中考数学人教版专题复习：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系一、教学内容弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系1.圆心角、圆周角的概念.2.弧、弦、圆心角之间的关系.3.圆周角定理及推论.二、知识要点1.弧、弦、圆心角（1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.（2）弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.︵︵︵︵如图所示，（1）若∠AOB＝∠COD，则AB＝CD，AB＝CD；（2）若AB＝CD，︵︵则∠AOB＝∠COD，AB＝CD；（3）若AB＝CD，则∠AOB＝∠COD，AB＝CD.190ABOCD2. 圆周角（1 ）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.CC CO1 2 OOA①BA②DBEA③B（3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， °的圆周角所对的弦是直径.三、重点难点本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.【典型例题】例 1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB ＝∠DOC ，试说明：︵ ︵（1）DB ＝AC ；（2）BD ＝AC .2AO BCD︵︵︵︵︵︵分析：（1）∵∠DOC＝∠AOB，∴DC＋BC＝AB＋BC，∴BD＝AC.（2）∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，∴BD＝AC.︵︵解：（1）∵∠DOC＝∠AOB，∴DC＝AB，︵︵︵︵︵︵∴DC＋BC＝AB＋BC，即BD＝AC.︵︵（2）由（1）得BD＝AC，∴BD＝AC.︵例2.如图所示，C是AB的中点，与∠ADC相等的角的个数是（）A.7个B.3个C.2个D.1个BCA OD分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC＝∠ABC＝∠CAB＝∠CDB，故与∠ADC相等的角共有3个.解：B评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求.3︵例3.如图所示，BC为半圆O的直径，G是半圆上异于B、C的点，A是BG的中点，AD⊥BC于点D，BG交AD于点E，请说明AE＝BE.分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE与BE相等，可转化为说明∠BAD＝∠ABE，︵圆周角∠ABE所对的弧为AG，连结AB、AC即可解决问题.A GECBD O︵︵解：连结AB、AC.∵AB＝AG，∴∠ABE＝∠ACB.又∵AD⊥BC，∴∠ABD＋∠BAE＝90°.∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠BCA＝90°，∴∠BCA＝∠BAE.∴∠BAE＝∠ABG，∴AE＝BE.例4.如图所示，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC、∠ADC、∠EBC的度数，并判断∠A BC和∠ADC、∠EBC和∠ADC的度数关系.EBOα150°A CD分析：解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如劣弧AC所对的圆心4角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，优弧ABC所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC.解：∵∠AOC＝150°，1∠AOC＝75°.∴∠ABC＝2∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°，1∴∠ADC＝∠α＝105°，2∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°.∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∠EBC＝∠ADC＝105°，∴∠ABC和∠ADC互补，∠EBC和∠ADC相等.评析：理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角性质解题的前提.例5.如图所示，AB、CD是⊙O的弦，∠A＝∠C.求证：AB＝CD.D BA CO分析：此题的证明方法很多，由于AB和CD在圆中，且为弦，可证明A B和CD 所对的圆心角相等或弧相等，也可直接或间接利用全等证明AB和CD相等.等等.解法一：如图（1）所示，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F.∴AB＝2AE，CD＝2CF，∠AEO＝∠CFO＝90°.514又∵∠A ＝∠C ，OA ＝OC ，∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF . ∴AB ＝CD .D BAEFCO(1)解法二：如图（2）所示，连结 OB 、OD .∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D .∵∠A ＝∠C ，∴∠B ＝∠D . ∴△OAB ≌△OCD ，∴AB ＝CD .D BD BACA2OO(2) (3)解法三：如图（3）所示，连结 AC .∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠3.又∵∠BAO ＝∠DCO ，∴∠2＝∠4.︵ ︵ ∴BC ＝AD .︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵∴BC ＋BD ＝AD ＋BD ，即AB ＝CD ，∴AB ＝CD .3C61例 6. AB 、BC 、CA 是⊙O 的三条弦，O 到 AB 的距离 OE 等于2AB ，求∠C的度数.分析：∠C 可能为一个钝角，也可能为一个锐角，要分类画图、分析和解答.AAECEB OBOCm(1)(2)解：如图（1）所示，连结 AO 、BO .1因为 OE ⊥AB ，所以 EB ＝AE ＝2AB .1又 OE ＝2AB ，所以 EB ＝OE ＝AE .所以∠EBO ＝∠EOB ＝∠EOA ＝∠EAO ＝45°.1 1 1所以∠C ＝2∠AOB ＝2（∠AOE ＋∠EOB ）＝2×90°＝45°.如图（2）所示，由（1 ）得∠AOB ＝90°，所以优弧 A m B 所对的圆心角是270°，所以∠C ＝135°.即∠C 的度数为 45°或 135°.评析：图（△1）中， ABC 为锐角三角形，圆心在△ABC 内部；图（△2）中， ABC 为钝角三角形，圆心 O 在△ABC 外部，两种情形都符合题意，所以本题应有两解.【方法总结】7A.5cm 51.圆不仅是轴对称图形和中心对称图形，实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合，这样就把圆和其他的中心对称图形区别开来，即圆不仅是中心对称图形，而且还突破了中心对称图形旋转180°后才能与原来图形重合的局限性，得出圆所特有的性质：圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这叫做圆的旋转不变性.利用这一性质可以推出圆的一些其他性质.2.在利用圆心角、弧、弦的关系定理解题时，我们应注意：①作圆心到弦的垂线是圆中一种常见的作辅助线的方法；②由圆心到弦的垂线、弧、圆心角的相等来证明弦相等是证明线段相等的一条重要途径.3.圆周角定理及其推论在证明和计算中应用非常广泛，它是证明角相等、线（弦）相等、弧相等的重要依据，尤其是其推论为在圆中确定直角、构成垂直关系创造了条件，它是圆中的一个很重要的性质，要熟练掌握.同时它也是证明弦为直径的常用方法，若图中有直径，往往构造直径所对的圆周角形成直角，这也是圆中重要的辅助线.【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1.一条弦分圆周为5∶7，这条弦所对的两个圆周角分别为（）A.150°，210°B.75°，105°C.60°，120°D.120°，240°2.已知AC为⊙O的直径，弦AB＝10cm，∠BAC＝30°，那么⊙O的半径为（）B.2cm103C.3cm203D.3cm3.如图所示，⊙O的弦AB、CD相交于点E，已知∠ECB＝60°，∠AED＝65°，那么，ADE的度数为（）8A.40°B.45°C.55°DD.65°BOEA C︵*4.如图所示，劣弧AE所对的圆心角为40°，则∠B＋∠D等于（）A.320°B.160°C.300°CBOD.260°DA E5.如图所示，AB为⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（）A.75°B.72°C.70°D.65°CO A DB6.如图所示，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数为（）A.80°B.100°C.120°D.130°O BAC**7.已知⊙O的半径为6cm，⊙O的一条弦AB的长为63cm，则弦AB9所对的圆周角是（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°二、填空题1.如图所示，D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，则AC与CB弧长的大小关系是__________.C BA EDO2.如图所示，点A、B、C、E都在圆周上，AE平分∠BAC交BC于点D，则图中相等的圆周角是__________.AODB CE︵︵3.如图所示，AB是⊙O的直径，BC＝B D，∠A＝30°，则∠BOD＝__________.CAO BD4.如图所示，已知⊙O的半径为2，圆周角∠ABC＝30°，则弦AC的长是__________.10BOCA︵5.如图所示，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，D是AC上任意一点，那么∠D的度数是__________.CDA O B**6.如图所示，A、B、C、D、E是⊙O上顺次五点，且AB＝BC＝CD，如果∠BAD＝50°，那么∠AED＝__________.DCBOEA三、解答题1.如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F.（1）如果∠AOB＝∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？︵︵（2）如果OE＝OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？11A CE FB DO2.如图所示，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且AD＝CE，BE 与CE的大小有什么关系？为什么？B ECOD A*3.如图所示，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC ＝PC.PB的延长线交⊙O于D.求证：AC＝DC.DBOA C P*4.如图所示，已知A、B、C、F、G是⊙O上的五点，AF交BC于点D，AG交BC于点E，且BD＝CE，∠1＝∠2.求证：AB＝AC.A12OBD ECF G12【试题答案】一、选择题1. B2. C3. C4. B5. A6. D7. D二、填空题1. 相等2. ∠ABC ＝∠AEC ，∠ACB ＝∠AEB ，∠BAE ＝∠CAE ＝∠BCE ＝∠CBE3. 60°4. 25. 130°6. 75°三、解答题1.（1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么 OE ＝OF ，理由是：因为∠AOB ＝∠COD ，1 1所以 AB ＝CD . 因为 OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以 AE ＝2AB ，CF ＝2CD ，所以 AE ＝CF .又因为 OA ＝OC ，所以 R △t OAE ≌R △t OCF . 所以 OE ＝OF . （2）如果 OE ＝OF ，︵ ︵那么 AB ＝CD ，AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ，理由是：因为 OA ＝OC ，OE ＝OF ，所1以 R △t OAE ≌R △t OCF . 所以 AE ＝CF ，又因为 OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以 AE ＝2AB ，1 ︵ ︵CF ＝2CD . 所以 AB ＝2AE ，CD ＝2CF . 所以 AB ＝CD . 所以AB ＝CD ，∠AOB ＝∠ COD .2. BE ＝CE . 理由：∵AB 、DE 为⊙O 的两条相交的直径，∴∠AOD ＝∠BOE ，∴BE ＝AD ，又∵AD ＝CE ，∴BE ＝CE .13. 连结 AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADP ＝90°，∵AC ＝CP ，∴CD ＝2AP .134. ∵∠1＝∠2，∴⌒＝CG ，∴BF ＝CG ，BG ＝⌒，∴∠FBC ＝∠GCE . 又 BD BF CF ＝ ，∴△CE BFD ≌△CGE （SAS ），∴∠F ＝∠G . ∴AB ＝AC ，∴AB ＝AC .1∴CD ＝AC ＝2AP . ∴AC ＝DC .⌒ ⌒⌒ ⌒14。