➢ 基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基 础）受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图 形按直线规律变化。
（a）
反力图 （b）
反力图 （c）
图3-8 文克勒地基模型
（a）侧面无摩阻力的土柱体系；（b）弹簧调模研型学；习（c）文克勒地基上的刚性基础
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适用范围：
1）地基主要受力层为软土； 2）厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层
dw
dx
dM
d 3w
V dx EI dx3
M
EI
d 2w dx2
p kw
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w ex C1 cos x C2 sin x ex C3 cos x C4 sin x
2 .集中荷载作用下的解答 (1)竖向集中力作用下
F0 x
边界条件：当x→∞时，w→0。将
O
此边界条件代入上式，得C１=C２=0。 梁的右半部，上式成为：
M
将上式连续对坐标x取两次导数，便得：
EI
d 4w dx4
d 2M dx2
dV dx
bp q
对于没有分布荷载作用（q = 0）的梁段，上式成为：
EI
d 4w dx4
bp
上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。
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采用文克勒地基模型时
EI
d 4w dx 4
bp
p ks
sw
1）布辛奈斯科解，作用P时距r表面沉降s为
S p(1 2 ) / E0r
2）均荷作用下，矩形中心点沉降，可对上式 积分得
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按叠加法，网格i中点的沉降为所有n个网格上的基底 压力分别引起的沉降之和，即
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即对于整个基础有
[δ]称为地基柔 度矩阵
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优点：能够扩散应力和变形，可以反应邻近 荷载的影响。
基础工程
青岛理工大学 土木工程学院 地基教研室
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3.3 地基计算模型
土的应力应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构 性、流变性、剪胀性。
影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、 应力历史。
进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压 力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变 关系，表达这种关系模式称为地基模型。
EI
d 4w dx 4
bkw
文克勒地基上梁
的挠曲微分方程
d 4w dx 4
kb EI
w
0
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柔度特征值： 4 kb
4EI
λ单位为m-1,其倒数为特征长度。 λ值与地基基 床系数和梁的抗弯刚度有关， λ值越小，则基础 的相对刚度愈大。
d 4w dx4
kb EI
w
0
d 4 w 44 w 0
地基；
3）塑性区较大时； 4）支承在桩上的连续基础，可以用弹簧体系
代替群桩。
优点：形式简单、参数少，应用比较广泛。
缺陷：该模型不能扩散应力和变形，不能传 递剪力。
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二、 弹性半空间地基模型
弹性半空间地基模型：假定将地基视为均质的线性 变形半空间，用弹性力学求解地基附加应力或位移， 地基上任意点沉降与整个基底反力及相邻荷载分布 有关。
有限单元法 有限差分法
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3.4 文克勒地基上梁计算
3.4.1 无限长梁的解答 一、微分方程
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x dx
q
+q
F
q
M0
M
M+dM
o
x
V V+dV
w bp
+V
+M
bp
w
挠曲曲线
x
(a)
(b)
(c)
图3-11 文克勒地基上基础梁的计算图式
（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定
根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：
EI
d2w dx 2
M
由梁的微单元的静力平衡条件∑M =0、∑V =0得到：
M Vdx bpdx dx / 2 qdx dx / 2 M dM 0
dM V dx
qdx (V dV ) V bpdx 0
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dV bp q dx
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EI
d2w dx 2
莱特-邓肯模型（Lade-Duncan）——用于砂土
（6）粘弹性模型
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一、 文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设：
地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基 沉降量s成正比。
p=kS
K为基床反力系数，单位kN/m3
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➢ 把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根 弹簧代替。压力与变形成模型，弹性半空间地基 模型，有限压缩层地基模型
（2）刚塑性模型 用于地基承载力、边坡稳定、
土压力等计算。
（3）理想弹塑性模型
（4）非线性弹性模型
E-μ模型（邓肯-张Duncan-Chang、双曲线）
K-G模型
（5）弹塑性模型
剑桥模型（Cam-Clay）——用于粘土
缺点：未能考虑土的非线性和基底反力的塑 性重分布。
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四、 相互作用基本条件
两个条件
1）静力平衡
外荷载和基底反力作用下满足
F 0 M 0
2）变形协调 Wi Si
挠度=沉降量
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➢ 解析解：指能以函数的形式解析地表达出 来地解答。如文克勒地基上梁的解答。
➢ 数值解：把梁或板微分方程离散化，最终 得到一组线性代数方程，从而求得近似地 数值解。
dx 4
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四阶常系数线性常微分方程
d 4 w 44 w 0
dx 4
特征方程 特征方程根
r 4 44 0
r1,2 1 i r3,4 1 i
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解得该方程的通解为：
w ex (C1 cos x C2 sin x) ex (C3 cos x C4 sin x)
式中C１、C２、C３和C４为积分常数
公式同弹性半空间地基模型，柔度矩阵：
nc
ij t 1
h tij ti Esti
σtij—第i个棱柱体中第t分层由P=1/f引起的竖向附加应力的平均值(取中点)
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优点：
➢较好地反映了地基土扩散应力和变形地能 力，反映邻近荷载的影响；
➢考虑了土层沿深度和水平方向的变化。
缺点：
➢ 模型的扩散能力往往超过地基实际情况， 沉降量和沉降范围比实测结果大。
➢ 未能考虑到地基的成层性、非均质性以及 土体应力应变关系的非线性等重要因素。
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三、有限压缩层地基模型
有限压缩层地基模型：把计算沉降的分层总 和法应用于地基上梁和板的分析，地基沉降 等于各计算分层在侧限条件下压缩量之和。
w ex C3 cos x C4 sin x
对称性：在x=0处，dw/dx=0，代 入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C， 则上式成为
w exCcos x sin x