第三章一元一次方程单元复习与巩固
知识点一：一元一次方程及解的概念
1、一元一次方程：
一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。
要点诠释：
一元一次方程须满足下列三个条件：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的次数是1次；
（3）整式方程．
2、方程的解：
判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．
类型一：一元一次方程的相关概念
1、已知下列各式：
①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦＝8；⑧x＝0。
其中方程的个数是( )
A、5
B、6
C、7
D、8
[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：
-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2)
[变式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a的值。
[变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是( )
A．－5 B．5 C．7 D．2
知识点二：一元一次方程的解法
1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果，那么；(c为一个数或一个式子)。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果，那么；如果，那么
要点诠释：
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：（其中m≠0）
特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，
如方程：－=1.6，将其化为：
－=1.6。
方程的右边没有变化，这要与“去分母”
区别开。
2、解一元一次方程的一般步骤：
解一元一次方程的一般步骤
常用步骤具体做法
依据注意事项
去分母在方程两边都乘以各分母的最
小公倍数
等式基本性
质2
防止漏乘（尤其整数项），注
意添括号；
去括号一般先去小括号，再去中括号，
最后去大括号
去括号法
则、分配律
注意变号，防止漏乘；
移项把含有未知数的项都移到方程
的一边，其他项都移到方程的另
一边(记住移项要变号)
等式基本性
质1
移项要变号，不移不变号；
合并同类项把方程化成ax＝b(a≠0)的形式合并同类项
法则
计算要仔细，不要出差错；
系数化成1 在方程两边都除以未知数的系
数a，得到方程
的解x＝
等式基本性
质2
计算要仔细，分子分母勿颠
倒
类型二：一元一次方程的解法
1．巧凑整数解方程：
[变式]解方程：＝2x－5
2．巧用观察法解方程：
3．巧去括号解方程：
思路点拨：从外向内去括号可以使计算简单。
[变式]解方程：
4．运用拆项法解方程：
5．巧去分母解方程：
[变式]（2011山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。
解：原方程可变形为 (__________________________)
去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (__________________________)
去括号，得9x+15=4x-2. （____________________________）
(____________________),得9x-4x=-15-2. (____________________________)
合并，得5x=-17. (合并同类项)
（____________________）,得x=. （_________________________）
6．巧组合解方程：
7．巧解含有绝对值的方程：
|x－2|－3＝0
8．利用整体思想解方程：
知识点三：列一元一次方程解应用题
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意．
（6）写出答案．
2、常见的一些等量关系
常见列方程解应用题的几种类型：
类型基本数量关系等量关系
(1)和、差、倍、分问题①较大量＝较小量＋多余量
②总量＝倍数×倍量
抓住关键性词语
(2)等积变形问题变形前后体积相等
(3)行程问题相遇问题路程＝速度×时间甲走的路程＋乙走的路程＝两地
距离
追及问题同地不同时出发：前者走的路程
＝追者走的路程
同时不同地出发：前者走的路程
＋两地距离＝追者所走的路程顺逆流问题顺流速度＝静水速度＋水流速度
逆流速度＝静水速度－水流速度
顺流的距离＝逆流的距离
(4)劳力调配问题
从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之
几”“多”“少”等关键词语
(5)工程问题工作总量＝工作效率×工作时间各部分工作量之和＝1
(6)利润率问题商品利润＝商品售价－商品进价
商品利润率＝×100％
售价＝进价×(1＋利润率) 抓住价格升降对利润率的影响来考虑
(7)数字问题设一个两位数的十位上的数字、个位上
的数字分别为a，b，则这个两位数可表
示为10a＋b 抓住数字所在的位置或新数、原数之间的关系
(8)储蓄问题利息＝本金×利率×期数本息和＝本金＋利息＝本金＋本
金×利率×期数×(1－利息税
率)
(9)按比例分配问题甲∶乙∶丙＝a∶b∶c全部数量＝各种成分的数量之和
(设一份为x)
(10)日历中的问题日历中每一行上相邻两数，右边的数比
左边的数大1；日历中每一列上相邻的
两数，下边的数比上边的数大7 日历中的数a的取值范围是1≤a≤31，且都是正整数
知识点四：方程与整式、等式的区别
（1）从概念来看：
整式：单项式和多项式统称整式。
等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。
如，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－，m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
方程：含有未知数的等式叫做方程。
如5x＋3＝11，等都是方程。
理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。
两者缺一不可。
（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。
（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。
但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。
解一元一次方程常用的技巧有：
(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。
(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。
(3)当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。
(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看做整体进行变形。
类型三、一元一次方程的常见应用题
1.优化方案问题
由于活动需要，78名师生需住宿一晚，，他们住了一些普通双人间和普通三人间，结果每间客房正好住满，且在宾馆给他们打五折优惠的基础上一天一共付住宿费2130元。
请你算一算，他们需要双人普通间和三人普通间各多少间？
类型普通
(元/间)
豪华(元/间)
双人房140 300
三人房150 400
2.行程中的追及相遇问题
甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？
[变式]甲、乙两地相距240千米，汽车从甲地开往乙地，速度为36千米/时，摩托车从乙地开往甲地，速度是
汽车的。
摩托车从乙地出发2小时30分钟后，汽车才开始从甲地开往乙地，问汽车开出几小时后遇到摩托车？
3．日历中的方程
总结升华：
(1)日历中的数量关系
①在日历中，每一横排相邻两个数字之间差1。
②在日历中，每一竖排相邻两个数字之间差7。
③在日历中，左上到右下方向相邻两个数字之间差8。
④在日历中，右上到左下方向相邻两个数字之间差6。
(2)用一个正方形任意圈出9个数的规律
①中间一个数字是所有九个数字的平均值。
②每一横排、每一竖排、每一斜排，中间一个数字都是它们的平均值。
举一反三：
[变式]每人准备一份日历，在各自的日历上任意圈一个竖列上的相邻的四个数，两个分别把自己所圈4个数的和告诉同伴，由同伴求出这个数。
(1)4个数的和等于42。
(2)4个数的和等于60。