第二章点、直线、平面之间的位置关系
一、平面
1、含义：平面是无限延展的
2、“3个公理”
公理内容图形符号
公理1如果一条直线上的两点在一个
平面内，那么这条直线在此平面
内
A∈l，B∈l，且A∈
α，B∈α
⇒l⊂α
公理2过不在一条直线上的三点，有且
只有一个平面
A，B，C三点不共
线⇒存在唯一的α,
使A，B，C∈α
推论：①一条直线和其外一点可确定一个平面
②两条相交直线可确定一个平面
③两条平行直线可确定一个平面
公理3如果两个不重合的平面有一个公
共点，那么它们有且只有一条过
该点的公共直线
P∈α，P∈β
⇒α∩β＝l，且P∈l
二、空间中点、直线、面的位置关系（“3种关系”）
1、空间两条直线的位置关系
位置关系特点
共面相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点
异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点
异面直线的画法
1.异面直线所成角θ的范围是【锐角(或直角)】00<θ≤900
2.当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面
直线互相垂直，记作a⊥b；
2.直线与平面的位置关系
位置关系直线a在平面α内
直线a在平面α外
直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点
符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α
图形表示
3.两个平面的位置关系
位置关系图示表示法公共点个数
两平面平行α∥β没有公共点
两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线
上)
三、平行（3种）
线线平行 线面平行 面面平行
⎭
⎪⎬⎪
⎫a ∥α
a ⊂βα∩β＝
b ⇒a ∥b
⎭
⎪⎬⎪
⎫
a ⊄α
b ⊂αa ∥b ⇒a ∥α β
ααα
ββ
//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪
⎪⎪⎬⎫
=⋂⊂⊂b a p b a b a
⎭
⎪⎬⎪
⎫α∥β
α∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b αββα////a a ⇒⎭
⎬⎫
⊂ β
αααββ
//////⇒⎪⎪
⎪
⎪
⎪⎭⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎬⎫
=⋂⊂⊂=⋂⊂⊂m b n a Q n m n m p b a b a
⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 垂直于同一平面的 两直线平行
βαβα//⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥l l 垂直于同一条直线 的两平面平行
⎭⎪
⎬
⎪⎫
a∥b
b∥c
⇒a∥c.β
α
γ
β
γ
α
//
//
//
⇒
⎭
⎬
⎫
四、垂直（3种）
线线垂直线面垂直面面垂直a
l
a
l
⊥
⇒
⎭
⎬
⎫
⊂
⊥
α
α
α
α
α
⊥
⇒
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⊥
⊥
=
⋂
⊂
⊂
l
b
l
a
l
p
b
a
b
a
β
α
α
β
⊥
⇒
⎭
⎬
⎫
⊂
⊥
l
l
⎭⎪
⎬
⎪⎫
α⊥β
α∩β＝l
a⊂α
a⊥l
⇒a⊥β
β
α
γ
β
γ
α
⊥
⇒
⎭
⎬
⎫
⊥
//
α
α
⊥
⇒
⎭
⎬
⎫
⊥
a
b
a
b
//
五、角（3种）
异面直线所成角直线与平面所成角度二面角
平面的一条斜线和它在平面上
的射影所成的锐角
范围：]
90
,0(︒
︒范围：]
90
,0[︒
︒
①当直线AP与平面垂直时，它们所
成的角是90°.
②当直线与平面平行或在平面内
时，它们所成的角是0°.
范围：]
180
,
0[︒
︒
第三章直线与方程
一、倾斜角和斜率
1、倾斜角：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
2、斜率：k ＝tan α＝
y2－y1
x2－x1
(x1≠x2)
直线
倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率
>0
不存在
<0
二、直线的位置关系
直线方
程
b kx y +=
1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），
2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）
平行
2
12121,//b b k k l l ≠=⇔l 1∥l 2⇔l 1，l 2斜率都不存在
1
2212
1
212121//B A B A C C B B A A l l =⇔≠=⇔
与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，
可设所求方程为10Ax By C ++=（c c ≠1）
垂直
12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.
1212120l l A A B B ⊥⇔+=
与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=. 一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零
相交
l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.
1l 与2l 相交11
22
A B A B ⇔
≠. 1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.
重合
212121,//b b k k l l ==⇔
1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=；
1l 与2l 重合111
222
A B C A B C ⇔
==
三、直线的方程
1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.
2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.
3.两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为11
2121
y y x x y y x x --=--（2121,y y x x ≠≠） 4. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x y
a b
+=（不过原点的直线） 5.一般式：0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）
直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C
y x B B
=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距
为C
B
-
的直线. 四、解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一：化为点斜式00()y y k x x -=-.令⎩⎨⎧=-=-00
00y y x x ，直线必过定点(x 0，y 0)
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数， 联立⎩
⎪⎨⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，
A 2x ＋
B 2y ＋
C 2＝0解得．
五、距离公式
1、两点间的距离公式：|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
2、点到直线的距离：
点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=
的距离公式为d =
3、两平行线距离
两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=
之间的距离公式d =
六、对称问题
1、点关于点对称
点),(b a A 关于点),(00y x P 对称，求A '坐标
解：设),(d c A '，则联立⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+=+00
22y d b x c
a 求得
2、点关于线对称
点N (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )可由
方程组⎩⎨⎧
y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－A B ＝－1(AB ≠0)A ·x ＋x 0
2＋B ·y ＋y
2
＋C ＝0求得．。