动量表象下的薛定谔方程(一维) 动量表象下的薛定谔方程(一维)
在动量表象中， 在动量表象中，动量算符就是动量自身 是势能算符， 是势能算符，即以坐标算符 对应于势能函数) 数(对应于势能函数) 为变量的算符函
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动量表象(2/4) 动量表象(2/4)
谐振子势
坐标表象中的薛定谔方程
动量表象中的薛定谔方程
对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于 对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于 二阶微分方程 在坐标表象中的求解，不能简化求解过程 在坐标表象中的求解，不能简化求解过程
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动量表象(3/4) 动量表象(3/4)
线性势
坐标表象、 坐标表象、动量表象中的薛定谔方程
对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 与第二章“一维线性势阱”的结果一致) 求解 (与第二章“一维线性势阱”的结果一致)
算符 的表示的变换 表象中： 在 F 表象中：基矢为 表象中： 在 F' 表象中：基矢为
，算符 的矩阵元为 ，算符 的矩阵元为
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线性谐振子与占有数表象(1/2) 线性谐振子与占有数表象(1/2)
线性谐振子的能级和波函数 湮灭算符 和产生算符
Microsoft Word 文档
为单位改变， 谐振子能量以 为单位改变，将这个 看作一个粒子 即粒子数减一， 使体系由 态变到 态，即粒子数减一，称湮灭算符 即粒子数加一， 使体系由 态变到 态，即粒子数加一，称产生算符
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动量表象(1/4) 动量表象(1/4)
坐标表象和动量表象的对比
坐标表象的优点 容易写出边界条件，例如： 容易写出边界条件，例如：区分束缚态和散射态 容易表述常用的势，例如：方势、线性势、 容易表述常用的势，例如：方势、线性势、谐振子势 动量表象的优点 某些势场下的薛定谔方程比较简单， 某些势场下的薛定谔方程比较简单，容易求解
表象( 算符在 Q 表象( Qn, un )的矩阵的特点 厄密算符在 Q 表象中的表示是矩阵 厄密矩阵： 厄密矩阵：m 列 n 行的矩阵元 = n 列 m 行的复共轭
在自身的表象中是对角矩阵—— ——求解薛定谔方程 算符 Q 在自身的表象中是对角矩阵——求解薛定谔方程
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算符的矩阵表示(3/3) 算符的矩阵表示(3/3)
本征值方程
的结果， 利用前面 Φ = F Ψ 的结果，并令 Φ = λ Ψ
上面方程称为久期方程。 ,...， 上面方程称为久期方程。解得一组 λ1,..., λn,...，就是 的本 征值。将 λi 代回方程，就得到相应的本征矢 (ai1,..., ain,...) 征值。 代回方程，
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量子力学公式的矩阵表述(3/3) 量子力学公式的矩阵表述(3/3)
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态的表象(2/5) 态的表象(2/5)
例3：续例2 续例2 当 所描写的状态是具有动量 作展开 的自由粒子
用动量的本征函数
在动量表象中，粒子具有确定动量 p' 的波函数是以 在动量表象中，粒子具有确定动量 的波函数是以 p 为变量的 δ 函数 为变量的 动量表象中的坐标算符
在坐标表象中的波函数， 例4： 在坐标表象中的波函数，由方程 在坐标表象中，粒子具有确定坐标 的波函数是以 在坐标表象中，粒子具有确定坐标 x' 的波函数是以 x 为变量的 δ 函数 变量的
么正变换的性质
不改变算符的本征值 表象中的本征值方程 中的本征值方程： 在 A 表象中的本征值方程： F c = λ c 表象中 在 B 表象中，已知 F' = S-1FS, c' = S-1c ，那么 , 如果 F' 是对角阵，即 B 表象是 自身的表象，那么 F' 是对角阵， 自身的表象， 的对角元就是 的本征值 求解定态薛定谔方程的问题就变成对角化哈密顿算符 的问题 不改变矩阵F的迹 不改变矩阵 的迹 表象中 那么矩阵的迹( 在 B 表象中，已知 F' = S-1FS ，那么矩阵的迹(矩阵对 角元素的和)为 角元素的和)
量子力学公式的矩阵表述(1/3) 量子力学公式的矩阵表述(1/3)
期望值公式
表象( Ψ(x, ) 在 Q 表象(基矢是 un )中 Ψ( t) 及其共轭表示式 算符 的期望值公式
写成矩阵形式(运算次序：从右到左) 写成矩阵形式(运算次序：从右到左)
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量子力学公式的矩阵表述(2/3) 量子力学公式的矩阵表述(2/3)
定义：由一个表象到另一个表象的变换称为么正变换 定义： 类比： 类比：由直角坐标系到球坐标系的变换
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么正变换(2/4) 么正变换(2/4)
变换矩阵(么正矩阵) 变换矩阵(么正矩阵) S 用 A 表象的 φ1,φ2,... ,φn 展开 和
利用
和
的正交归一性
利用 那么
和
的正交归一性
变换矩阵的逆矩阵就是共轭矩阵，变换矩阵不是厄密矩阵 变换矩阵的逆矩阵就是共轭矩阵，
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线性谐振子与占有数表象(2/2) 线性谐振子与占有数表象(2/2)
占有数表象
: 的本征值是 n ：在态 为粒子数算符。 称 为粒子数算符。以 在占有数表象中， 在占有数表象中，
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态的表象(4/5) 态的表象(4/5)
具有分立的本征值 力学量 Q 具有分立的本征值 Qn ，本征函数是 un(x) ；以 ) 及连续的本征值 Qq ，本征函数是 uq(x) 。如氢原子的能量 ) 系数 归一化性质 ：在 描写的态中测量 Q 的结果为 Qn 的概率 ：在 q 到 q + dq 之间的概率 及其共轭仍然可以写为矩阵形式
薛定谔方程
表象( 在 Q 表象(基矢是 un )中，薛定谔方程
写成矩阵形式 ， Ψ 和 H 都是矩阵
问题：量子力学的态、算符、公式在不同的矩阵表示之间， 问题：量子力学的态、算符、公式在不同的矩阵表示之间， 是如何转换的？ 是如何转换的？
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么正变换(1/4) 么正变换(1/4)
么正变换
例：有算符 ，波函数 和 ，以及
力学量 Q 只具有连续的本征值 q ，本征函数是 uq(x) )
与分立本征值的类似 分立的指标换为连续的指标，求和换为积分 分立的指标换为连续的指标， 在 Q 表象中 例： 在坐标表象中的矩阵元
在动量表象中的矩阵元
问题：有了态、算符的矩阵表示， 问题：有了态、算符的矩阵表示，量子力学其它公式的矩阵 表示是什么？ 表示是什么？ √
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狄拉克符号(1/6) 狄拉克符号(1/6)
问题：态和力学量的性质不依赖具体的表象， 问题：态和力学量的性质不依赖具体的表象， 那么能不能定义一套与表象无关的符号？ 狄拉克符号 那么能不能定义一套与表象无关的符号？ 例1：矢量 的表示 ：大小和方向与所选的坐标系无关 以 (0, 0) 为原点： , ) 原点： 以 (a, b) 为原点： , ) 原点： Ψ(x, ) 例2：态矢量 Ψ( , t) 的表示 ：体系状态与所选坐标系无关 A 表象( un(x) )： 表象( ) B 表象( vn(x) )： 表象( ) 定义：在量子力学中，当描写态和力学量的时候， 定义：在量子力学中，当描写态和力学量的时候，不用具 体的表象， 体的表象，而用狄拉克引用的一套符号 优点 运算简捷： 运算简捷：大大地简化理论表述和运算 可以不考虑具体的表象
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狄拉克符号(3/6) 狄拉克符号(3/6)
标积 定义矢量 与 的标积
态中， 占的概率(振幅) 在 ϕ 态中，φ 占的概率(振幅) 正交归一 分立谱： 分立谱： 连续谱： 连续谱：
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狄拉克符号(4/6) 狄拉克符号(4/6)
态矢量 分立谱：任一态矢量 分立谱： 例：态矢量的标积 连续谱： 连续谱：任一态矢量 例：态矢量的标积 和 在 x 表象中的表示分别是 和 用基矢 展开 用基矢 展开
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么正变换(3/4) 么正变换(3/4)
力学量 的表示的变换 表象中的矩阵元： 算符在 A 表象中的矩阵元： 表象中的矩阵元： 算符在 B 表象中的矩阵元： 态矢量 Ψ( , t) 表示的变换 Ψ(x, ) 表象中： 态矢量在 A 表象中： 表象中： 态矢量在 B 表象中：
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么正变换(4/4) 么正变换(4/4)
算符的矩阵表示(1/3) 算符的矩阵表示(1/3)
力学量 Q 只具有分立的本征值 Qn，本征函数是 un(x) )
在坐标表象中 在 Q 表象中
问题： 最适当的表示方式？有规律吗？ 问题：这么复杂的东西 = 最适当的表示方式？有规律吗？ 可以用矩阵形式表示
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算符的矩阵表示(2/3) 算符的矩阵表示(2/3)
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态的表象(5/5) 态的表象(5/5)
基矢、 基矢、态矢量和希耳伯特空间
基矢 函数展开： 函数展开： 类似于直角坐标系中， 类似于直角坐标系中， 三个方向上的基本单位 称力学量Q的本征函数 矢量 。称力学量 的本征函数 为基矢 在动量表象中， 例：在动量表象中，基矢是动量的本征函数 态矢量 选定特定的Q表象 相当于选取一组特定的基矢。Ψ(x, ) 表象， 选定特定的 表象，相当于选取一组特定的基矢。Ψ( ,t) 在各个基矢上有各自的分量，类似于直角坐标系的矢量。 在各个基矢上有各自的分量，类似于直角坐标系的矢量。 称态 Ψ 为态矢量 动量表象中， 例：动量表象中，Ψ 在各基矢上分量是 希耳伯特空间 形成三维空间。 类似基本单位矢量 形成三维空间。Q 表象下的一组 基矢(一般是无限个)形成无限维空间， 基矢(一般是无限个)形成无限维空间，称为希耳伯特空间 在动量表象中， 例：在动量表象中，动量的本征函数所张开的动量空间
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狄拉克符号(5/6) 狄拉克符号(5/6)
算符在具体表象中 算符 将态矢量 变成 在具体的 k 表象中 ，即
例：薛定谔方程
例：力学量期望值公式
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狄拉克符号(6/6) 狄拉克符号(6/6)