28基本不等式专题辅导222、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 a,b R ,则 a b 2 ab3、基本不等式的两个重要变形 （1）若 a,b R *，则2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；a b6、柯西不等式（1）若 a, b,c, d R ，则（a 2 b 2）（c 2 d 2） （ac bd ）2 (2) 若 a 1, a 2, a 3, bi, b 2, b 3 R ，则有：22 2 2 2 22(a 1 a 2a 3 )(柑b ?b 3 ) (aQ a ?b 2 a s b s )(3) 设a 1,a 2, ,a n 与db, ,b 是两组实数，则有222p222佝 a 2a . )(0b 2 b n )(日山 a 2b 2a nb n )一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式(1)若 a,b R ，则 a 2b 22ab1、设a,b 均为正数，证明不等式：、.ab 二(2)右 a, b R ，则 aba,b,c 为两两不相等的实数，(2)若 a, b R ,则 abb 2ab bc ca4、求最值的条件：“一正， 二定，三相等”5、常用结论1(1)若 x 0，则 x — 2 （当且仅当 x 1时取“=”)x1 (2)若 x 0,则 X -2 （当且仅当 x 1时取“=”)X(3)若 ab 0,则--2 （当且仅当a b 时取“=”)b a2 2(4)若 a, b R ，则 ab（旦 b)2 a b2 2(5)若 a, b R ，贝U1. a ab ba 2b 2 v ------1 122(1 已知aa,b,ca )(1 1, 求证:b)(1 c) 8abca, b, c R4 2x 46、（ 2013年新课 标H 卷数学（理）选修4— 5 :不等式选 讲 设a,b,c 均为正数,且a b c 1,证明：(i) ab bc ca 1 3；（2 , 2 2a b c , n)1.b c a7、（ 2013年江苏卷（数学） 选修4— 5 :不等式选u 讲已知 a b 0,求证：2a 3 b 3 2ab 2 a 2b 题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域(1)y 3x22x(2) y x(4 x)1(3) y x(x 0)x(4) y1 x —(x 0)x题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知x 2，求函数y2x 4 2x 4的最小值;变式1 :已知x 2，求函数y2x4 2x 4的最小值;变式2：已知x 2，求函数y 2x的最大值;题型四：利用不等式求最值(二)(凑系数)1、当LI ，…一时，求y x(82x)的最大值；3、求函数y 2x 15 2x(- x -)的最大值;2 2(提示：平方，利用基本不等式)变式1：当「I —.二时，求y 4x(8 2x)的最大值;变式：求函数y . 4x 3 11 4x(3 x W)的最大值;443变式2：设0 x ，求函数y 4x(32x)的最大值。
练习：1、已知x5,求函数y 4x 2 __________ 的最小值;4 4x 52、若0 x 2，求y . x(6 3x)的最大值;2、已知X5，求函数y 4x 2- 的最大值; 44x 5变式：若0 x 4，求y . x(8 2x)的最大值;题型五：巧用“1”的代换求最值问题1 11、已知a,b 0,a 2b 1，求t 丄-的最小值;a b法一：x y变式5：（1 ）若x, y 0 且2x y 1 . 1 11，求一x y的最小值；（2）若a,b,x, y R 且ax b〔，求xyy的最小值;1 9变式4：已知x, yO ,且4，求x y的最小值;a b变式2：已知x, y 0,—一x y1，求xy的最小值;变式1：已知a,b 0,a 2b 2，求t - 1的最小值;、1 1变式3:已知x, y 0，且9，求x y的最小值。
变式6：已知正项等比数列a n满足：a7 a6 2a5，若----- 1 4存在两项a m, a n，使得a m3n 4厲，求的最小值；m nx y题型六：分离换元法求最值（了解）x2 7x 101、求函数y （x 1）的值域;x 1题型七：基本不等式的综合应用a b1、已知log 2 a log 2 b 1，求3 9的最小值2、（2009天津）已知a, b 0,求」」2、ab的最小值; a b2 1 1式a 的最小值;ab a(a b)变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当a 0, a 1时，函数y log a（x 1） 1的图像恒过定点A，若点A在直线mx y n 0上，求4m2n的最小值;变式：求函数y1）的值域;2、求函数y（提示：换元法）变式1：（2010四川）如果a b 0，求关于a,b的表达变式：求函数y航的最大值;3、已知x, y 0 , x 2y 2xy 8，求x 2y最小值;4、（ 2（)13年山东（理））设正实数x,y,z满足2 x3xy4y2 z 0 ,则当xy取得最大值z时,21-的最大值为()x y zA. 0 B . 1 C9D . 34（提示：代入换元，利用基本不等式以及函数求最值）变式1:已知a,b 0 ，满足ab a b 3，求ab范围;变式2: （2010山东）求xy最大值；（提示: 已知x, y通分或三角换元）2变式：设x,y,z是正数，满足x 2y 3z 0,求—的XZ最小值；变式3: （2011浙江）求xy最大值；已知x, y 0，x2 y2 xy 1，题型八：利用基本不等式求参数范围i 、（ 20i2沈阳检测）已知x, y 0,且（x y ）（! 旦）9 x y 恒成立，求正实数 a 的最小值；题型九：利用柯西不等式求最值1、 二维柯西不等式a b（a,b, c, d R,当且仅当一 一；即ad be 时等号成立）c d若 a, b,c,d R ，则（a 2 b 2）（c 2 d 2） （ac bd ）22、 二维形式的柯西不等式的变式（1） Ja 2 b 2 J c 2 d 2 ac bd（a,b,c,d R,当且仅当a -;即ad be 时等号成立）c d（2） . a 2 b 2、c 2 d 2 ac bd（a,b,c,d R,当且仅当a -;即ad be 时等号成立）c d （3） （a b ）（c d ） （.. ac .. bd ）2（a,b, c, d 0,当且仅当--;即ad bc 时等号成立）c d3、二维形式的柯西不等式的向量形式（当且仅当 0,或存在实数k,使a k 时,等号成立）4、三维柯西不等式若 ai ,a 2, a 3,b i ,b 2,b 3 R ，则有:5、一般n 维柯西不等式设 4^2,,a n 与b i ,b 2, ,b n 是两组实数，则有：z22(a i a 2a n 2)(b 2b 22b n 2) (一b i a 2b ,日“^)2（a,b i R,当且仅当色邑也时等号成立）b i b 2b n1 4变式：已知a,b 0满则丄-a b求c 的取值范围；2，若a b c 恒成立,/ 2 2(a ia2a 32)(ib i 2 b 22 b 32)心柑 a ?b 2 a s b s )2（卅R ,当且仅当b b a 时等号成立）i i n2、已知x y z 0且 -------------- ------- --------恒成立,x y y z x z如果n N ，求n 的最大值；（参考：4） （提示：分离参数，换元法）析：令 a (2sin , 3 cos ， cos )，b (1, sin ， cos )题型分析 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值 1、设 x, y, z R ，若 x 2 y 2 z 2 4，则 x 2y 2z 的 析： (x 2y 2z) 2 (x 2 2y z 2)[12 ( 2)2 22] 4 9 36••• x 2y 2; z 最小'值为 6此时 x y z 6 2 1 2 2 12 (2)22232 4 4 x ,y z3 3，32、设 x, y, z R , 2x y 2z 6，求 x 2 2 2y z 的最小值 m , 并求 -此时 x,y, z 之值。
4 2 4最小值为 ____________ 时，（x, y,z ） __________ Ans: m 4;(x ，y ，z) (3, 3, 3) 3、设 x, y,z R ，2x 3y z 3，求 x 2 （y 1）2 z 2 之最小值为 __________________ ，此时y ___________ (析：2x 3y z 3 2x 3( y 1) z 0)4、（ 2013 年湖南卷（理））已知 a, b, c , a 2b 3c 6, 则a 2 4b 2 9c 2的最小值是(Ans:12)5、（ 2013年湖北卷（理））设x, y, z R ,且满足：x 2 y 2 z 2 1 , x 2y 3z \ 14 ,求 x y z 的值；6、求 2sin...3 cos sin cos cos的最大值与最小值。
（Ans :最大值为22，最小值为2-2）。