以现实地球的 1 年为标准，计算“设想地球”的 1 年将变为多长？
【答案】（1）① 0.98，②
F2 F0
1
4 2R3 GMT 2
（2）“设想地球”的 1 年与现实地球的 1 年时间相同
【解析】
试题分析：（1）根据万有引力等于重力得出比值 的表达式，并求出具体的数值． 在赤道，由于万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力， 根据该规律求出比值 的表达式 （2）根据万有引力提供向心力得出周期与轨道半径以及太阳半径的关系，从而进行判断． 解：（1）在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是
9．2019 年 4 月 20 日 22 时 41 分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，成 功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为 r 的匀速圆周运动。卫星的 质量为 m，地球的半径为 R，地球表面的重力加速度大小为 g，不计地球自转的影响。 求：
（物理）物理万有引力定律的应用练习题含答案及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．2018 年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级 2018”．例如，我 国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射 18 颗北斗三号卫星，为“一带一路”沿线及 周边国家提供服务．北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和 倾斜同步卫星组成．图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图．已知该卫星做匀速 圆周运动的周期为 T，地球质量为 M、半径为 R，引力常量为 G．
（1）求静止轨道卫星的角速度 ω； （2）求静止轨道卫星距离地面的高度 h1； （3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是 T，距离地面的高度为 h2．视地球为质量分布均匀的正球体，请比较 h1 和 h2 的大小，并说 出你的理由．
【答案】（1） =
2π T
；（2） h1= 3
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据万有引力提供向心力得：
解得行星质量为：M=
（2）由
得第一宇宙速度为： （3）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天
体，根据万有引力提供向心力得：
所以行星和其他卫星的总质量 M 总＝
所以靠近该行星周围的众多卫星的总质量为：△M＝ 点睛：根据万有引力提供向心力，列出等式只能求出中心体的质量．要求出行星的质量， 我们可以在行星周围找一颗卫星研究，即把行星当成中心体．
GT 2
GT 2R3
R2T 2
RT2
【解析】
【分析】
（1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解；
（2）根据密度的定义求解天体密度；
（3）在天体表面，重力等于万有引力，列式求解；
（4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度．
【详解】
（1）卫星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有:
【答案】（1） 4
L3 （2） 5Gm
3Gm L3
【解析】
【分析】
（1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期；
（2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速
度；
【详解】
（1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：
Gm2 (2L)2
且沿半径不同的同心轨道作匀速圆周运动，设双星间距为 L，质量分别为 M1、M2 ( 万有引力
常量为 G)试计算：
1 双星的轨道半径 2 双星运动的周期．
【答案】 1 ? M 2 L， M1 L ； 2?2 L
M1 M2 M1 M2
L
G M1 M2 ；
【解析】
设行星转动的角速度为 ω ，周期为 T．
1 该行星的第一宇宙速度；
2 该行星的平均密度．
【答案】 1
2h t2 R?
2
3h
? 2Gt
2
R
．
【解析】
【分析】
根据自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力，求
出质量与运动的周期，再利用 M ，从而即可求解． V
【详解】
1 根据自由落体运动求得星球表面的重力加速度 h 1 gt2
GMT 2 4 2
R
（3）h1=
h2
【解析】【分析】源自（1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度；
（2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度； （3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度； 【详解】
（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度= 2π T
4．假设在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫星，若这颗卫星在距该天体表面高度 为 h 的轨道做匀速圆周运动,周期为 T，已知万有引力常量为 G，求: (1)该天体的质量是多少?
(2)该天体的密度是多少? (3)该天体表面的重力加速度是多少? (4)该天体的第一宇宙速度是多少?
【答案】(1) 4 2 (R h)3 ； (2) 3 (R h)3 ；(3) 4 2 (R h)3 ； (4) 4 2 (R h)3
7．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用， 三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位 于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三 角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示．设这三个 星体 的质量均为 m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为 G， 则: （1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少? （2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?
2
解得：
g
2h t2
则由 mg m v2 R
求得：星球的第一宇宙速度 v
gR
2h t2
R
，
2
由G
Mm R2
mg
m
2h t2
有： M
2hR2 Gt 2
所以星球的密度
M V
3h 2Gt 2 R
【点睛】
本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动
向心力和万有引力等于重力求解．
6．据每日邮报 2014 年 4 月 18 日报道，美国国家航空航天局目前宣布首次在太阳系外发
现“类地”行星 .假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为 T；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近 h 处自由释放 - 个小球 ( 引力视为恒力 ) ，落 地时间为 t.已知该行星半径为 R，万有引力常量为 G，求：
对地面上的物体由黄金代换式
G
Mm R2
mg
a
卫星
GMm R2
m
4 2 Ta2
R
解得Ta 2
R g
b
卫星
GMm (4R)2
m
4 2 Tb2
·4R
解得Tb 16
R g
（2）卫星做匀速圆周运动， F引 F向 ，
a 卫星 GMm mva2
R2
R
解得 va
GM R
b
卫星 b
卫星 G
Mm (4R)2
（4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据牛顿第二定律，有：mg=m v2 R
④
联立③④解得：v= gR = 4 2 (R h)3 ． RT 2
【点睛】 本题关键是明确卫星做圆周运动时，万有引力提供向心力，而地面附近重力又等于万有引 力，基础问题．
5．某课外小组经长期观测，发现靠近某行星周围有众多卫星，且相对均匀地分布于行星周 围，假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，通过天文观测，测得离行星最近的
L
L
因为 T 2π ，所以有： T 2πL ω
L
G M1 M2
答： 1 双星的轨道半径分别是 M2 L， M1 L ；
M1 M2 M1 M2
2 双星的运行周期是 2πL
L
G M1 M2
点睛：双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径
之比，进一步计算轨道半径大小；根据万有引力提供向心力计算出周期．
是
T，根据牛顿运动定律， G
Mm (R h2 )2
=m(R
h2
)(
2 T
)2
解得： h2 = 3
GMT 2 4 2
R
因此 h1= h2．
故本题答案是：（1） =
2π T
；（2） h1= 3
GMT 2 4 2
R
（3）h1= h2
【点睛】
对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的 物理量．
①
② 由公式①②可以得出：
=0.98．
③
由①和③可得：
（2）根据万有引力定律，有
又因为
，
解得
从上式可知，当太阳半径减小为现在的 1.0%时，地球公转周期不变． 答：
（1）
=0.98．比值
（2）地球公转周期不变．仍然为 1 年． 【点评】解决本题的关键知道在地球的两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一 个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力．
（2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有： G
Mm (R h1)2
=m(R
h1
)(
2π T
)
2
解得： h1= 3
GMT 2 4π2
R
（3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面 与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心．由于它的周期也