j 1, 2, , s. n11 n2 2 ns s 0. 显然,当且仅当 1 2 s 时, j , 即 j 0 ( j 1, 2, , s) 由此知假设(2)等价于假设
N ( j , ), j 1, 2,3, 4,5.
2
试验的目的是检验假设 是否成立。
H 0 : 1 2 3 4 5
二、单因素试验的数学模型
设在单因素试验中,所考察的因素为A，A有 s 个水平
j 1, 2, A1 , A2 , A3 , , As , 现在 Aj 水平下做了 nj 次试验，
X j N ( j , 2 )
要检验的假设是：
H 0 : 1 2 H1 : 1 , 2 ,
s , s 不全相等
（ 1）
我们假定各个水平Aj下的样本 X1 j，X 2 j， ，X n j 为
j
来自具有相同方差σ2 均值分别为 j ( j 1, 2,
, s) 的正
态总体 N ( j , 2 ), j 与σ2 均未知. 设不同水平 Aj下的 样本之间相互独立. 由于 X ij ~ N ( j , 2 ), X ij j ~ N (0, 2 ), 从而将 X ij j 可看成随机误差, 将其记作 ij , 则 X ij 可表为 X ij j ij
相等,即检验下述假 设
, s) 的均值是 否
H 0 : 1 2 H1 : 1 , 2 ,
2. 对未知参数 j ( j 1, 2,
s , s 不全相等
, s) 及σ2进行估计.
（ 2）
引入记号
1 s nj j n j 1
其中 n n j , μ称为总平均.
第 九 章
方差分析与回归分析
第一节 单因素试验的方差分析 一、方差分析原理 把考察事物的结果称为试验结果,也称为试验指标.
影响试验指标的条件称为因素。
因素可分为两类: 一类是人们可以控制的，称为可控因素； 另一类是人们不能控制的，称为不可控因素。 为了考虑某个因素A对所考察的随机变量X的影响, 可以在实验时让其他因素保持不变，而仅让因素A改变, 这样的试验称为单因素试验，因素A所处的状态称为水 平。
试验的实测数据由下表给出:
, s.
A1
A2
As
x11
x21
xn11
x12 x22
xn2 2
x1s
x2 s
xns s
为考察因素对指标的影响, 把第 j 个水平 Aj下的实测 数据 X1 j , X 2 j , , X n j 看做是从第 j 个总体 X j 中抽取的容
j
量为 n j 的样本 ( j 1, 2, , s). 在方差分析中总是假定 s个总体相互独立且服从相 同方差(未知)的正态分布. 即水平 Aj 对应的总体
ij ~ N (0, ), 各 ij 相互独立， i 1, 2, , n j , j 1, 2, , s,
2
此即单因素试验方差分析的数学模型.
三、单因素方差分析及其显著性检验的方法
(一) 方差分析的任务
2 N ( , ) ( j 1, 2, 1. 检验 s 个总体 j