摘要在中学数学的教学中，不等式的证明始终是一个难点，也占有重要的地位，是数学中不可缺少的工具之一。

关于不等式的证明问题，就其方法而言，没有定法可套，有较大的灵活性和技巧性，从而不等式证明的教学在发展学生的数学思维，培养逻辑思维能力方面也发挥着重要的作用。

就其知识范围而言，涉及到代数、三角、几何等各个初等数学领域，有较强的综合性和多样性。

由于许多初等数学中的问题往往蕴含着数学中较高层次理论和再实践的问题。

为解决高等数学与初等数学的脱节现象，有意将高等数学的原理和方法应用于一些初等数学的证明与计算。

不仅可以开拓学生的视野，而且可以使学生体会用高等数学的原理和方法解决初等数学问题时居高临下，驾轻熟驭的感觉。

因此，本文着眼于不同角度，应用不同的知识,从三个方面:1.不等式证明的基本方法；2.不等式证明的特殊方法；3.利用高等数学证明不等式的方法对若干例题的讲解，初步概括一些证明不等式的若干方法。

关键词:不等式；初等数学；证明方法AbstractThe inequality proof has always been a difficult point in mathematics teaching in middle school. However, it also plays an important role, and is an indispensable mathematical tool in mathematics teaching. As for the method, there are many fliexiblity and skills and have no fixed principle to obey. Therefore, the inequality proof takes an important part in the development of the students’mathematical thinking, and logical thinking. A rage of knowledge including algebra, trigonometry, geometry and every area of primary mathematics, there is a strong integrated and diversity. Because many elementary mathematics problems often contains a higher level mathematics, theory and more practice problems. In order to solve the problem that higher mathematic alienated from the middle-mathmaticals. This paper will apply the principles methods of mathematics to some elementary mathematical proof and Calculation purposely. Doing like this: Not only to enlarge students’ range of knowledge, but also enable students to realize that using the principles of advanced Mathematics to solve Elementary Math problems just like doing a familiar job with ease. Therefore, this paper will use a variety of knowledge such as: 1 Inequality out the basic method; 2.Inequality out special methods; 3. Using advanced mathematics from different aspects to analysis some example to gain some methods of the inequality proof.Key words: Inequality; Elementary Math; Methods of proof目录摘要 (I)Abstract ........................................................... I I 引言. (1)1 不等式证明的基本方法 (1)1.1 综合法 (1)1.2 分析法 (2)1.3 比较法 (3)1.4 反证法 (4)1.5 数学归纳法 (4)1.6 放缩法 (5)2 不等式证明的特殊方法 (6)2.1 换元法 (6)2.1.1 代数换元法 (6)2.1.2 三角换元法 (7)2.2 参数法 (7)2.3 面积法 (9)2.4 化整法 (9)2.5 通项公式法 (10)3 利用高等数学证明不等式的方法 (10)3.1 函数单调性法 (11)3.2 函数图形的凹凸性进行证明法 (11)3.3 拉格朗日中值定理法 (12)3.4 柯西中值定理法 (12)3.5 函数的极值和最值法 (13)3.6 泰勒公式法 (14)4 结语 (15)参考文献 (16)谢辞 (17)引言数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 东欧国家有一个较大的研究群体, 特别是原南斯拉夫国家。

目前, 数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达，对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。

在 1882年 -1928 年数学不等式理论的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。

于1934年以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。

本文应用不同的知识从三个方面：1.不等式明的基本方法；2.不等式明的特殊方法；3.利用高等数学证明不等式的方法综合对若干例题的讲解,初步概括一些证明不等式的若干方法。

1 不等式证明的基本方法不等式证明的一般方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法等[1]。

1.1 综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。

其逻辑关系为：123AB B B …n B B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。

例1分析 要研究这个二次函数的性质，最好的办法是能够确定其解析式．本题中，所给条件并不足以确定参数c b a ,,的值，但应该注意到：所要求的结论也不是()x f 的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可()()0,1f f -和()1f 来表示c b a ,,.因为 ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1,所以 ()()()()0)),1()1((21),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=,()()()()()222102121x f x x f x x f x f -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. 当11≤≤-x 时，2x x ≥，所以，根据绝对值不等式的性质可得2222x x x x +≤+，2222x x x x -=-，2211x x -=-. 所以()()()()222102121x f x x f x x f x f -⋅+-⋅-++⋅≤ 222122x x x x x -+-++≤ )1(22222x x x x x -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤ .4545)21(122≤+--=++-=x x x 综上，问题获证.用好绝对值不等式及其等号成立的条件，常常可以简化问题，避免讨论。

用到了均值不等式的知识，一定要注意的是何时等号才成立。

1.2 分析法当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。

两个方法是密不可分的。

从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。

用分析法证明AB 的逻辑关系为：123BB B B …n B A ，书写的模式是：为了证明命题B 成立，只需证明命题1B 为真，从而有…，这只需证明2B 为真，从而又有…，……这只需证明A 为真，而已知A 为真，故B 必为真。

这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

例 2 已知:.1a b >,01c <<, 且lg a +lg b 1=，求证:log a c +log b c ≤4lg c . 证明 欲证log a c +log b c ≤4lg c ,只需证bc a c lg lg lg lg +≤4lg c , 因为01c <<,故lg 0c >.所以只需证lg 0a >, lg 0b >.只需证lg a +lg b 4lg lg a b ≥.由已知lg a +lg b 1=,所以只需证4lg lg 1a b ≤. 而lg 0a >,lg 0b >.故4lg lg a b ≤2(lg lg )a b +1=.故原不等式成立。

1.3 比较法比较两个式子的大小，求差或求商（与0或1的大小关系）是最基本最常用的方法。

例3 如果用a kg 白糖制出b kg 糖溶液，则糖的质量分为b a ，若在上述溶液 中再添加m kg 白糖，此时糖的质量分数增加到mb m a ++将这个事实抽象为数学问 题，并给出证明。

解 可以把上述事实抽象为如下不等式问题：已知都是正数，并且b a ≠，求证：b a m b m a >++ 证明 )()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ 因为,,a b m 都是正数，并且a b <，所以0b m +>,0b a -<，0)()(>+-m b b a b m 即 ba mb m a >++. 比较法是证明不等式的基本思路。