1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．k2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM 为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C （0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．6．如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P 的坐标；（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T 为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．参考答案与试题解析1．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC 于点F，求△PEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，得到，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC，∴∠OBC=45°，∵PF∥OB，∴∠PFE=∠OBC=45°，∵PE⊥BC，∴∠PEF=90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•（﹣m2+2m+3）+•3•m﹣=﹣（m﹣）2+，∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，此时P（，﹣），∵直线BC的解析式为y=x﹣3，∴F（﹣，﹣），∴PF=，∵△PEF是等腰直角三角形，∴EF=EP=，∴C△PEF最大值=+．（3）①如图2中，当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．易知△PFN≌△PEM，∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），∵M（1，﹣4），∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），∴m=或（舍弃），∴P点横坐标为所以满足条件的点P的横坐标为2或．2．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM 为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是▱APQM面积的时，求▱APQM面积．【解答】解：（1）令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），C（0，3），∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，∴D（2，3），∴直线AD的解析式为：y=x+1；（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），∵FH∥x轴，∴H（﹣x2+2x+2，﹣x2+2x+3），∴FH=﹣x2+2x+2﹣x=﹣（x﹣）2+，∴FH的最大值为，由直线AD的解析式为：y=x+1可知∠DAB=45°，∵FH∥AB，∴∠FHG=∠DAB=45°，∴FG=GH=×=故△FGH周长的最大值为×2+=；（3）①当P点在AM下方时，如图1，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过AM中点N（0，2），∴可知Q′在y轴上，易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T（1，4），从而T、M重合，∴▱APQM是矩形，∵易得直线AM解析式为：y=2x+2，∵MQ⊥AM，∴直线QQ′：y=﹣x+，∴4+p=﹣×2+，解得：p=﹣，∴PN=，∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4××PN×AO=4×××1=5；②当P点在AM上方时，如图2，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的，∴PQ′必过QM中点R（，4+），易得直线QQ′：y=﹣x+p+5，联立，解得：x=，y=，∴H（，），∵H为QQ′中点，故易得Q′（，），由P（0，p）、R（，4+）易得直线PR解析式为：y=（﹣）x+p，将Q′（，）代入到y=（﹣）x+p得：=（﹣）×+p，整理得：p2﹣9p+14=0，解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去），∴P（0，7），∴PN=5，∴S□APQM=2S△AMP=2××PN×|x M﹣x A|=2××5×2=10．综上所述，▱APQM面积为5或10．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠ACO=．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值；（3）在（2）的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N，使得∠NEP为锐角，在线段EB上是否存在点G，使得以E，N，G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），∴OA=1．又∵tan∠ACO=，∴OC=4．∴C（0，﹣4）．∵OC=OB，∴OB=4∴B（4，0）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（3，﹣4）．设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，解得k=﹣1，b=﹣1，∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．∵直线AD的一次项系数k=﹣1，∴∠BAD=45°．∵PM平行于y轴，∴∠AEP=90°．∴∠PMH=∠AME=45°．∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．设P（a，a2﹣3a﹣4），M（﹣a﹣1），则PM=﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3，∵PM=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4，∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4．（3）如图1所示；当∠EGN=90°．设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．∵∠EGN=∠AOC=90°，∴时，△AOC∽△EGN．∴=，整理得：a2+a﹣8=0．解得：a=（负值已舍去）．∴点G的坐标为（，0）．如图2所示：当∠EGN=90°．设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）．∵∠EGN=∠AOC=90°，∴时，△AOC∽△NGE．∴=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．解得：a=（负值已舍去）．∴点G的坐标为（，0）．∵EN在EP的右面，∴∠NEG＜90°．如图3所示：当∠ENG′=90°时，EG′=EG××=（﹣1）×=．∴点G′的横坐标=．∵≈4.03＞4，∴点G′不在EG上．故此种情况不成立．综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．4．如图（1），抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x1＜0＜x2），与y轴交于点C （0，﹣3），若抛物线的对称轴为直线x=1，且tan∠OAC=3．（1）求抛物线的函数解析式；（2 若点D是抛物线BC段上的动点，且点D到直线BC距离为，求点D的坐标（3）如图（2），若直线y=mx+n经过点A，交y轴于点E（0，﹣），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线AE于点M，点N在线段AM延长线上，且PM=PN，是否存在点P，使△PMN的周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及△PMN的周长的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△AOC中，tan∠AOC==3，且OC=3，∴OA=1，则A（﹣1，0），∵抛物线的对称轴为直线x=1，则点A（﹣1，0）关于直线x=1的对称点B的坐标为（3，0），设抛物线的表达式为y=a（x﹣3）（x+1），将点C（0，﹣3）代入上式得﹣3a=﹣3，解得：a=1，∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3；（2）∵点B（3，0）、C（0，﹣3），则BC=3，∴S△BCD=×3×=3，设D（x，x2﹣2x﹣3），连接OD，∴S△BCD=S△OCD+S△BOD﹣S△BOC=•3•x+•3•（﹣x2+2x+3）﹣×3×3==3，解得x=1或x=2，则点D的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）设直线AE解析式为y=kx+b，将点A（﹣1，0）、E（0，﹣）代入得：，解得：，则直线AE 解析式为y=﹣x﹣，AE==，设P（t，t2﹣2t﹣3），则M（t，﹣t﹣），∴PM=﹣t﹣﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+t+，作PG⊥MN于G，由PM=PN得MG=NG=MN，由△PMG∽△AEO得=，即=，∴MG=PM=NG，∴C△PMN=PM+PN+MN=PM=（﹣t2+t+）=﹣t2++6=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，C△PMN取得最大值，此时P（，﹣）．5．已知：如图，直线y=﹣x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为（﹣1，0）．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．（2）在直线BC上方的抛物线上有一点D，过D作DE⊥BC于E，作DF∥y轴交BC于F，求△DEF周长的最大值．（3）在满足第②问的条件下，在线段BD上是否存在一点P，使∠DFP=∠DBC．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）直线y=﹣x+2与x轴交于B（2，0），与y轴交于C点（0，2），设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）的坐标代入，∴a=﹣1，b=1，c=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2，（2）设D（x，﹣x2+x+2），F（x，﹣x+2），∴DF=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，所以x=1时，DF最大=1，∵OB=OC，∴△OBC为等腰直角三角形，∵DE⊥BC，DF∥y轴，∴△DEF为等腰直角三角形，∴△DEF周长的最大值为1+（3）如图，当△DEF周长最大时，D（1，2），F（1，1）．延长DF交x轴于H，作PM⊥DF于M，则DB=，DH=2，OH=1当∠DFP=∠DBC时，△DFP∽△DBF，∴，∴DP=，∴=，∴PM=，DM=，∴P点的横坐标为OH+PM=1+=，P点的纵坐标为DH﹣DM=2﹣=，∴P（，）．6．如图，抛物线y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m＞1）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FG⊥AD于G，FH∥x轴交直线AD于H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM，与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式．【解答】解：（1）把C（0，3）代入y=﹣x2+（m﹣1）x+m得m=3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，（2）令y=﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，∴D（1，2），AD的解析式y=x+1，设AD与y轴交于E，∴OA=OE=1，∴∠EAO=45°，∵FH∥AB，∴∠FHA=∠EAO=45°，∵FG⊥AH，∴△FGH是等腰直角三角形，设点F坐标（m，﹣m2+2m+3），∴点H坐标（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），∴FH=﹣m2+m+2，∴△FGH的周长=（﹣m2+m+2）+2×（﹣m2+m+2）=﹣（1+）（m﹣）2+∴△FGH的周长最大值为；（3）∵抛物线y=﹣x2+2x+3的定点坐标为（1，4），∴直线AM的解析式为y=2x+2，∵直线l垂直于直线AM，∴设直线l的解析式为y=﹣x+b，∵与坐标轴交于P、Q两点，∴直线l的解析式为y=﹣x+b与y轴的交点P（0，b），与x轴的交点Q（2b，0），设R（1，a），∴PR2=（﹣1）2+（a﹣b）2，QR2=（2b﹣1）2+a2，PQ2=b2+（2b）2=5b2，∵△PQR是以PQ为斜边的等腰直角三角形，∴PR2=QR2，即（﹣1）2+（a﹣b）2=QR2=（2b﹣1）2+a2，∴﹣2a=3b﹣4，①∴PR2+QR2=PQ2，即（﹣1）2+（a﹣b）2+（2b﹣1）2+a2=5b2，∴2a2﹣2ab﹣4b+2=0，②联立①②解得：，，∴直线l的解析式为y=﹣x+或y=﹣x+2．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将x=0代入得y=3，∴C（0，3）．∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，C（0，3），∴D（2，3）．把y=0代入抛物线的解析式得：0=﹣x2+2x+3，解得x=3或x=﹣1，∴A（﹣1，0）．设直线AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：，解得：k=1，b=1，∴直线AD的解析式为y=x+1．（2）如图1所示：∵直线AD的解析式为y=x+1，∴∠DAB=45°．∵EF∥x轴，EG∥y轴，∴∠GEF=90°，∠GFE=∠DAB=45°∴△EFG是等腰直角三角形．∴△EFG的周长=EF+FG+EG=（2+）EG．依题意，设E（t，﹣t2+2t+3），则G（t，t+1）．∴EG=﹣t2+2t+3﹣（t+1）=﹣（t﹣）2+．∴EG的最大值为．∴△EFG的周长的最大值为+．（3）存在．①以AD为平行四边形的边时，PQ∥AD，PQ=AD．∵A，D两点间的水平距离为3，∴P，Q两点间的水平距离也为3．∴点Q的横坐标为3或﹣3．将x=3和x=﹣3分别代入y=﹣x2+2x+3得y=0或y=﹣12．∴Q（3，0）或（﹣3，﹣12）．②当AD为平行四边形的对角线时，设AD的中点为M，∵A（﹣1，0），D（2，3），M为AD的中点，∴M（，）．设点Q的横坐标为x，则=，解得x=1，∴点Q的横坐标为1．将x=1代入y=﹣x2+2x+3得y=4．∴这时点Q的坐标为（1，4）．综上所述，当点Q的坐标为Q（3，0）或（﹣3，﹣12）或（1，4）时，以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．8．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点D，已知点C（0，），连接AC．（1）求直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为G，当△PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q，使|QP﹣QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；（3）当（2）题中|QP﹣QG|取得最大值时，直线PG交y轴于点M，把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线y′与直线AD相交的一个交点为A′，在平移的过程中，是否存在点A′，使得点A′，P，M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A′的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0则，﹣x2﹣x+3=0，解得x=﹣3或x=2，∴A（﹣3，0），B（2，0）．设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A和点C的坐标代入得：，解得：k=，b=，∴直线AC的解析式为y=x+．（2）延长PE交OA与点F，则PF⊥OA．∵PF⊥OA，PG⊥AC，∴∠EFA=∠PGE．又∵∠PEG=∠FEA，∴∠EAF=∠EPG．∵OC=，AO=3，∴tan∠GPE=tan∠EAF=．∴sin∠GPE=，cos∠GPE=．∴PG=PE，EG=EP．∴△PEG的周长=PE+PG+EG=（1+）PE．∴当PE取得最大值时，△PEC的周长最大．设点P的坐标为（t，﹣t2﹣t+3），则点E的坐标为（t，t+）．∵点P在点E的上方，∴PE=﹣t2﹣t+3﹣（t+）=﹣t2﹣t+=﹣（t+1）2+2．当t=﹣1时，PE取得最大值，此时△PGE的周长取得最大值．∴点P（﹣1，3），点E的坐标为（﹣1，﹣1）．∴PE=3﹣1=2．∴PG=PE=．根据三角形的两边之差小于第三边可知：当点P、G、Q三点共线时，|QP﹣QG|的值最大，此时|QP﹣QG|=PG=（3）如图所示：∵∠PGE=∠PFN，∠P=∠P，∴△PEG∽△PNF，∴=，即=2，解得FN=1.5．∴点N的坐标为（，0）．设PN的解析式为y=kx+b，将点P和点N的坐标代入得：，解得：k=﹣2，b=1．∴M（0，1）．设直线AD的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：﹣3m+3=0，解得m=1，∴直线AD的解析式为y=x+3．设点A′的坐标为（x，x+3）．当PM=PA′时，=，整理得：x2+x﹣2=0，解得x=1或x=﹣2，∴点A′的坐标为（1，4）或（﹣2，1）．当PM=MA′时，=，整理得：2x2+4x﹣1=0，解得：x=或x=，∴点A′的坐标为（，）或（，）．当A′P=A′M时，=，整理得：﹣2x=3，解得：x=﹣，∴A′（﹣，）．综上所述，点A′的坐标为（1，4）或（﹣2，1）或（，）或（，）或（﹣，）．9．如图，抛物线y=﹣x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C．（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1，P为直线BC上方抛物线上的一点；①过点P作PD⊥BC于点D，作PM∥y轴交直线BC于点M，当△PDM的周长最大时，求P点坐标及周长最大值；②在①的条件下，连接AP与y轴交于点E，抛物线的对称轴与x轴交于点K，若S为直线BC上一动点，T 为直线AC上一动点，连接EK，KS，ST，TE，求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2，将△AOC顺时针旋转60°得到△A′OC′，将△A′OC′沿直线OC′平移，记平移中的△A′OC′为△A″O′C″，直线A″O′与x轴交于点F，将△O′C″F沿O′C″翻折得到△O′C″F′，当△CC″F′为等腰三角形时，求此时F点的坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y=﹣x2+x+3，令x=0，得到y=3，可得C（0，3），令y=0，可得y=﹣x2+x+3=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴直线AC的解析式为y=3x+3，直线BC的解析式为y=﹣x+3；（2）①如图在1中，设P（m，﹣m2+m+3），则M（m，﹣m+3）．∵点P运动时，△PDM的形状是相似的，∴PM的值最大时，△PDM的周长的值最大，∵PM=﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m2﹣4m+4﹣4）=﹣（m﹣2）2+3，∵﹣＜0，∴m=2时，PM的值最大，此时P（2，），PM的最大值为，∵OC=3，OB=4，∴BC==5，由△PDM∽△BOC，可得==，∴==，∴PD=，DM=，∴△PDM的周长的最大值为++=．②如图2中，作K关于BC的对称点K′，E关于AC的对称点E′，连接E′K′交AC于T，交BC于S，此时四边形EKST的周长最小．四边形EKST的周长的最小值=EK+SK+ST+TE=EK+K′S+ST+TE′=EK+E′K′，∵P（2，），∴直线AP的解析式为y=x+，∴E（0，），∵K（，0），∴OE=OK=，EK=，∵K与K′关于直线BC对称，∴K′（，），∵E，E′关于直线AC对称，∴E′（﹣，），∴E′K′==3，∴四边形EKST周长的最小值为3+=．（3）如图3中，设OF=2m，则FO′=O′F′=m，OO′=m，OC″=m+3．可得F′（m，m），C″（m+，m+），①当C″C=C″F′时，（m+）2+（m﹣）2=（﹣m）2+（﹣m）2，整理得m2+3m=0，解得m=0或﹣3（舍弃），∴F（0，0）．②当CF′=C″F′时，（﹣m）2+（﹣m）2=m2+（m﹣3）2，整理得m2﹣m=0，解得m=0或，∴F（0，0）或（，3）；③当CF′=CC″时，m2+（m﹣3）2=（m+）2+（m﹣）2，整理得m2﹣9m=0，解得m=0或9，∴F（0，0）或（9，27），综上所述，满足条件的点F坐标为（0，0）或（，3）或（9，27）；。