2016年湖南省六校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=}，A∩B=（）A．[1，+∞）B．[1，3]C．（3，5]D．[3，5]2．命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数3．若执行如图的程序框图，输出S的值为6，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜32？B．k＜65？C．k＜64？D．k＜31？4．下列函数中在上为减函数的是（）A．y=2cos2x﹣1 B．y=﹣tanxC． D．y=sin2x+cos2x5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．156．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6πB．C．3πD．7．若的展开式中的常数项为a，则的值为（）A．6 B．20 C．8 D．248．若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．1 B．C．2 D．9．已知数列{a n}的通项公式a n=5﹣n，其前n项和为S n，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．λ≥2 B．λ＞3 C．λ≥3 D．λ＞210．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排成一列而成．记，S min表示S所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（）A．B．C．若⊥，则S min与||无关D．S有5个不同的值11．设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c 为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2]C．D．以上均不正确12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知复数，则|z|=．14．在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面积为4，则AB的长为．15．已知圆x2+y2﹣4x+2y+5﹣a2=0与圆x2+y2﹣（2b﹣10）x﹣2by+2b2﹣10b+16=0相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且满足x+y=x+y，则b=．16．给出下列命题：（1）设f（x）与g（x）是定义在R上的两个函数，若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，且f（x）为奇函数，则g（x）也是奇函数；（2）若∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，且函数f（x）在R 上递增，则f（x）+g（x）在R上也递增；（3）已知a＞0，a≠1，函数f（x）=，若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多，则实数a的取值集合为；（4）存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共5小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？18．如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC为等边三角形，AE=1，BD=2，CD与平面ABCDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．19．某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）30 18[30，40）36 24[40，50）12 9[50，60] 4 3（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．20．已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．（1）求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．21．已知函数f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（1）求f（x）的单调区间；（2）设，对任意x＞0，证明：（x+1）g（x）＜e x+e x﹣2．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．选修4﹣1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．（I）求证：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的长．23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．24．函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域A；（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a、b∈（B∩∁R A）时，证明：|．2016年湖南省六校联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣6x+5≤0}，B={x|y=}，A∩B=（）A．[1，+∞）B．[1，3]C．（3，5]D．[3，5]【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A、B，从而求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣6x+5≤0}={x|1≤x≤5}，B={x|y=}={x|x≥3}，∴A∩B=[3，5]，故选：D．2．命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A．若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，而x，y都是偶数的否定应为x与y不都是偶数．【解答】解：若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数”故选C3．若执行如图的程序框图，输出S的值为6，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜32？B．k＜65？C．k＜64？D．k＜31？【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=6，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：S k 第一次循环log23 3 第二次循环log23•log34 4 第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78 8第七次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78•log89 9…第61次循环log23•log34•log45•log56•…•log6263 63第62次循环log23•log34•log45•log56••…•log6263•log6364=log264=6 64故如果输出S=6，那么只能进行62次循环，故判断框内应填入的条件是k＜64．故选：C．4．下列函数中在上为减函数的是（）A．y=2cos2x﹣1 B．y=﹣tanxC． D．y=sin2x+cos2x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的图象与性质，对选项中函数的单调性进行分析、判定即可．【解答】解：对于A，y=2cos2x﹣1=cos2x，在上是先减后增，不满足题意；对于B，y=﹣tanx，在（，）和（，）上都是增函数，不满足题意；对于C，y=cos（2x﹣）=sin2x，在上为减函数，满足题意；对于D，y=sin2x+cos2x=sin（2x+），在上先减后增，不满足题意．故选：C．5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．15【考点】系统抽样方法．【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数．【解答】解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故选：C．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．6πB．C．3πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求解几何体的条件即可得出答案．【解答】解：由三视图判断几何体是底面半径为1，高为6 的圆柱被截掉分开，相等的2 部分，∴V=π×12×6=3π，故选：C7．若的展开式中的常数项为a，则的值为（）A．6 B．20 C．8 D．24【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理求得a=2，再求定积分求得要求式子的结果．【解答】解：根据=（2+x+x2）•（1﹣+﹣）=2﹣+﹣+x﹣3+﹣+x2﹣3x+3﹣，故展开式中的常数项为a=2﹣3+3=2，则=•（3x2﹣1）dx=（x3﹣x）=8﹣2=6，故选：A．8．若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．1 B．C．2 D．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作图象，从而结合图象可知2m≤1，从而解得．【解答】解：由题意作图象如下，，结合图象可知，函数y=2x图象与y=3﹣x的交点A（1，2），则2m≤1，故m≤；故选：D．9．已知数列{a n}的通项公式a n=5﹣n，其前n项和为S n，将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．λ≥2 B．λ＞3 C．λ≥3 D．λ＞2【考点】数列的求和．【分析】通过a n=5﹣n可求出T n=8（1﹣）、S n=，利用4≤T n＜8及S n≤10，结合题意可知10＜8+λ，进而计算可得结论．【解答】解：∵a n=5﹣n，∴a1=4，a2=3，a3=2，a4=1，则b1=a1=4，b2=a3=2，b3=a4=1，∴数列{b n}是首项为4、公比为的等比数列，∴T n==8（1﹣），∴4≤T n＜8，又∵S n==，∴当n=4或n=5时，S n取最大值10，∵存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有S n＜T n+λ恒成立，∴10＜8+λ，即λ＞2，故选：D．10．已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由2个和3个排成一列而成．记，S min表示S所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（）A．B．C．若⊥，则S min与||无关D．S有5个不同的值【考点】平面向量数量积的运算．【分析】依题意，可求得S有三种结果，，，，可判断①错误；进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3=≥=，即S中最小为S3，再对A、B、C逐一分析得答案．【解答】解：∵x i，y i（i=1，2，3，4，5）均由2个a和3个b排列而成，∴S可能情况有以下三种：，，，故D错误；∵S1﹣S2=S2﹣S3=≥=，∴S中最小为S3，若，则S min=S3=，∴A，B错误；若⊥，则S min=，与无关，与有关，故C正确．故选：C．11．设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c 为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2]C．D．以上均不正确【考点】基本不等式；简单线性规划．【分析】由基本不等式可得a≥，c≥2，再由三角形任意两边之和大于第三边可得，+2＞，且+＞2，且+2＞，由此求得实数p的取值范围．【解答】解：对于正实数x，y，由于≥=，c=x+y≥2，，且三角形任意两边之和大于第三边，∴+2＞，且+＞2，且+2＞．解得1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），故选：A．12．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），利用斜率计算公式肯定：mn=，=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），则m=，n=，∴mn==，∴=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．f′（t）=+1+t﹣=，可知：当t=时，函数f（t）取得最小值=++﹣2ln=2+1﹣ln2．∴=．∴=．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知复数，则|z|=．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数==i﹣1，则|z|==，故答案为：．14．在△ABC中，BC=，AC=2，△ABC的面积为4，则AB的长为4或．【考点】余弦定理；三角形中的几何计算．【分析】利用三角形的面积公式，求出，可得cosC=±，利用余弦定理可求AB的长．【解答】解：∵BC=，AC=2，△ABC的面积为4，∴4=，∴，∴cosC=±，∴AB2==16，∴AB=4；或AB2==32，∴AB=．∴AB的长为4或．故答案为：4或15．已知圆x2+y2﹣4x+2y+5﹣a2=0与圆x2+y2﹣（2b﹣10）x﹣2by+2b2﹣10b+16=0相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且满足x+y=x+y，则b=．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把点A、B的坐标分别代人圆O1，化简得2（x1﹣x2）=y1﹣y2；再把点A、B的坐标代人圆O2，整理得b（y2﹣y1）=﹣（b﹣5）（x1﹣x2）；由以上两式联立即可求出b的值．【解答】解：根据题意，把点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代人圆O1，得；+﹣4x1+2y1+5﹣a2=0①，+﹣4x2+2y2+5﹣a2=0②，①﹣②并化简得，2（x1﹣x2）=y1﹣y2③；同理，把点A、B的坐标代人圆O2，整理得，b（y2﹣y1）=﹣（b﹣5）（x1﹣x2）④；把③代人④，化简得2b=﹣（b﹣5），解得b=．故答案为：．16．给出下列命题：（1）设f（x）与g（x）是定义在R上的两个函数，若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，且f（x）为奇函数，则g（x）也是奇函数；（2）若∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，且函数f（x）在R 上递增，则f（x）+g（x）在R上也递增；（3）已知a＞0，a≠1，函数f（x）=，若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多，则实数a的取值集合为；（4）存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为（1）、（2）、（4）．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）利用|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，设x2=﹣x1，|f（x1）+f（﹣x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，根据f（x）是奇函数，即可得出结论；（2）利用函数单调性的定义，即可得出结论；（3）分0＜a＜1和a＞1时加以讨论，根据指数函数的单调性和一次函数单调性，结合分段函数在区间端点处函数值的大小比较，求出函数在[0，2]上的最大值和最小值，由此根据题意建立关于a的方程，求出满足条件的实数a的值；（4）对k的值分类讨论，将方程根的问题转化成函数图象的问题，画出函数图象，结合图象可得结论．【解答】解：对于（1），∵|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，令x2=﹣x1，则|f（x1）+f（﹣x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，∵f（x）是奇函数，∴|f（x1）﹣f（x1）|≥|g（x1）+g（﹣x1）|恒成立，∴g（x1）+g（﹣x1）=0，∴g（﹣x1）=﹣g（x1），∴g（x）是奇函数，（1）正确；对于（2），设x1＜x2，∵f（x）是R上的增函数，∴f（x1）＜f（x2），∵|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，∴f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）=f（x1）﹣f（x2）+g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x1），∴h（x1）﹣h（x2）＜0，∴函数h（x）=f（x）+g（x）在R上是增函数，（2）正确；对于（3），①当a＞1时，函数f（x）=在[0，2]上的最大值为f（1）=a，最小值为f（0）=1或f（2）=a﹣2；当a﹣1=时，解得a=，此时f（2）=＞1，满足题意，当a﹣（a﹣2）=0时，2=0不满足题意，∴a=；②当0＜a＜1时，在[0，1]上，f（x）=a x是减函数；在（1，2]上，f（x）=﹣x+a是减函数，∵f（0）=a0=1＞﹣1+a，∴函数的最大值为f（0）=1；而f（2）=﹣2+a＜﹣1+a=f（1），所以函数的最小值为f（2）=﹣2+a，因此，﹣2+a+=1，解得a=∈（0，1）符合题意；综上，实数a的取值集合为{，}，（3）错误；对于（4），关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0可化为（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+k=0（x≥1或x≤﹣1）（Ⅰ）或（x2﹣1）2+（x2﹣1）+k=0（﹣1＜x＜1）（Ⅱ）①当k=时，方程（Ⅰ）有两个不同的实根±，方程（Ⅱ）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根；②当k=0时，原方程恰有5个不同的实根；③当k=时，方程（Ⅰ）的解为±，±，方程（Ⅱ）的解为±，±，即原方程恰有8个不同的实根；④当k=﹣2时，方程化为（|x2﹣1|+1）（|x2﹣1|﹣2）=0，解得|x2﹣1|=2或|x2﹣1|=﹣1（不合题意，舍去）；所以x2﹣1=±2，解得x2﹣1=2，即x=±，方程有2个实数根；所以存在不同的实数k，使得关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0的根的个数为2个、4个、5个、8个，命题（4）正确；综上，正确的命题是（1）、（2）、（4）．故答案为：（1）（2）、（4）．三、解答题：本大题共5小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．【分析】（I）由题意，n=1时，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分类讨论：由a1=0，及a1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求（II）由a1＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项【解答】解（I）当n=1时，∴a1（λa1﹣2）=0=0若取a1=0，则S n=0，a n=S n﹣S n﹣1∴a n=0（n≥1）若a1≠0，则，当n≥2时，2a n=，=a n两式相减可得，2a n﹣2a n﹣1∴a n=2a n，从而可得数列{a n}是等比数列﹣1∴a n=a1•2n﹣1==综上可得，当a1=0时，a n=0，当a1≠0时，（II）当a1＞0且λ=100时，令由（I）可知∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b6=＞0当n≥7时，∴数列的前6项和最大18．如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC为等边三角形，AE=1，BD=2，CD与平面ABCDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥平面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明即可．（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（1）证明：取BC的中点为M，连接FM，则可证AM⊥平面BCD，四边形AEFM 为平行四边形，所以EF∥AM，所以EF⊥平面DBC；…（2）解：取AB的中点O，连结OC，OD，则OC⊥平面ABD，∠CDO即是CD与平面ABDE所成角，，设AB=x，则有，得AB=2，取DE的中点为G，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OG为z轴，建立如图空间直角坐标系，则，由（1）知：BF⊥平面DEC，又取平面DEC的一个法向量=（，﹣1，2），设平面BCE的一个法向量=（1，y，z），由，由此得平面BCE的一个法向量=（1，，2），则cos＜，＞====所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为…19．某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）30 18[30，40）36 24[40，50）12 9[50，60] 4 3（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[20，30）抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[20，30）和[30，40）内各抽取1人，设这两人中两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的概率分布和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图能求出从年龄段[20，30）抽取的人数．（2）由频率分布直方图能求出全校教师的平均年龄．（3）由题设知X的可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，0.35×40=14．…（2）由频率分布直方图得：全校教师的平均年龄为：25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35．…（3）∵在年龄段[20，30）内的教师人数为120×0.35=42（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为，B项培训结业考试成绩优秀的概率为，∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为，…∵在年龄段[30，40）内的教师人数为120×0.4=48（人），从该年龄段任取1人，由表知，此人A项培训结业考试成绩优秀的概率为，B项培训结业考试成绩优秀的概率为，∴此人A、B两项培训结业考试成绩都优秀的概率为…由题设知X的可能取值为0，1，2．∴，，…∴X的概率分布为X 0 1 2PX的数学期望为…20．已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．（1）求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和点满足直线方程，由向量的数量积的坐标表示，化简即可得到所求值；（2）求得切线的斜率和切线的方程，运用弦长公式，可得|AB|，|CD|，求得四边形ABCD 的面积，运用对勾函数的性质，解方程可得k的值．【解答】解：（1）设直线AB方程为，联立直线AB与抛物线方程，得x2﹣2pkx﹣p2=0，则x1+x2=2pk，x1x2=﹣p2，可得=x1x2+y1y2=x1x2=x1x2+（kx1+）（kx2+）=（1+k2）x1x2++（x1+x2）=（1+k2）（﹣p2）++•2pk=﹣p2；（2）由x2=2py，知，可得曲线在A，B两点处的切线的斜率分别为，即有AM的方程为，BM的方程为，解得交点，则，知直线MF与AB相互垂直．由弦长公式知，|AB|=•=•=2p（1+k2），用代k得，，四边形ACBD的面积，依题意，得的最小值为，根据的图象和性质得，k2=3或，即或．21．已知函数f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（1）求f（x）的单调区间；（2）设，对任意x＞0，证明：（x+1）g（x）＜e x+e x﹣2．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，通过解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证成立，从而证明，设F（x）=1﹣xlnx﹣x，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）因为，由已知得，∴．所以，…设，则，在（0，+∞）上恒成立，即k（x）在（0，+∞）上是减函数，由k（1）=0知，当0＜x＜1时k（x）＞0，从而f'（x）＞0，当x＞1时k（x）＜0，从而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）…（2）因为x＞0，要证原式成立即证成立，现证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2恒成立，当x≥1时，由（1）知g（x）≤0＜1+e﹣2成立；当0＜x＜1时，e x＞1，且由（1）知g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F′（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，F′（x）＜0，所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2，即0＜x＜1时，g（x）＜1+e﹣2．综上所述，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．①…令G（x）=e x﹣x﹣1（x＞0），则G'（x）=e x﹣1＞0恒成立，所以G（x）在（0，+∞）上递增，G（x）＞G（0）=0恒成立，即e x＞x+1＞0，即．②当x≥1时，有：；当0＜x＜1时，由①②式，，综上所述，x＞0时，成立，故原不等式成立…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．选修4﹣1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．（I）求证：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AD，BC，证明A，D，E，F四点共圆，可得结论；（Ⅱ）证明△EFA∽△BCA，可得，所以AF×AB=AC×AE，从而可求AF的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接AD，BC．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，故A，D，E，F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA；（Ⅱ）解：在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，所以△EFA∽△BCA，所以所以AF×AB=AC×AE设AF=a，则AB=3﹣a，所以a（3﹣a）=，所以a2﹣2a+1=0，解得a=1所以AF的长为1．23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|•|PB|=t1t2，即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．24．函数f（x）=．（1）求函数f（x）的定义域A；（2）设B={x|﹣1＜x＜2}，当实数a、b∈（B∩∁R A）时，证明：|．【考点】交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法．【分析】（1）分类讨论x的范围，根据负数没有平方根，利用绝对值的代数意义求出x的范围，即可确定出A；（2）求出B与A补集的交集，得到a、b满足的集合，把所证等式两边平方，利用作差法验证即可．【解答】（1）解：由题意得：|x+1|+|x+2|﹣5≥0，当x≤﹣2时，得x≤﹣4；当﹣2＜x＜﹣1时，无解；当x≥﹣1时，得x≥1，∴A={x|x≤﹣4或x≥1}；（2）证：∵B={x|﹣1＜x＜2}，∁R A={x|﹣4＜x＜1}，∴B∩∁R A={x|﹣1＜x＜1}，∴a、b∈{x|﹣1＜x＜1}，要证＜|1+|，只需证4（a+b）2＜（4+ab）2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4a2+4b2﹣a2b2﹣16=（b2﹣4）（4﹣a2），∵a、b∈{ x|﹣1＜x＜1}，∴（b2﹣4）（4﹣a2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴＜|1+|成立．2016年7月25日。