取坐标如下所示 当中心结点 1 受有集中荷载 F0 时，把 荷载作为均匀分布在 h 2 的面积上，于是 该结点处的荷载集度为 q0
F0 ，而在其他结 h2
点处，荷载集度均为零。 对于简支边外一行虚结点处的挠度， 就等于边 界内一行相对结点处的挠度，而符号相反。
即
wa w3 , wb w2 , wc w3
把挠度 w 的表达式取为如下的重三角级数：
Y
w Amn sin
m 1 n 1


m x n y sin （1） a b
其中的 m 和 n 都是任意正整数。显然，上列的边界条件都能满足。将式（1）代 入弹性曲面的微分方程 D4 w q 中，但是在薄板承受横向荷载而发生挠度时， 弹性地基将对薄板作用一定的分布反力，即所谓弹性抗力。在文克勒地基中，地 基对薄板所施反力的集度 P， 是和薄板的挠度 w 成正比而方向相反， 即 p kw ， 这样，薄板所受横向分布力的总集度将为 p q ，因此薄板弹性曲面的微分方程
1
须改变成为 D 4 w
k q w D D
此时，将荷载 q 也展为同一形式的级数，即
4 a b m x n y m x n y （2） q q sin sin dxdy sin sin ab m1 n1 0 0 a b a b
将式（1）和式（2）代入微分方程 D 4 w
整理得出关于 w 的线性方程组矩阵如下：
32 8 20 2.6e 8 8 24 2.6e 8 16 2 16 20 2.6e 8
w1 4.161589e-2 w 0 2 = 0 w3

sin
由题意，当集中荷载作用在薄板中心时，中பைடு நூலகம்处 0.8, 0.8 的挠度最大，将坐标点
0.8, 0.8 代入式（4）,结果如下图所示
2
解得 wmax 3.09e 2 方法 2——差分法 2.1 网格（4*4）差分法
a 用 4*4 网格求解 h 。 由于对称， 只有 3 个独立的未知值， 即 w1 , w2 , w3 ， 4
4 ab m x n y sin dxdy a b （3） m2 n2 2 4 D( 2 2 ) k a b
b 0
k q 中，即得 w D D
Amn

0
a
q sin
当薄板在任意一点 , 受集中荷载 F 时，可以得到 当薄板在任意一点 , 受集中荷载 F 时，可以用微分面积 dxdy 上的均布荷载
由此可得最大结点挠度为：
wmax w1 3.29e 2
方法 3——有限元解法（利用 Abaqus 工程软件） 3.1 创建一个三维实体，边长均为 1.6 m ，厚度为 0.08m （1）建模分网
（2）创建边界条件
8
（3）求解并查看结果（单位 mm）
最大挠度 wmax 3.004e 2m 三种方法的结果比较如下： 纳维解法： 代入计算，解得挠曲线为重三角级数时中心点处最大挠度为 差分法： 4*4 网格： 最大挠度 wmax w1 3.64e 2m 8*8 网格：最大挠度 wmax w1 3.29e 2m 差分法中， 8*8 网格的解答更靠近理论解，较为精确 有限元法： 三维薄板：正方形板中心处挠度最大，最大挠度为 wmax 3.004e 2 （ F 1.0e7 N , 0.08m ）
由此得到该 3 个结点处的挠度为:
w1 3.64e 2
， w2 2.08e 2
， w3 1.30e 2
4
最大挠度为 wmax w1 3.64e 2 2.2 网格（8*8）差分法 a 1 用 8*8 的网格求解 h 。由于对称，取 薄板为研究对象，建立如下坐标系， 8 4 并标注结点如图所示 取坐标如下所示
据此，为 1,2,3 结点建立差分方程如下：
3
20 20 20
kh 4 D kh 4 D kh 4 D
4 q0 , w1 8 4 w2 2(4 w3 ) h D w2 8 w1 2 w3 2 2 w2 0, w3 8(2 w2 ) 2 w1 0
板壳理论课程设计
第一部分
学习心得
第二部分文克勒地基上的基础板解题法
题目：文克勒地基上的四边简支薄板中心受集中荷载的解法 设文克勒地基上放置一个正方形薄板，边长为 a=1.6m,厚度 0.08m ， 如图所示， 四边均为简支边， 在薄板的中心受有集中力的作用， F0 1.0e7 N 。 取薄板弹性模量 E =205 GPa ，泊松比 0.3 ， k 1 ，取坐标轴如图所示， 方法 1——纳维解法
wmax 3.09e 2m
纳维解法 条件
差分法
有限元法
重三角级数 （4*4）网格
（8*8）网格 三维薄板
wmax m
误差
3.09e 2
13.64e 2
15.1%
3.29e 2 6.07%
3.004e 2 2.78%
0
9
w1 w 2 w3 w4 w5 w6 w 7 w8 w 9 w10
1.040397e 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
整理得出关于 w 的线性方程组矩阵如下：
32 4 8 0 0 0 0 0 0 20+1.6e-9 25+1.6e-9 8 16 6 0 1 0 0 0 8 1 8 20 1.6e-9 4 16 2 8 4 0 0 2 16 4 22+1.6e-9 16 2 0 2 0 0 3 8 8 23+1.6e-9 8 2 8 0 3 0 0 0 2 2 16 20+1.6e-9 0 4 2 16 0 1 8 0 4 0 20+1.6e-9 16 0 2 0 2 1 8 2 8 21+1.6e-9 1 8 0 0 0 0 0 2 0 2 20+1.6e-9 16 0 0 0 0 0 3 8 1 8 8 22+1.6e-9
o
X
当并无支座沉陷时，其边界条件为
( w) x 0 0, ( ( w) x a ( w) y 0 ( w) y b
2w ) x 0 0, x 2 2w 0, ( ) x a 0, x 2 2w 0, ( ) y 0 0, y 2 2w 0, ( ) y b 0. y 2
边 界 外 虚 结 点
a, b, c, d , e 的 挠
度分别为：
wa w7 , wb w8 , wc w10 , wd w9 , we w14
建立差分方程如下所示：
5
kh 4 a q ) w1 8(4 w2 ) 2(4 w4 ) 4 w3 ( ) 4 0 , D 8 D 4 kh (20 ) w2 8( w4 w3 w4 w1 ) 2( w2 w5 w5 w2 ) 2w5 w2 w7 0, D kh 4 (20 ) w3 8( w2 2 w5 w7 ) 2(2 w4 2 w8 ) 2 w6 w11 w1 0, D kh 4 (20 ) w4 8(2 w5 2 w2 ) 2( w1 2 w3 w6 ) 2 w4 2 w8 0, D kh 4 (20 ) w5 8( w3 w6 w4 w8 ) 2( w2 w7 w10 w5 ) w2 w12 w10 w15 0, D kh 4 (20 ) w6 8(2 w5 2 w10 ) 2( w4 w8 w8 w9 ) 2w3 2w13 0, D kh 4 (20 ) w7 8(2 w8 w3 w11 ) 2(2 w5 2 w2 ) w2 2 w10 w7 0, D kh 4 (20 ) w8 8( w5 w7 w10 ) 2( w3 w6 ) w4 w8 w8 w9 0, D kh 4 (20 ) w9 8( w10 w10 ) 2( w6 ) 2 w8 2 w9 0, D kh 4 (20 ) w10 8( w8 w6 w9 ) 2( w5 w10 ) w5 w10 w7 0. D (20
F dxdy
来代替分布荷载 q ，于是除了在 , 处的微分面积上等于 F 以外，在
dxdy
其余各处都等于零。
m n sin 4F m x n y a b w sin sin 2 2 n 2 ab m 1 n 1 4 m a b （4） D( 2 2 ) k a b
k q 4w 4w 4w k q w ， 在结点 1 处 4 2 2 2 4 w1 0 D D D x 1 x y 1 y 1 D
另外，前面提到过，文克勒地基板上的基础板导出弹性曲面的微分方程如下：
D 4 w
6
7
由此得到 10 个结点挠度如下： w1 3.29e 2
w2 2.78e 2 w3 1.95e 2 w4 2.44e 2 w5 1.75e 2
w6 1.28e 2 w7 1.00e 2 w8 0.90e 2 w9 0.35e 2 w10 0.67e 2