(x,t) Fˆ (x,t)
把波函数 (、x,t) 分别(x,向t) 展开{g (x)}
(x,t) ag (t)g (x)dg
(x,t) bg (t)g (x)dg
代入到算符方程中，得
bg (t)g (x)dg ag (t)Fˆg (x)dg
上式两端做运算 g*， L得dx
bg
b2
(t
)
F21
F22
L
L L L L
bk (t) Fk1 Fk 2 L
L L L L
F1k L a1(t)
F2k
L
a2
(t
)
L L L
Fkk L ak (t)
L O L
或简写为 2．本征方程
bm (t) Fmnan (t)
n
Fˆ (x,t) (x,t)
p
ih
2
0 0
L
2 0
3 L
0
3
0
L
L L L O
1/ 2 0 0 0 L
0
3/2
0
0
L
H h 0 0 5 / 2 0 L
0
0
0
7/2
L
L L L L O
二、量子力学公式的矩阵表示
以下内容都是在 表G象下进行的。
1．算符方程
(x,t) Fˆ (x,t)
b1(t) F11 F12 L
L O L
式中 H mn
* m
(x)。Hˆ上n (式x)d简x 写为
ih dam
dt
n
H mnan
4．平均值公式
F(t)
*(x,t)Fˆ (x,t)dx
am* (t)an (t)
m*
(
x)
Fˆn
(
x)dx
mn
am* (t)Fmnan (t)
mn
a1*(t) a2*(t) L
1
2
h
eipx / h
p (x)dx
ih
p
* p
(
x)
p
(
x)dx
ih ( p p)
p
或
xpp
* p
(
p)
ih
p
p
(
p)dp
(
p
p)
ih
p
(
p
p)dp
ih ( p p)
p
例3．动量表象中 的Fˆ 矩阵元为
Fpp
* p
(
p)Fˆ
p, ih
p
p (
（2）不论在任何具体表象中，任何厄米算符 的Fˆ矩阵元 一F定mn 是 一个数值，故其可以在公式中随意移动位置；
（3）在不同的表象中，算符的矩阵元可能会不同，但是该算符 的本征值不会改变；
（4）如果的本征值为连续谱，则
Gˆg (x) gg (x)
{g (x构)}成正交归一完备基矢组。
算符 满Fˆ足
F11 F12 L
F21
F22
L
L L L
Fk1 Fk 2 L L L L
F1k L a1(t)
F2k
L
a2
(t
)
a1(t)
a2
(t
)
L L L L
Fkk L ak (t) L O L
ak (t) L
F11 F12 L
F21
F22 L
Fm*n m (x)[Fˆn (x)]*dx n*(x)Fˆm (x)dx Fnm
即矩阵中关于对角线对称的元素一定互为复共轭。或者
Fmn Fn*m Fmn
它表明矩阵是厄米矩阵。一般说来，实的对称矩阵都是厄米矩阵。
特例：力学量算符在自身表象中的矩阵。
Gmn
m*
(
x)Gˆn
(
x)dx
一、力学量算符的矩阵表示
力学量 满Gˆ足的本征方程 力学量算符 满Fˆ 足
Gˆn (x) gnn (x) (x,t) Fˆ (x,t)
把波函数 (、x,t) 分别(x,向t) 展开{n (x)}
(x,t) an (t)n (x)
n
(x,t) bn (t)n (x)
n
代入到算符方程中，得 bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
gn
m*
(
x)n
(
x)dx
gnmn
g1 0 L 0 0
0
g2
0
L
0
Gˆ 0 L L L 0
0 0 0 gn 0
L L L L O
算符在自身表象下是一个对角矩阵，并且本征值就是对角元
素。它的阵迹就是全部本征值之和。
说明：
（1）欲求力学量 在Fˆ 表G象下的矩阵表示，必须知道力学量 Gˆ 的本征解，才能计算 Fˆ的矩阵元；
L
LL
Fk1 L
Fk 2 L LL
F1k F2k L
Fkk
L
L a1(t)
L
a2
(t
)
L L 0
L
ak (t)
O L
或简写为
Fmnan am
n
(Fmn mn )an 0
n
方程有非零解的充分必要条件是系数行列式为零。
因为任意力学量在自身表象中的矩阵都是对角的，所以，通常把 求解本征方程的过程称为矩阵对角化的过程。
(t
)
g*gdx dg
ag
(t
)
* g
Fˆ
g
dx
dg
bg (t) (g g)dg ag (t)Fgg dg
bg (t) Fggag (t)dg
其中，算符 Fˆ的矩阵元
Fgg
* g
(
x)
Fˆg
(
x)dx
例1．坐标表象中 的Fˆ 矩阵元为
Fxx
* x
( x) Fˆ
x,
ih
x
§4-2 力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
一、力学量算符的矩阵表示 二、量子力学公式的矩阵表示
§4-2 力学量算符和量子力学公式的矩阵表示
量子力学的三个基本要素是波函数、算符和薛定格方程。上一节 讲了波函数的矩阵表示，为了保证理论体系的一致性，必须实现力 学量算符与量子力学公式的矩阵表示。
在量子力学中，将坐标表象下的表示称为波动力学方法，把任意 力学量表象下的表示称为矩阵力学方法。在量子力学的历史上，上 述两种表示方法几乎是同时发展起来的，后来，狄拉克证明了它们 是等价的。
n
n
bn (t)n (x) an (t)Fˆn (x)
n
n
上式两端做运算 m*，L得dx
bn (t) m*ndx an (t) m* Fˆndx
n
n
bn (t)mn an (t) m* Fˆndx
n
n
bm(t) an (t) m* Fˆndx
n
令 Fmn m* (x)Fˆn (x)dx
0 0
2 0
0 3 L
3
0
L
L L L L O
n
0 1 2 3 ...
m 0 0 1/ 2 0
1 1/ 2 0 1
0 ... 0 ...
2 0 1 0 3 / 2 ... 3 0 0 3 / 2 0 ...
... ... ... ... ... ...
0 1 0 0 L
1 0 2 0 L
x
(x)dx
(
x
x)Fˆ
x,
ih
x
(
x
x)dx
Fˆ
x,
ih
x
(
x
x)
其中，x为变数，x、 为x本征值。
例2．动量表象中 的xˆ矩阵元为
xpp
* p
(
x)
x
p (x)dx
1
2 h
eipx / h x p (x)dx
1
2 h
ih
p
eipx
/
h
p
(
x)dx
ih
p
xmn
* m
x
n
dx
1
n
2
m,n1
n
2
1
m,n1
pmn
* m
ih
d dx
n dx
ih
n
2
m,n1
n
2
1
m,n1
Hmn
* m
Hˆ
n
dx
Enmn
n
1 2
h
mn
所以，它们的矩阵表示分别是
1
xmn
n 2
m,n1
n
2
1
m,n
1
0 1 0 0 L
1 0 2 0 L
x
1
2
p)dp
(
p
p)Fˆ
p, ih
p
(
p
p)dp
Fˆ
p,
ih
p
(
p
p)
例4．求一维谐振子中，坐标算符、动量算符和能量算符在能量 表象中的矩阵表示。
解：
x
n
(x)
1
n
2
n1
(
x)
n
2
1
n1
(
x)
d
dx
n
(
x)
n
2
n1
(
x)
n
2
1
n1
(
x)
坐标算符、动量算符和能量算符在能量表象中的矩阵元分别为
0
a1 a2
把波函数归一化
/2