不等式的证明方法麦盖提县库尔玛乡中学买合木提·买买提2012年12月30日2不等式的证明方法不等式的证明方是中学数学的难点和重点，证明不等式的途径是利用不等式的性质进行代数变形，经常用到的证明不等式的主要方法有基本法 如：比较法，综合法，分析法。
其他方法：如反证法，放缩法，数学归纳法，涣元法，构造法和判别式法等。
1．证明不等式的基本方法1．1比较法比较法是证明不等式的方法之一，比较法除了比差法之外，还有比商法，它们的解题依据及步具步骤如下：比差法。
主要依据是实数的运算性质与大小顺序关系。
即 ，0,0,0a b a b a b a b a b a b ->⇔>-<⇔<-=⇔=基本解题步骤是：作差——变形——判断符号。
（1）作商比较法。
当欲证的不等式两端是乘积形式幂指数式可采用作商比较法。
当0b > 欲证a b >只需证1a b >欲证a b <只需证1a b <基本解题步骤是：作商——变形——判断。
（与1的大小）例1．求证： 222(2)5a b a b +≥--22224254250a b a b a b a b +≥--=>+-++≥22(44)(21)0a a b b -++++≥32,1a b ==-时等号成立。
所以222(2)5a b a b +≥--成立。
例2．已知,a b R +∈求证a b b a a b a b ≥证： ,a b R +∈ 又()aba b b aa ba ab b -=∴()1a b b aa b a a b a b b-≥⇔≥ （1）当a b >时，1ab >，0a b ->所以()1a ba b -> （2）当a b <时01,aa b o b <<-<所以()1a ba b -> （3）当a b =时不等式取等号。
所以（1），（2），（3）知，不等式a b b a a b a b ≥成立。
1.2．综合法综合法就是从已知式已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出，欲证的不等式，通过一系列已确定的命题（包含不等式的性质，已掌握的重要不等式）逐步推演，从而得到所要求证的不等式成立，这种方法叫做综合法。
几个重要不等式：2222()0,(),2,(,a b a b a b ab a b ->≠+≥ 为实数）/2(0,0),//2,(,a b a b a b b a a b +≥>>+≥同号）/3a b c ++≥a b c ==成立）例3．已知 a b ≠ 且 ,a b R +∈ 求证： 3322a b a b ab +>+4证： a b ≠ 所以222()020a b a ab b ->=>-+>22a ab b ab =>-+>两边同时乘 a b + 得22()()()a ab b a b ab a b -++>+即3322a b a b ab +>+∴ 原不等式成立。
1.3．分析法从求证的不等式出发，分析不等式成立的条件把证明这个不等式转化为判定使这个不等式成立的条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都以具备那么就可以判定这个不等式成立，这种证明方法叫做分析法。
例4．求证：37+<+证即：因为00+>>因为为了证明原不等式成立，只顺证明2+< 即1515+<+即< 即 5456<所以原不等式成立。
2．证明不等式的其他方法。
2.1．反证法。
反证法是从假设结论不成立入手，推出与已知条件，假设公里，定理式显然成立的实相矛盾的结果，从而判定假设错误，结论成立，这种方法叫做反证法。
反证法属于间接证法，其主要步骤是： 1.作出与命题结论相反的假设。
2.在假设的基础上，经过合理的推理导出矛盾的结果。
53.肯定命题的正确性。
反证法的原理是《否定》之否定定于肯定。
例5.已知 332,(,)a b a b R +=∈ 求证 ： 2a b +≤ 证：假设2a b +>成立则3()8a b +>3322338a b a b ab +++> 332a b +=()2ab a b ∴+>2233()()2a b a ab b a b +-+=+=22()()()ab a b a b a ab b ∴+>+-+ 2a b +>22ab a ab b ∴>-+由此得2()0a b -<，这是不可能的 2a b ∴+≤2.2.放缩法放缩法是证明不等式的一种特殊的方法。
从不等式的一边入手，逐渐放大或缩小不等式，直到不等式的另一边，这种方法叫做.放缩法。
放缩是使用的主要方法有： 舍去或加上一些项： 如：22131()()242a a ++>+a >n >（2）将分母或分子放大（或缩小）例6.求证：222211112123n++++< *()n N ∈证：*,2k N k n ∈≤≤有21111(1)1kk k k k<=---222211111111111[()()()]12312231n n n∴++++<+-+-++--6111(1)22nn=+-=-<∴原不等式成立。
2.3.数学归纳法证明有关自然数n 的不等式，可以采用数学归纳法顺用两个步聚完成。
1. 验证n 取第一个数值0n 0(*)n N ∈时，不等式成立，2. 假设n 取某一自然数0()k k n ≥时，不等式成立。
（归纳假设），由此推演出n 取1k +时，此不等式成立。
例7．求证：1+++⋅⋅⋅+<*()n N ∈证：（1）当1n =时，左边=1，右边=2不等式显然成立。
（2）假设n k =时11k+++⋅⋅⋅+<，则1n k =+时 左边=11k+++⋅⋅⋅++<+(1)1k k +++<=∴ 1n k =+时不等式也成立。
由（1），（2）对于任意的*n N ∈，原不等式都成立。
2.4.换元法换元法是指对结构较为复杂的命题，通过恰当入变量代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其教化未便于研究的形式。
7例8．若 a b c >> 求证114a bb ca c+≥---证：已知条件a b c >> 令 a b x =+ ，c b y =- (0,0)x y >> 左端1111a bb cx y+=+-- 右端44a cx y=-+22114()4()()0()()x y xy x y xyx y xy x y xy x y +--+-==>+++即可知111xy xy+≥∴原不等式成立。
例9．已知2212x y ≤+≤ 求证： 22132x xy y ≤-+≤证：因为2212x y ≤+≤ ∴设 cos x r θ= ，sin y r θ= 其中1r ≤≤02θπ<≤ ∴222221cos sin (1sin 2)2x xy y r r r θθθ-+=-=-因为1131sin 2222θ<-≤ 22113(1sin 2)222r r θ∴-≤而21122r ≥，2332r ≤ ∴22132x xy y ≤-+≤2.5．构造法。
通常有构造函数，构造复数法，构造方程法。
（1）构造函数是将不等式的证明转化为函数的单调性问题利用函数的单调性建立不等关系，达到证明的目的。
8例10．已知,,a b m R +∈且 a b < 求证：a m ab mb+>+证：构造函数()11a x b x a ba b b a f x b xb xb xb x+++---===+=-++++函数()f x 在[)0,+∞上为增函数(0)a f b=∴()a m f m b m+=+ ()(0)f m f > ∴a m ab mb+>+∴原不等式成立。
（1） 构造复数法： 例11．已知01,a b <<<<求证：22(1)(1a b +-+证构造复数：1z a bi =+ ， 2(1)z a bi =-+ ，3(1)z a b i =+- ，4(1)(1)z a b i =-+-123422z z z z i +++=+=12341234z z z z z z z z +++≥+++=∴++≥（3），构造方程法。
例12．若 ,x y R ∈ 且 332x y += 证：02x y <+≤ 证： 333()3()2x y x y xy x y +=+-+= 令 x y k += 则9323k xy k-=构造方程 ,x y 为方程 32203k t kt k--+= 的两个根。
∴3324(2)8033k k k kk--∆=-=≥ 即 3(8)0k k -≥ 但 0k ≠ 即2(2)(24)0,(0)k k k k k -++≥≠ 由于 2240k k ++>∴(2)0k k -≤ (0)k ≠ ∴ 02k <≤ ∴02x y <+≤ ∴原不等式成立。
2.6．判别式法。
判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根，解集函数的性质等特征确定判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方程。
例13．设 ,,a b c R ∈ 求证：222a b c ab bc ca ++≥++证：222222()()()f a a b c ab bc ca a b c a b c bc =++---=-+++-2222()4()3()0b c b c bc b c ∆=+-+-=-+≤因为 2a 的系数为 10> ， ∴ ()0f a ≥ ∴ 原不等式成立。
不等式的证明涉及到代数，几何，三角等各方面知识，综合性较强，题型各样，一个不等式证明没有固定的模式，方法多变。
因此不等式的基本证明方法是非常必要的，枝巧性很强.叁考文献（1）高考完全解读：王兴旺，王先东，徐竟中国青年出版社（88-93页）（2）高中数学噢林匹克竞赛教程浙江教育学会中学数学教学分会编写，浙江教育出版社（118-127页）（3）高中数学教与练，伍健中，三环出版社，（213-244页）（4）基础数学（上册），万传良，李治明，新疆教育出版社（237-249页）（5）初等数学研究，李长明，周焕山高等教育出版社（253-262页）6）高中数学解难手册，张盛如出版社中国社会（61-77页）10。