第八章 空间解析几何与向量代数 单元测试题 参考答案：
一、填空题
1.点(),,M x y z 关于x 轴的对称点为1M (),,x y z --;关于x O y 平面的对称点为
2M (),,x y z -；关于原点的对称点为3M (),,x y z ---.
2. 平行于a ={1，1，1}
若向量}5,1,{λ=a 与向量}50,10,2{=b 平行，λ为
15
. 3.已知两点()
1,2,41M 和()2,0,32M ，则向量21M M 在三个坐标轴上的投影分别是 –1 2- 、 1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i - 、j 2-
、k , = 2 ,
方向余弦 =αcos 21-、 =βcos 2
2-、=γcos 21 , 方向角=α 0120、 =β 0
135、 =γ 060, 与21M M 同方向的单位向量是⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21,22,21 .
4. 已知两向量k j i a 1046+-=，k j i b 943-+=,则=+b a 2k j i 8412-+，
=-b a 23k j i 482012+-,b a 23-在oz 轴上的投影为48 .
5．过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-++⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
垂直的平面方程是340x y z --+=
二、选择题
1. 向量a 与b 的数量积⋅a b =（ C ）.
A a rj P b a ；
B ⋅a rj P a b ；
C a rj P a b ；
D b rj P a b ．
2. 非零向量,a b 满足0⋅=a b ，则有（ C ）．
A a ∥b ;
B =λa b (λ为实数)；
C ⊥a b ；
D 0+=a b ．
3. 设a 与b 为非零向量，则0⨯=a b 是（ A ）．
A a ∥b 的充要条件；
B a ⊥b 的充要条件;
C =a b 的充要条件；
D a ∥b 的必要但不充分的条件．
4. 设k j i ,, 是三个坐标轴正方向上的单位向量，下列等式中正确的是（ C ）.
A. i j k =⨯,
B. k j i =⋅,
C. k k i i ⋅=⋅,
D. k k k k ⋅=⨯
5 设d c b a ,,,为向量，则下列各量为向量的是（ D ）.
A. a j b Pr
B. ()d c b ⨯⋅
C. ()()d c b a ⨯⋅⨯
D. ()
c b a ⨯⨯ 6. 设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（ B ）．
A 7
B 7j
C –1；
D -9k
7. 以下结论正确的是（ D ）
A. ()222b a b a ⋅=⋅
B. ()
b a b a b a ∧=⨯,sin C. 若
c a b a ⋅=⋅或c a b a ⨯=⨯，且0≠a ，则c b =
D. ()()
b a b a b a ⨯-=-⨯+2 8.方程组2222491x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩
表示 （ B ）. A 椭球面； B 1=x 平面上的椭圆；
C 椭圆柱面；
D 空间曲线在1=x 平面上的投影.
9. 设空间直线的对称式方程为 012
x y z ==则该直线必（ A ）. A 过原点且垂直于x 轴； B 过原点且垂直于y 轴；
C 过原点且垂直于z 轴；
D 过原点且平行于x 轴.
三、计算题
1、求旋转抛物面22y x z +=与平面z y +=1的交线在xy 平面上投影方程
解 从曲线方程⎩⎨⎧=++=1
2
2z y y x z 中消去z ，得曲线向xy 平面得投影柱面方程
122=++y y x 。

于是曲线在xy 平面商得投影曲线的方程为⎪⎩
⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛++0452122z y x 2. 提示 点法式
3提示： 过已知直线作垂直于已知平面的平面方程{用平面束}
4. 求过点(1,2,3)且与直线L ：z y x -==-11垂直相交的直线方程. 解:过点作垂直已知直线的平面方程为(1)(2)(3)0x y z -+-+-=,
由11x t y t z t =+⎧⎪=⎨⎪=-⎩
代入平面得垂足(5,4,-3) 所求直线方程为123426
x y z ---==- 5 求过直线⎩⎨⎧=+-=+-+0
2032z y x z y x 且切于球面1222=++z y x 的平面 解 过所给直线除平面 02=+-z y x 外的其它所有平面方程为 ()()0232=+-++-+z y x z y x λ
即()()()032121=+-+-++z y x λλλ ()*
球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径 于是()
()()121213
000222=-+-+++++λλλ 得 03262=+-λλ 6191±=
∴λ
代入()*得两个所求的平面
6 . 求锥面z =与柱面22z x =
所围立体在三个坐标面上的投影
解:()222220,11;
0,11,0;20,z x y z x y z y x z =-+≤⎛⎫=-+≤≥ ⎪⎝⎭
=≤≤。