2019年材料阅读题专题一.方程类1.阅读下面的内容用换元法求解方程组的解题目:已知方程组①的解是,求方程组②的解.解:方程组②可以变形为:方程组③设2x=m,3y=n,则方程组③可化为④比较方程组④与方程组①可得,即所以方程组②的解为参考上述方法,解决下列问题:(1)若方程组的解是,则方程组的解为;(2)若方程组①的解是,求方程组②的解.2.阅读理解题:小聪是个非常热爱学习的学生,老师在黑板上写了一题:若方程x2﹣6x﹣k ﹣1=0与x2﹣kx﹣7=0有相同根,试求k的值及相同根.思考片刻后,小聪解答如下:解:设相同根为m,根据题意,得①﹣②,得(k﹣6)m=k﹣6③显然,当k=6时,两个方程相同,即两个方程有两个相同根﹣1和7;当k≠6时,由③得m=1,代入②式,得k=﹣6,此时两个方程有一相同根x=1.∴当k=﹣6时,有一相同根x=1;当k=6时,有两个相同根是﹣1和7聪明的同学,请你仔细阅读上面的解题过程,解答问题:已知k为非负实数,当k取什么值时,关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+k﹣2=0有相同的实根.3.阅读材料:材料1、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=,x1x2=.材料2、已知实数m、n满足m2﹣m﹣1=0,n2﹣n﹣1=0,且m≠n,求的值.解:由题知m、n是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根,根据材料1得m+n=1,mn=﹣1∴=根据上述材料解决下面问题;(1)一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两根为x1、x2,则x1+x2=,x1x2=.(2)已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1=0,2n2﹣2n﹣1=0,且m≠n,求m2n+mn2的值.(3)已知实数p、q满足p2=3p+2,2q2=3q+1,且p≠2q,求p2+4q2的值.4.相传,大禹治水时,洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案,史称“洛书”,用现在的数字翻译出来,就是三级幻方.三阶幻方是最简单的幻方,又叫九宫格,它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵.其对角线、横行、纵向的数字之和均相等,这个和叫做幻和,正中间那个数叫中心数,如图1,是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方,其幻和为15,中心数为5.(1)如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方,则x的值为;(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方,在此基础上各数再加或减一个相同的数,可组成新三阶幻方,新三阶幻方的幻和也随之变化.如图3,是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新三阶幻方,该新三阶幻方的幻和为a3的4倍,且a5﹣a3=3,求a7的值;(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一个新三阶幻方,如图4,是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方,其中n8为9个数中的最大数,且满足n1﹣2n6=2,n82﹣n62=2448,求p及n9的值.5.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,(1)方程x2﹣x﹣2=0(填“是”或“不是”)倍根方程;(2)若(x﹣2)(mx+n)=0是倍根方程,则求代数式4m2+5mn+n2值;(3)若点(p,q)在反比例函数y=的图象上,则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程吗?若p、q、m为整数,且三次方程x3+px2+qx+m=0有整数解c,则将c代入方程得:c3+pc2+qc+m=0,移项得:m=﹣c3﹣pc2﹣qc,即有:m=c×(﹣c2﹣pc﹣q),由于﹣c2﹣pc﹣q与c及m都是整数,所以c是m的因数.上述过程说明:整数系数方程x3+px2+qx+m =0的整数解只可能是m的因数.例如:方程x3+4x2+3x﹣2=0中﹣2的因数为±1和±2,将它们分别代入方程x3+4x2+3x﹣2=0进行验证得:x=﹣2是该方程的整数解,﹣1,1,2不是方程的整数解.解决问题:(1)根据上面的学习,请你确定方程x3+x2+5x+7=0的整数解只可能是哪几个整数?(2)方程x3﹣2x2﹣4x+3=0是否有整数解?若有,请求出其整数解;若没有,请说明理由.材料1:“上海自来水来自海上”是耳熟能详的回文对联,数学世界里有一些整数你无论从左往右看,还是从右往左看,数字都是完全一样的,例如:22、131、1991、123321、…,像这样的数我们叫它“回文数”.材料2:如果一个三位数,满足a+b+c=8,我们就称这个三位数为“吉利数”.(1)请直接写出既是“回文数”又是“吉利数”的所有三位数;(2)三位数①是大于500的“回文数”;②的各位数字之和等于k是一个完全平方数;求这个三位数(请写出必要的推理过程).8.进位数是一种记数方式,可以用有限的数字符号代表所有的数值,使用数字符号的数目称为基数,基数为n,即可称n进制.现在最常用的是十进制,通常使用10个阿拉伯数字0~9进行记数,特点是逢十进一,对于任意一个用n(n≤10)进制表示的数,通常使用n个阿拉伯数字0~(n﹣1)进行记数,特点是逢n进一,我们可以通过以下方式把它转化为十进制:例如:五进制数(234)5=2×52+3×5+4=69,记作(234)5=69,七进制数(136)7=1×72+3×7+6=76,记作(136)7=76(1)请将以下两个数转化为十进制:(331)5=,(46)7=(2)若一个正数可以用七进制表示为(),也可以用五进制表示为,请求出这个数并用十进制表示.9.进制也就是进位制,是人们利用符号进行计数的科学方法.对于任何一种进制X 进制,就表示某一位置上的数运算时逢X 进一位,如十进制数123=1×102+2×101+3×100,记作123(10);七进制123=1×72+2×71+3×70,记作123(7).各进制之间可进行转化,如:将七进制转化为十进制:123(7)=1×72+2×7+3×70=66,即123(7)=66(10),将十进制转化为七进制:(因为72<66<73,所以做除法从72开始)66÷72=1…17,17÷71=2…3,即66(10)=123(7)(1)根据以上信息,若将八进制转化为十进制:15(8)=1×81+5×80=13,即15(8)=(10);若将十进制转化为九进制:98÷92=1…17,17÷91=1…8,即98(10)=(9)(2)若将一个十进制两位数转换成九进制和八进制数后,得到一个九进制两位数和一个八进制两位数,首位分别2,3,个位分别为x ,y .①若x =7,则y =.②请求出满足上述条件的所有十进制两位数.10.请阅读下列材料:问题:已知方程x2+15x﹣1=0,求一个一元二次方程,是它的根分别是已知方程根的2倍.解:设所求方程根为y,则y=2x,所以,把带人已知方程,得,化简得y2+30y﹣4=0.故所求的方程为y2+30y﹣4=0.这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.请用阅读材料提供的换根法求新方程(要求把方程化为一般形式):(1)已知方程x2+x﹣2=0,求一个一元二次方程.是它的根是已知方程根的相反数,则所求方程为:.(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.11.函数[x]称为高斯函数,它表示不超过x的最大整数,例如[5.3]=5,[﹣2.4]=﹣3,[4]=4.对任意的实数x,x﹣1<[x]≤x.(1)证明:对于任意实数x,有[x]+[x+]=[2x];(2)解方程:[]=.12.仔细阅读下列材料.“分数均可化为有限小数或无限循环小数”.反之,“有限小数或无限循环小数均可化为分数”例如:=1÷4=0.25,1=1+=1+0.6=1.6或1==8÷5=1.6,=1÷3=0.,反之,0.25==,1.6=1+0.6=1+=1或1.6==,那么0.怎么化为呢?解:∵0.×10=3.=3+0.∴不妨设0.=x,则上式变为10x=3+x,解得x=即0.=根据以上材料,回答下列问题.(1)将“分数化为小数”:=;=.(2)将“小数化为分数”:0.=;1.5=.(3)将小数1.化为分数,需写出推理过程.13.我们知道≈1.414,于是我们说:“的整数部分为1,小数部分则可记为﹣1”.则:(1)﹣3的整数部分为,小数部分则可记为;(2)已知3+的小数部分为a,7﹣的小数部分为b,那么a+b的值是;(3)已知x是的整数部分,y是的小数部分,求的平方根.14.“十字相乘法”能把二次三项式分解因式,对于形如ax2+bxy+cy2的x,y二次三项式来说,方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1,a2的积,即a=a1•a2,把y2项系数c分解成两个因数,c1,c2的积,即c=c1•c2,并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b,那么可以直接写成结果:ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y)(a2x+c2y)例:分解因式:x2﹣2xy﹣8y2解:如右图,其中1=1×1,﹣8=(﹣4)×2,而﹣2=1×(﹣4)+1×2∴x2﹣2xy﹣8y2=(x﹣4y)(x+2y)而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x,y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解,如图1,将a分解成mn乘积作为一列,c分解成pq乘积作为第二列,f分解成jk乘积作为第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则,则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k);例:分解因式:x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解:如图2,其中1=1×1,﹣3=(﹣1)×3,2=1×2;而2=1×3+1×(﹣1),1=(﹣1)×2+3×1,3=1×2+1×1;∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=(x﹣y+1)(x+3y+2)请同学们通过阅读上述材料,完成下列问题:(1)分解因式:6x2﹣7xy+2y2=x2﹣6xy+8y2﹣5x+14y+6=(2)若关于x,y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积,求m的值.(3)已知x,y为整数,且满足x2+3xy+2y2+2x+4y=﹣1,求x,y.二、不等式类15.求不等式(2x﹣1)(x+3)>0的解集.解:根据“同号两数相乘,积为正”可得:①或②.解①得x>;解②得x<﹣3.∴不等式的解集为x>或x<﹣3.请你仿照上述方法解决下列问题:(1)求不等式(2x﹣3)(x+1)<0的解集.(2)求不等式≥0的解集.16.对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>.即:当n为非负整数时,如果n﹣,则<x>=n.反之,当n为非负整数时,如果<x>=n,则n﹣,例如:<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.49>=1,<2>=2,<3.5>=<4.12>=4.试解决下列问题:(1)填空:①<π>=(π为圆周率);②如果<x﹣1>=3,则实数x的取值范围为.(2)①若关于x的不等式组的整数解恰有3个,则a的取值范围是.②若关于x的方程+x﹣2=﹣有正整数解,求m的取值范围.(3)求满足<x+1>=x的所有非负整数x的值.17.对于实数x,y我们定义一种新运算L(x,y)=ax+by(其中a,b均为非零常数),等式右边是通常的四则运算,由这种运算得到的数我们称之为线性数,记为L(x,y),其中x,y叫做线性数的一个数对.若实数x,y都取正整数,我们称这样的线性数为正格线性数,这时的x,y叫做正格线性数的正格数对.(1)若L(x,y)=x+3y,则L(2,1)=,L(,)=;(2)已知L(1,﹣2)=﹣1,L(,)=2.①a=,b=;②若正格线性数L(m,m﹣2),求满足50<L(m,m﹣2)<100的正格数对有多少个;③若正格线性数L(x,y)=76,满足这样的正格数对有多少个;在这些正格数对中,有满足问题②的数对吗?若有,请找出;若没有,请说明理由.18.阅读下面材料:小丁在研究数学问题时遇到一个定义:对于排好顺序的三个数:x1,x2,x3,称为数列x1,x2,x3.计算|x1|,,,将这三个数的最小值称为数列x1,x2,x3的价值.例如,对于数列2,﹣1,3,因为|2|=2,=,=,所以数列2,﹣1,3的价值为.小丁进一步发现:当改变这三个数的顺序时,所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列﹣1,2,3的价值为;数列3,﹣1,2的价值为1;….经过研究,小丁发现,对于“2,﹣1,3”这三个数,按照不同的排列顺序得到的不同数列中,价值的最小值为.根据以上材料,回答下列问题:(1)数列﹣4,﹣3,2的价值为;(2)将“﹣4,﹣3,2”这三个数按照不同的顺序排列,可得到若干个数列,这些数列的价值的最小值为,取得价值最小值的数列为(写出一个即可);(3)将2,﹣9,a(a>1)这三个数按照不同的顺序排列,可得到若干个数列.若这些数列的价值的最小值为1,则a的值为.19.阅读解答题:有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决,请先阅读下面的解题过程,再解答后面的问题.例:若x=123456789×123456786,y=123456788×123456787,试比较x、y的大小.解:设123456788=a,那么x=(a+1)(a﹣2)=a2﹣a﹣2,y=a(a﹣1)=a2﹣a ∵x=y=(a2﹣a﹣2)﹣(a2﹣a)=﹣2<0∴x<y看完后,你学到了这种方法吗?再亲自试一试吧,你准行!问题:(1)x=98760×98765﹣98761×98764,y=98761×98764﹣98762×98763,试比较x、y 的大小;(2)计算:1.345×0.345×2.69﹣1.3453﹣1.345×0.3452.三、函数类20.平面直角坐标系中,点P(x,y)的横坐标x的绝对值表示为|x|,纵坐标y的绝对值表示为|y|,我们把点P(x,y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P(x,y)的勾股值,记为「P」,即「P」=|x|+|y|.(其中的“+”是四则运算中的加法)例如:如果A(﹣1,3),那么「A」=|﹣1|+|3|=4.(1)点M在反比例函数y=的图象上,且「M」=4,求点M的坐标;(2)求满足条件「N」=3的所有点N围成的图形的面积.21.在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”,例如点(1,1),(﹣2,﹣2),(,),…,都是“梦之点”,显然“梦之点”有无数个.(1)若点P(m,5)是反比例函数y=(n为常数,n≠0)的图象上的“梦之点”,求这个反比例函数的解析式;(2)一次函数y=2kx﹣1(k为常数,k≠0)的图象上存在“梦之点”吗?若存在,请求出“梦之点”的坐标,若不存在,说明理由;(3)若二次函数y=ax2+bx+1(a,b为常数,a≠0)的图象上有且只有一个“梦之点”A(c,c),令t=b2+4a,当﹣2<b<2时,求t的取值范围.22.新定义:若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“共性二次函数”.(1)请写出两个为“共性二次函数”的函数;(2)已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4nx+2n2+1和y2=ax2+bx+5,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“共性二次函数”,求函数y2的表达式.23.阅读材料,解答问题.知识迁移:当a>0且x>0时,因为()2≥0,所以x﹣2+≥0,从而x+(当x=时取等号),记函数y=x+(a>0,x>0),由上述结论可知:当x=时,该函数有最小值为2.直接应用:已知函数y1=x(x>0)与函数y2=(x>0),则当x=时,y1+y2取得最小值为.变形应用:已知函数y1=x+2(x>﹣2)与函数y2=(x+2)2+9(x>﹣2),求的最小值,并指出取得该最小值时相应的x的值.实际应用:建造一个容积为8立方米,深2米的长方体无盖水池,池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元,设池长为x米,水池总造价为y(元),求当x为多少时,水池总造价y最低?最低是多少?24.小明在课外学习时遇到这样一个问题:定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.求y=﹣2x2+5x﹣3函数的“旋转函数”.小明是这样思考的:由y=﹣2x2+5x﹣3函数可知,a1=﹣2,b1=5,c1=﹣3,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能确定这个函数的“旋转函数”.请参考小明的方法解决下面的问题:(1)写出函数y=﹣2x2+5x﹣3的“旋转函数”;(2)若函数y1=x2+x﹣n与y2=﹣x2﹣mx﹣2互为“旋转函数”,求(m+n)2019的值;(3)已知函数y=(x﹣2)(x+3)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1,试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y=(x﹣2)(x+3)互为“旋转函数”.25.问题背景:若矩形的周长为1,则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x,面积为s,则s与x的函数关系式为:(x>0),利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值.提出新问题:若矩形的面积为1,则该矩形的周长有无最大值或最小值?若有,最大(小)值是多少?分析问题:若设该矩形的一边长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为:(x>0),问题就转化为研究该函数的最大(小)值了.解决问题:借鉴我们已有的研究函数的经验,探索函数(x>0)的最大(小)值.(1)实践操作:填写下表,并用描点法画出函数(x>0)的图象:x…1/41/31/21234…y…545…(2)观察猜想:观察该函数的图象,猜想当x=时,函数(x>0)有最值(填“大”或“小”),是.(3)推理论证:问题背景中提到,通过配方可求二次函数(x>0)的最大值,请你尝试通过配方求函数(x>0)的最大(小)值,以证明你的猜想.〔提示:当x>0时,〕26.对某一个函数给出如下定义:若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足﹣M≤y ≤M,则称这个函数是有界函数.在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的边界值.例如图中的函数是有界函数,其边界值是1.(1)若函数y=﹣x+1(a≤x≤b,b>a)的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b的取值范围;(2)将函数y=x2(﹣1≤x≤m,m≥0)的图象向下平移m个单位长度,得到的函数的边界值是t,当m在什么范围时,满足≤t≤1?27.在平面直角坐标系xOy中,当图形W上的点P的横坐标和纵坐标相等时,则称点P为图形W的“梦之点”.(1)已知⊙O的半径为1.①在点E(1,1),F(﹣,﹣),M(﹣2,﹣2)中,⊙O的“梦之点”为;②若点P位于⊙O内部,且为双曲线y=(k≠0)的“梦之点”,求k的取值范围.(2)已知点C的坐标为(1,t),⊙C的半径为,若在⊙C上存在“梦之点”P,直接写出t的取值范围.(3)若二次函数y=ax2﹣ax+1的图象上存在两个“梦之点”A(x1,y1),B(x2,y2),且|x1﹣x2|=2,求二次函数图象的顶点坐标.28.著名数学教育家波利亚曾说:“对一个数学问题,改变它的形式,变换它的结构,直到发现有价值的东西,这是数学解题的一个重要原则.”阅读下列两则材料,回答问题材料一:平方运算和开方运算是互逆运算,如:a2±2ab+b2=(a±b)2,那么=|a±b|,那么如何将双重二次根式(a>0,b>0,a±2>0)化简呢?如能找到两个数m,n(m>0,n>0),使得(2+()2=a即m+n=a,且使即m•n=b,那么a±2=()2+()2±2=(2∴==|,双重二次根式得以化简:例如化简:;∵3=1+2且2=1×2,∴3+2=()2+()2+2∴==1+材料二:在直角坐标系xoy中,对于点P(x,y)和点Q(x,y′)出如下定义:若y′=,则称点Q为点P的“横负纵变点”例如,点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2)点(﹣2,5)的“横负纵变点”为(﹣2,﹣5)问题:(1)请直接写出点(﹣3,﹣2)的“横负纵变点”为;化简,=;(2)点M为一次函数y=﹣x+1图象上的点,M′为点M的横负纵变点,已知N(1,1),若M′N=,求点M的坐标.(3)已知b为常数且1≤b≤2,点P在函数y=﹣x2+16(+)(﹣7≤x≤a)的图象上,其“横负纵变点”的纵坐标y′的取值范围是﹣32<y′≤32,若a 为偶数,求a的值.29.对于三个数a、b、c,M|a,b,c|表示这三个数的平均数,min{a,b,c}表示a、b、c这三个数中最小的数,如:M|﹣1,2,3|==,min{﹣1,2,3}=﹣1;M|﹣1,2,a|==,min{﹣1,2,a}=解决下列问题:(1)填空:M|,,|=;min{﹣3,,﹣π}=;(2)若min{2,2x+2,4﹣2x}=2,求x的取值范围;(3)若M|2,x+1,2x|=min{2,x+1,2x},求x的值;(4)如图,在同一平面直角坐标系中,画出了函数y=x+1,y=(x﹣1)2,y=2﹣x的图象,则min{x+1,(x﹣1)2,2﹣x}的最大值为.30.定义:如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合,那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”.例如:y=+1的图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位得到y=的图象,则y=+1是y与x的“反比例平移函数”.(1)若矩形的两边分别是2cm、3cm,当这两边分别增加x(cm)、y(cm)后,得到的新矩形的面积为8cm2,求y与x的函数表达式,并判断这个函数是否为“反比例平移函数”.(2)如图,在平面直角坐标系中,点O为原点,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(9,0)、(0,3).点D是OA的中点,连接OB、CD交于点E,“反比例平移函数”y =的图象经过B、E两点.①求这个“反比例平移函数”的表达式;②这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合,请直接写出这个反比例函数的表达式.31.请阅读下述材料,并解答问题例:说明代数式+的几何意义,并求它的最小值.解:在平面直角坐标系中,已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)则这两点间的距离公式为:P1P2=所以原式=+如图建立直角坐标系,点P(x,0)是x轴上一点,则可以看成点P 与点A(0,1)的距离,可以看成点P与点B(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB的长度之和,它的最小值就是PA+PB的最小值.设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,由两点之间,线段最短可得,PA′+PB的最小值为线段A′B的长度.为求A′B我们可以构造直角三角形A′CB,因为A′C=3,CB=3,所以A′B=3,即原式的最小值为3解答问题:(1)代数式+的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)、点B的距离之和(填写点B的坐标);(2)代数式+的最小值为.32.“三等分角”是数学史上一个著名的问题,但仅用尺规不可能“三等分角”.下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图):将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中,边OB在x轴上、边OA与函数y=的图象交于点P,以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线,两直线相交于点M,连接OM得到∠MOB,则∠MOB=∠AOB.要明白帕普斯的方法,请研究以下问题:(1)设P(a,)、R(b,),求直线OM对应的函数表达式(用含a,b的代数式表示);(2)分别过点P和R作y轴和x轴的平行线,两直线相交于点Q.请说明Q点在直线OM上,并据此证明∠MOB=∠AOB;(3)应用上述方法得到的结论,你如何三等分一个钝角(用文字简要说明).四、因式分解类33.阅读下列材料1637年笛卡儿(R.Descartes,1596﹣1650)在其《几何学》中,首次应用待定系数法将4次方程分解为两个2次方程求解,并最早给出因式分解定理.他认为,若一个高于二次的关于x的多项式能被(x﹣a)整除,则其一定可以分解为(x ﹣a)与另外一个整式的乘积,而且令这个多项式的值为0时,x=a是关于x的这个方程的一个根.例如:多项式x2+9x﹣10可以分解为(x﹣1)与另外一个整式M的乘积,即x2+9x﹣10=(x﹣1)M,令x2+9x﹣10=0时,可知x=1为该方程的一个根.关于笛卡尔的“待定系数法”原理,举例说明如下:分解因式:x3+2x2﹣3.观察知,显然x=1时,原式=0,因此原式可分解为(x﹣1)与另一个整式的积.令:x3+2x2﹣3=(x﹣1)(x2+bx+c),而(x﹣1)(x2+bx+c)=x3+(b﹣1)x2+(c﹣b)x﹣c,因等式两边x同次幂的系数相等,则有:,得,从而x3+2x2﹣3=(x﹣1)(x2+3x+3).此时,不难发现x=1是方程x3+2x2﹣3=0的一个根.根据以上材料,理解并运用材料提供的方法,解答以下问题:(1)若x+1是多项式x3+ax+1的因式,求a的值并将多项式x3+ax+1分解因式.(2)若多项式3x4+ax3+bx﹣34含有因式x+1及x﹣2,求a+b的值.(3)若多项式6x2﹣xy﹣2y2+5x﹣8y+a可以分解为两个一次因式之积,求a的值将该多项式分解因式.34.阅读理解:若一个整数能表示成a2+b2(a、b是整数)的形式,则称这个数为“平和数”,例如5是“平和数”,因为5=22+1,再如,M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y是整数),我们称M也是“平和数”.(1)请你写一个小于5的“平和数”,并判断34是否为“平和数”.(2)已知S=x2+9y2+6x﹣6y+k(x,y是整数,k是常数,要使S为“平和数”,试求出符合条件的一个k值,并说明理由.(3)如果数m,n都是“平和数”,试说明也是“平和数”.35.阅读下列材料解决问题两个多位数整数,若它们各数位上的数字之和相等,则称这两个多位数互为“调和数”,例如37和82,它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2,显然3+7=8+2=10故37和82互为“调和数”.(1)下列说法错误的是A.123和51互为调和数”B.345和513互为“调和数C.2018和8120互为“调和数”D.两位数和互为“调和数”(2)若A、B是两个不等的两位数,A=,B=,A和B互为“调和数”,且A与B 之和是B与A之差的3倍,求满足条件的两位数A.36.请阅读以下材料,并解决相应的问题:材料一:换元法是数学中的重要方法,利用换元法可以从形式上简化式子,在解某些特殊方程时,使用换元法常常可以达到转化与化归的目的,例如在求解一元四次方程x4﹣2x2+1=0时,令x2=t,则原方程可变为t2﹣2t+1=0,解得t=1,从而得到原方程的解为x=±1.村料二:杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就,在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列.如图为杨辉三角形:(1)利用换元法解方程:(x2+3x﹣1)2+2(x2+3x﹣1)=3(2)在杨辉三角形中,按照由上至下、从左到右的顺序观察,设a n是第n行的第2个数(其中n≥4),b n是第n行的第3个数,c n是第(n﹣1)行的第3个数.请利用换元法因式分解:4(b n﹣a n)•c n+137.材料一:一个大于1的正整数,若被N除余1,被(N﹣1)除余1,被(N﹣2)除余1…,被3除余1,被2除余1,那么称这个正整数为“明N礼”数(N取最大),例如:73(被5除余3)被4除余1,被3除余1,被2除余1,那么73为“明四礼”数.材料二:设N,(N﹣1),(N﹣2),…3,2的最小公倍数为k,那么“明N礼”数可以表示为kn+1,(n为正整数),例如:6,5,4,3,2的最小公倍数为60,那么“明六礼”数可以表示为60n+1.(n为正整数)(1)17“明三礼”数(填“是”或“不是”);721是“明礼”数;(2)求出最小的三位“明三礼”数;(3)一个“明三礼”数与“明四礼”数的和为32,求出这两个数.38.阅读下列材料:我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值,最小值等.例如:分解因式x2+2x﹣3=(x2+2x+1)﹣4=(x+1)2﹣4=(x+1+2)(x+1﹣2)=(x+3)(x﹣1);再例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6=2(x2+2x﹣3)=2(x+1)2﹣8.可知当x=﹣1时,2x2+4x﹣6有最小值,最小值是﹣8,根据阅读材料用配方法解决下列问题:(1)分解因式:m2﹣4m﹣5=.(2)当a,b为何值时,多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值,并求出这个最小值.(3)已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2+2b2+c2﹣2b(a+c)=0,试判断此三角形的形状.39.任意三个正整数a、b、c,若满足a+b2﹣2c=2,我们称这三个数组成的一组数为和谐数组,记为(a,b,c).对每一和谐数组,我们用F(a,b,c)表示它的和谐度,规定:F(a,b,c)=abc.例如:∵6+22﹣2×4=2,∴(6,2,4)是和谐数组,F(6,2,4)=6×2×4=48.(1)(a,b,c)是和谐数组,求和谐度F(a,b,c)的最小值.(2)(a,b,c)是和谐数组,且a,b、c满足3a2﹣8b+c=0.求和谐度F(a,b,c)的最小值.40.若在一个两位正整数N的个位数与十位数字之间添上数字5,组成一个新的三位数,我们称这个三位数为N的“至善数”,如34的“至善数”为354;若将一个两位正整数M加5后得到一个新数,我们称这个新数为M的“明德数”,如34的“明德数”为39.(1)26的“至善数”是,“明德数”是.(2)求证:对任意一个两位正整数A,其“至善数”与“明德数”之差能被45整除;(2)若一个两位正整数B的“明德数”的各位数字之和是B的“至善数”各位数字之和的一半,求B的值.。