|| x ||
|| b ||
➢ 设 精b确，A有误差 ，得到的A 解为
，即 x x
|| A || || A1 || 是关键
( A 的A误的A差状)放态(大数x因(条子件，数称x)，)为 b
记为cond (A) ,
A(x x) A(x x) b (A A)x (A A) x b
I A 1 1
1 || A ||

证明： ① 若不然，则
(I A有)x非零0解，即存在非零向量 使得
x0
Ax0 x0
|| Ax0 || 1 || x0 ||
|| A || 1 ✓
② (I A)1 A(I A)1 (I A)(I A)1 I
(I A)1 I mA(I A)1
，即
A(x x) b b
x x
绝对误差放大因子
x A1 b
|| x |||| A1 || || b ||
相对误差放大因子
又 || b || || Ax || || A || || x || 1 || A || || x || || b ||
|| x || || A || || A1 || || b ||
主要性质
性质1:‖-x‖=‖x‖
性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖
性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.
范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
,则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
定理1.4.1 Rn 上一切范数都等价。
定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，….,
|| A1A |||| A1 || || A || 1 )
|| x ||
|| x ||
|| 1
|| (I A)1 || 1 || A || || (I A)1 ||
§1.5 线性方程组的性态（误差分析）
( Error Analysis for Linear system of Equations )
思考:求解 A x时, Ab和 的误差b对解 有何影响？x
➢ 设 A 精确， 有误b差 ，得到 的b 解为
x A1 A(x x)
|| x || || A1 || || A || || x x || || A || || A1 || || A ||
|| A ||
(A A) x Ax A(I A1 A) x Ax
x (I A1 A)1 A1 Ax
(只要 A充分小，使得
证明： 由算子范数的相容性，得到
|| Ax|| || A || || x||
将任意一个特征根 所对应的特征向量 代入
u
| | || u|| || u|| || Au|| || A || || u||
命题(P26，推论1） 若A对称，则有:|| AA对||2称 ( A)
证明： || A ||2 max ( AT A) max ( A2 )
又设x*＝（x1*，x2*，…，xn*)Ｔ是Rn上的向量.
如果lim xki=xi对所有的i=1,2,…，n成立， 那么,称向量x*是向量序列｛xk｝的极限 ， 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的. 定理1.4.对2 任意一种向量范数‖·‖而言，向量 序列｛xk｝收敛于向量x*的充分必要条件是
若 是 A 的一个特征根，则2 必是 A2 的特征根。
max ( A2 ) 2 ( A) 对某个 A 的特征根 成立
又：对称矩阵的特征根为实数，即 2(A) 为非负实数，
故得证。
所以2-范数亦称为谱范 数。
定理1.4.4 若矩阵 A 对某个算子范数满足 ||A|| < 1，则必有
①. I A 可逆； ②.
由|| A向||量p 范mxa数0x ||||||A·x|x|p||导|p|p 出 m|关|x| |ap 于x1 ||矩Ax阵|| pxA则y利R|用可n||||C证nAA|的|aBx（ux|c||例|hp|p|py26|不）|||范A|A等。| |||y|式p数p ||||||2xB:||||pp
1 1
,
B
1 1
1 1
2 2
AB
2
2
|| A ||1,|| B ||1,|| AB || 2
从而 || AB |||| A ||g|| B ||
➢相容性
（1）矩阵范数与矩阵范数的相容:‖AB‖≤‖A‖‖B‖ （2）矩阵范数与向量范数
设A∈M，‖A‖是矩阵范数,x∈Rn，‖x‖是 向量范数.如果满足不等式:
(3) || A B || || A|| || B ||
若还满足(4),称为相容的矩阵范数 (4) || AB || || A || ·|| B ||
例5: 设A＝(aij)∈M. 定义
||
A ||
1 n2
n
| aij
i , j 1
|
证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.
证明：设
A
1 1
‖Ax‖≤‖A‖‖x‖
则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容.
nn
Frobenius范数:|| A ||F | aij |2 (向量|| ·||2的直接推广) i 1 j1
可以证明,对方阵 A R 和 nn x Rn有: ，|| Ax ||2 || A ||F || x ||2
算子范数 ( operator norm ),又称为从属的矩阵范数:
lim ||
k
xk
x*
|| 0
➢ 矩阵范数 ( matrix norms ) 定义3:对任意 A, B ,R称m|n| ·|| 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| ·||满足(1)-(3)：
(1) || A|| 0; || A|| 0 A 0
(2) || A|| | ||| A|| 对任意 C
常用的算子范数： n || A || max | aij | （行和范数） 1i n j 1 n || A ||1 max | aij | （列和范数） 1 jn i 1
|| A ||2 max ( AT A) （谱范数 ( spectral norm ) ）
定理1.4.6 对任意算子范数 || ·|| 有: ( A) || A ||