2
其中
A
y2
v
r
y
tg 1 r y v y
（a）阻尼对频率和周期的影响
讨论：
y
r12,随 而
T 2 r
当ξ<0.2，则存在0.96<ωr/ω<1。 0
在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，
可近似取: r, TrT
Aet
An
An+1
T 2 r
t
8
（b）阻尼对振幅的影响
振幅
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Aet
阻尼使振幅不断衰减，结构在振动过程中为克服阻力而
作功，当初始时刻外界赋予结构的能量全部消耗贻尽，结 构停止振动。
相邻两个振幅的比: yk1 eT 常数 y yk
振幅按等比级数递减.
Aet
An
An+1
l
nyk l yk1
ne T T 2r
0
称为振幅的对数递减率.
T 2 r
9
如 0 .2则 r 1 , 1rln y k 1ln y k 2 y k 12 y k 1
k 2
(2)自振频率
f 11 0.71(H 4)z T 1.4
2f 4.481s
(3)阻尼特性 21ln12.60.035, 5r12(0.99 )12 9
(4)6周后的振幅
y0 y1
et0 e(t0T)
eT
y0 y6
et0 e(t06T)
e6T
6
yy1 0
y 6 21y y1 0ln 6A A ynn 0 1 12 .261m 6 l2 nA0 A n. n5 m2c4m
13
2、有阻尼强迫振动
简谐荷载P(t)=Fsinθt
& y& 2y&2yFsint
m
设特解为：y=Asinθt +Bcos θt代入上式得：
F 2 2
F 2
A m (2 2)2 4 2 2 2, B m (2 2)2 4 2 2 2
齐次解加特解得到通解：
y { e t C 1 co r t C s 2 sir tn } +{Asin θt +Bcos θt }
§10-4 阻尼对振动的影响
本节主要内容 •阻尼理论的了解 •单自由度体系有阻尼的自由振动 •振动方程的解 •阻尼对频率和振幅的影响 •阻尼比的确定
•有阻尼的强迫振动
1
无阻尼振动内容回顾
1.无阻尼自由振动：
y 2y0
y(t)yocost vosint
y(t)Asin(t)
A= y02 +v02 /ω2 α =1tan-1 (y0ω /v0 )
2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 振动波在土壤中传播而耗散能量；
3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。
3
3、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3）与质点速度无关（如摩擦力）。
c2m
cr2m2 mk
c cr
阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。
3)ξ>1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。
11
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集
中在横梁处共，计加为一m水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一
FS(t)ky(t) FI(t)m& y& (t) FD(t)cy&
Ck
平衡方程: m y c y k y P ( t)
. F D ( t )
m
1、阻尼对自由振动
. FS(t) y
m
P(t)
m y c y k y 0
P(t)
P(t)
y cy ky0
FI(t)
mm
y 2y 2 y 0 （令2 c 及 2 k )
设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:
1 ln yk 2n ykn
工程中常用此 方法测定阻尼
2)ξ=1（临界阻尼）情况
& y & 2y & 2y0
y(C1C2t)et
y[y0(1t)v0t]et
( ± 2 1)
y tg0v0
θ0
y0
这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
10 t
临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）
2.无阻尼受迫振动：
&y&
2
y
F m
sin
t
yyst12 12(sitn sint)
平稳阶段：
yyst121 2sint
[y]max 1 yst 12 2
2
§10-4 阻尼对振动的影响
一、阻尼理论
1、阻尼的两种定义或理解： 1）使振动衰减的作用； 2）使能量耗散。
2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量；
个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。
解： 21lnyykk121ln00..450.0335
m EI=∞
9.8kN
224.18s91
T 1.5
kP9.8103196104N/m A0 0.005
c 2m 2m 2 2k
2 0 .03 15 9 1 54 6 0 33N 2 s/m 2 3 0.3 2 N 2 s/cm
m
m
（1）振动方程的解
特征方程 2220 设解为：y Bet
5
特征值 1,2( 2 1),
一般解 y(t)B 1e1tB 2e2t
ξ是一个重要参数，ξ的大小，使体系的运动呈不同情况。
ξ ＞1
ξ =1
ξ＜1
大阻尼 临界阻尼 小（弱）阻尼
1）低阻尼情形 ( <1 )
令 r 12
λi=-ωξ ± iωr
6
方程的一般解为：
y ( t) e t( C 1 co r t s C 2 sir t) n
由初始条件确定C1和C2；
设
y(0) y( 0 )
y v
得 C1y C2vr y
y(t)e t (yco rts v r y si n rt) 7
y(t) e t A s(i n rt )
振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不 同，目前主要有两种阻尼理论：
*粘滞阻尼理论——非弹性力与变形速度成正比： FD cy&
c — 阻尼系数，粘滞阻尼系数。 （单位 N·s/m）
*滞变阻尼理论 其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。
4
二、单自由度体系有阻尼振动微分方程
4 .189
12
例6. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移2cm，振
动一周T=1.4s后，回摆1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。
解：(1)大梁的重量,
由 T2 2 W1.4s
kg
W=mg
W 1 2 .4 2kg0.0
42 9 0 6 9 2
k
8 418 .6k6N2