河北中考复习之规律探索
1、观察图4给出的四个点阵，s 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜想第n 个点阵中的点的个数s 为 A ．3n －2 B ．3n －1
C ．4n ＋1
D ．4n －3
2、观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律： （1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：
（2）通过猜想，写出与第n 个图形相对应的等式．
3、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6
，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ） A ．13=3+10 B ．25=9+16 C ．36=15+21 D ．49=18+31
4、将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和
5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ） A ．6 B ．5 C ．3 D ．2 5、如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”． 如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．
……
① ② ③ ⑤ ④ 4×0＋1＝4×1－3； 4×1＋1＝4×2
－3； 4×2＋1＝4×3－3；
___________________； ___________________； …… 图
4 第2个
s =5 第1个 s =1
第3个 s =9 …… 第4个 s =13
再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；
再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；…
这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．
7、观察下列各式及其验证过程：
验证322322+=：()()3221
22122122222323222
2233+=-+-=-+-== 验证833833+=：()()8
33133133133333838332
2233=-+-=-+-== （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想15
4
4
的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为任意自然数，且n ≥2）表示的等式，并给出证明。

8、图形的操作过程(本题中四个矩形的水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长均为b )：
● 在图11-1中，将线段A 1A 2向右平移1个单位到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1（即阴影部分）；
●
● 在图11-2中，将折线A 1A 2A 3向右平移1个单位到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2A 3B 3B 2B 1（即阴影部分）． (1) 在图11-3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图
形，并用斜线画出阴影；
(2) 请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
S 1= ，S 2= ，S 3= ； (3) 联想与探索
如图11-4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽 度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想 是正确的．
9、探究规律：
如图10-1，已知：直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点．
（1）请写出图10-1中，面积相等的各对三角形： ；
（2
）如果A 、B
、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点移动到
任何位置，总有 与△ABC 的面积相等． 理由是：
． 解决问题：
2 2 图11-1
图11-3
1
3
3
图11-2
……
图11－4 P C
B
n
m A O 图10-1
如图10-2，五边形ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图．经过多年开垦荒地，现已变成如图10-3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图10-3中折线CDE ）还保留着．张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．(不计分界小路与直路的占地面积)
（1）写出设计方案，并在图10-3中画出相应的图形； （2）说明方案设计理由．
10、我们知道：由于圆是中心对称图形，所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成面积相等的两部分（如图
11－1）．
探索下列问题：
（1）在图11－2给出的四个正方形中，各画出一
条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分； （2）一条竖直方向的直线m 以及任意的直线n ，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S 1和S 2．
①请你在图11－3中相应图形下方的横线上分别填写S 1与S 2的数量关系式（用 “＜”，“＝”，“＞”连接）； ②请你在图11－4中分别画出反映S 1与S 2三种大小关系的直线n ，并在相应图形下方的横线上分别填写S 1与S 2的数量关系式（用“＜”，“＝”，“＞”连接）．
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图11－5）分割成
面积相等的两部分？请简略说出理由．
11、（1）已知线段AC 垂直于线段BD ．设图13—1、图13—2和图13—3中的四边形ABCD 的面积分别为S 1，S 2和S 3，则S 1= ，S 2= ，S 3= ；
E C B A D
图10-2 N
M 图10-3
E
C
B A
D 图11－5
图11—3
m
m
m 图11—4 图11
－
2 图11－1 图13—
4
图13—1
图13—2 图13—3
（2）如图13—4，对于线段AC 与线段
BD 垂直相交(垂足O 不与点A ，C ，B ，D 重合)的任意情形，请你就四边形ABCD 面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
（
3）当线段BD 与AC （或CA ）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A ，B ，C ，
D ，A 所围成的封闭图形的面积是多少？
12、观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：
① 11
1122⨯=-
② 22
2233⨯=-
③ 33
3344⨯=-
④ 44
4455⨯=-
（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；
（2）猜想并写出与第n 个图形相对应的等式． 13、探索
在图12—1至图12—3中，已知△ABC 的面积为a ．
（1）如图12—1，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=______（用含a 的代数式表示）；
（2）如图12—2，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若
△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示）；
（3）在图12—2的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图12—3）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由．
发现
像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图12—3），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面
积是原来△ABC 面积的 倍．
应用 要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC 的空地上种红花，然后将△ABC 向外扩展三次（图12—4已给出了
前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，
第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC ）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：
（1）种紫花的区域的面积； （2）种蓝花的区域的面积．
…… ……
图12—2
图12—1 F 图12—3。