2.2 单自由度体系的强迫振动
单自由度体系的强迫振动的微分方程： y m ky P(t) y k P(t) 2 P(t) y 可写成： y m y 2. 当荷载为简谐荷载时： P(t) F sin t 2 m P(t) ky y F sin t y m 3. 微分方程的解为： m y m受力图 y F 2 1 2 (sint sin t) yst (sint sin t) m 1 2 1 2 为动力系数。 F yst 2 为静荷载F作用下的振幅。 1 2 m 时，振幅会趋近于无穷大，这种现象叫共振。
tg
1
y0 0 v
2.1 单自由度体系的自由振动
三、结构的自振周期 y 从微分方程的解： (t) a sin(t ) 知位移是周期函数； 自振周期T：振动一周需要的时间； T 2 2 m 2 m k 自振频率f：单位时间的振动次数； f 1 T 2 圆频率或角频率：2 时间内的振动次数； 2 2 2f k 1 T m m 自振周期的性质：

2 k EI 2 2 4 3 4 48EI 2 1 48EIg k 1 3 m m m Ql
11 5

EI
0.5l
1 EI
0.5l
0.25l 2n 2 500 52.36 / s 2. 荷载频率： 60 60 M 1 1 2 2 5.93 3. 动力系数： 为动力位移和动力应 52.36
1. 自振周期仅与结构的质量和刚度有关；与外界的干扰力无关。 2. 质量越大，周期越大； 刚度越大，周期越小。 3. 自振周期是结构动力性能的一个重要指标。
例1：图示等截面竖直悬臂杆，长度为l，截面面积为A，惯性矩 为I，弹性模量为E。杆顶重物的质量为m。杆的质量忽略不 计，试分别计算水平振动和竖向振动的自振周期。 解：解题的依据 T 2 2 m 2 m m k
1. 水平振动
刚度系数：即位移法的基本体系在质点处单位位移 作用下的杆端力。 M A 3i 3EI k 2 3 l l l 柔度系数：即体系在质点处单位力作用下的位移。 3 2 2 1 1 1l l l EI 2 3 3EI k 3 m 2 m 2 m l T 2 k 3EI
I
l

1
2. 竖向振动
k EA l
I
I
l
EA
T 2 m 2 m 2 ml k EA
3i l
A M图
l
l
例2：求图示结构的重量集中为柱顶，W=20KN，试计算结构 I=∞ 的自振周期。EI1=3.528107Nm2来自EI11
T 2 2 m 2 Wl k 24EI1g
y
y ky
m
k
m y
2.1 单自由度体系的自由振动
二、自由振动微分方程的解 2 微分方程： m ky 0 令： k 方程可改写为： y m 2 y 0 y y(t) C1 sin t C2 cost 方程通解： 根据初始条件：t=0时，y=y0, v=v0可确定 C1 , C2
1.
例3：图示梁l=4m，截面抗弯系数W=534 cm2 ，惯性矩I=7480 cm4 ，弹模E=2.1104KN/cm2 。在跨中有电动机，重量Q=35KN， 转速n=500r/min。电机转动的离心力P=10KN，离心力的竖向分力 为Psint。不计梁的质量，试求梁振动的动力系数和最大正应力。 Psint 1 2 1. 体系自由振动的圆频率： 1 2 3 1 1 1 l l 2 l l
第二节 单自由度体系的振动
1. 2.
单自由度体系的自由振动； 单自由度体系的强迫振动；
3.
阻尼对振动的影响；
2.1 单自由度体系的自由振动
一、自由振动微分方程的建立
y k
m
1. 刚度法：从力系平衡的角度考虑
m受力： 弹性力：-ky，与位移方向相反； y 惯性力： m，与加速度方向相反； 根据达朗伯原理： m ky 0 y 2. 柔度法：从变形协调角度考虑 y 体系受惯性力： fI m m的位移： y fI m y 其中：k— 刚度系数；使m产生单位位移需要施加的力； 1 k — 柔度系数；单位力作用下m产生的位移：
m P(t)
ye
c t 2m
a(sinrt )
其中 a, r, 为与 , c, m, y0, v0 有关的系数。 结论：阻尼是振动的振幅逐渐衰减为0的原因。对于强 迫振动，当 发生共振时，振幅也不会无穷 大。因此阻尼也是结构振动的一个重要因素。
返回目录
3 3 3
EI1
EI1
20 10 6 T 2 0.1434 s 7 24 3.528 10 9.8 A
12EI1 l3
24EI1 k= 3 l B 12EI1 l3
l=6m

结构的刚度系数即使柱顶发生单 位位移时，在柱顶需施加的力。 EI1 考虑梁AB的平衡可得： 24EI k 3 1 1 l 结构的自振周期：
4.
48 2.1 10 73.48 10 9.8 57.43/ s 3 35 10 4
跨中最大正应力： 3 3 M max Ql Pl (35 10 5.93 10 10 ) 4 17.66 107P max 4 a W 4W 4W 4 5.34 10
自由振动的组成： 一部分由初始位移y0引起的； 另一部分由初始速度v0引起的。 方程的解也可以写成： y(t) a sin(t )
根据初始条件可解得： a y02 v
2 0 2
C2 y0 y(t) C1 cost C2 sin v C1 v0 C1 0 方程的解： (t) y0 sin t v0 cost y
1

2
1
57.43
2
力的放大倍数。
2.3 阻尼对振动的影响
1. 2.
单自由度体系有阻尼振动的微分方程： m cy ky P(t) y k 有阻尼自由振动： 2 m cy ky 0 y k m 微分方程的解为：
y C P(t)
y
ky
cy m y