1．如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上， 4CAD π∠=， 72AC =，cos 10ADB ∠=-．（1）求sin C ∠的值；（2）若ABD ∆的面积为7，求AB 的长． 【答案】(1) sin C ∠=45;(2)AB = 【解析】试题分析：（1）由同角三角函数基本关系式可求sin ADB ∠，由4C ADB π∠=∠-，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解；（2）先由正弦定理求AD 的值，再利用三角形面积公式求得BD ，与余弦定理即可得解AB 的长度. 试题解析：（1）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=， 又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-，所以sin sin 4C ADB π⎛⎫∠=∠-⎪⎝⎭sin coscos sin44ADB ADB ππ=∠-∠41021025=+⋅=． （2）在ADC ∆中，由正弦定理sin sin AD ACC ADC=∠∠，故()74sin sin sin sin sin sin AC C AC C AC C AD ADC ADB ADB π⨯⋅∠⋅∠⋅∠====∠-∠∠=又11sin 72210ABD S AD AB ADB BD ∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅=，解得5BD =． 在ADB ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠8252537AB ⎛=+-⨯⨯=⇒= ⎝⎭2．在ABC ∆中，内角A,B,C,所对应的边为,,a b c 且b c ≠,且22sin sin cos cos C B B B C C -=（1）求角A 的大小（2）若a = 3sin 4C =a = 3sinC 4=，求ABC ∆的面积【答案】（1）A 3π=（2）932S =【解析】试题分析：（1）根据二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式便可得到2266sin B sin C ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ ，而由条件得出B C ≠ ，且522333B C πππ⎛⎫+-∈- ⎪⎝⎭，，从而便可得出2266B C πππ-+-＝ ，这样便可求出3A π=；（2）可根据正弦定理求出32c =，从而可判断出C A ＜，这样便可得出cosC = ，而由sinB sin A C =+（）即可求出sinB 的值，从而由三角形的面积公式12ABCSacsinB ＝ 即可求出ABC 的面积 试题解析:（1） 因为22sin sin cos cos C B B B C C -=所以1cos21cos21cos22222C B C C ---=- 即sin 2sin 266B C ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又因为(),B C B C 0b c π≠≠+∈得，又，。

得2266B C πππ-+-=即2B C 3π+=。

所以A 3π=（2）因为a = 3sin 4C =sin sin a c A C =，所以32c =由于c a <，得C A <，所以cos A =故()13sin sin sin cos cos sin 24B A C A C A C =+=+=⨯=所以ABC ∆的面积为11339sin 222832S ac B ==⨯=3．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 3C π=.（1）若224ab a c =-，求sin sin BA的值； （2）求sin sin A B 的取值范围.【答案】(1)(2) 30,4⎛⎤⎥⎝⎦.【解析】试题分析：（1）先由余弦定理得222c a b ab =+-，再代入条件化简得b =，最后根据正弦定理得sin sin B A 的值；（2）由三角形内角关系得2sin sin sin sin 3A B A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用两角差正弦公式以及二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据角A 的范围以及正弦函数性质确定函数值域试题解析：（1）由余弦定理及题设可知： 22224c a b ab a ab =+-=-，得b =，由正弦定理sin sin B b A a =，得sin sin BA= （2）由题意可知23A B π+=.21sin sin sin sin sin sin 32A B A A A A A π⎫⎛⎫=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11cos2444A A =-+ 11sin 2264A π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<，故1sin 2126A π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭， 所以sin sin A B 的取值范围是30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.4．在锐角ABC ∆中， 角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ， ()cos cos cos 0C B B A +=，a =.（1）若b =ABC ∆的面积； （2）求2b c +的取值范围.【答案】（1）3（2）(8,【解析】试题分析：（1）由已知可得()cos cos cos cos 0A B B A B A -++=，化简可得tan A =又由余弦定理可得cos A =212=，可得c =ABC ∆的面积；（2）由正弦定理可得：4sin aA=，由此可得()28sin 4sin b c B C B φ+=+==+，又因为ABC ∆为锐角三角形，则62B ππ<<()sin 1B φ<+≤，由此可得2b c +的取值范围. 试题解析：（1）∵()cos cos cos 0C B B A +=，∴()cos cos cos cos 0A B B A B A -++=cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B B A B A -++=，sin sin cos 0A B B A =∵sin 0B >，∴sin 0A A =，∴tan A =∵222cos 2b c a A bc +-=，212=，∴c =1sin 32ABC S bc A ∆==（2）由正弦定理可得：24sin sin 3a R A ===28sin 4sin 8sin 4sin 10sin 3b c B C B B B B π⎛⎫+=+=++=+ ⎪⎝⎭()B φ=+其中tan φ=sin φ=，cos φ= φ为锐角，因为ABC ∆为锐角三角形，则62B ππ<<从而62B ππφφφ+<+<+，得()sin sin 16B πφφ⎛⎫+<+≤⎪⎝⎭，sin 6πφ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin 1B φ<+≤所以82b c <+≤2b c +的取值范围为5．如图所示，已知直三棱柱ABC –A ′B ′C ′，AC =AB =AA ，=2，AC ，AB ，AA ′两两垂直， E ，F ，H 分别是AC ，AB ，BC 的中点， （I ）证明：EF ⊥AH ；（II ）求平面EFC 与平面BB ′C ′所成夹角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）1475|1425||||,cos |cos =⨯-==><=m n θ. 【解析】(I)证明线线垂直，可以通过证明线面垂直来解决。

本小题连接C B ',H F E ,,分别是BC AB AC ,',的中点后，可知C B EF '//,这样可以通过证⊥AH 面BC B ',得⊥AH C B '，故AH EF ⊥.(II)以A 为原点，AB 、AA`、AC 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系A-xyz ，然后分别求出平面EFC 和平面BB ′C ′的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值 （Ⅰ）如图连接C B ',H F E ,,分别是BC AB AC ,',的中点, 故EF 是C AB '∆的中位线，C B EF '//，………………2分 又由2'===AA AB AC ,',,AA AB AC 两两垂直知，⊥AH BC ，又⊥'BB 面ABC ,⊂AH 面ABC ，则'BB AH ⊥…………4分 即⊥AH 面BC B ',则⊥AH C B '，故AH EF ⊥.…………………………6分（Ⅱ）如图建立空间坐标系，)0,0,0(A )0,2,2('B )0,0,2(B )2,2,0('C )0,2,0('A)2,0,0(C )1,0,0(E )0,1,1(F )1,0,1(H )1,1,1(-=EF ,)1,2,0('=EC )1,0,1(=AH………………………………8分显然⋅AH EF =0，故AH EF // 不妨设面'EFC 的法向量为),,(z y x n =，⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙0'0EC 即：⎩⎨⎧=+=-+020z y z y x ， 不妨令)2,1,3(-=n ，………………10分易知⊥AH 面''BC B ，不妨令面''C BB 的法向量为)1,0,1(== 设面'EFC 与面''C BB 夹角为θ，1475|1425||||,cos |cos =⨯-==><=m n θ6.7．已知等腰梯形PDCB 中，PB=3，DC=1，PD=BC=2，A 为PB 边上一点，且PA=1，将△PAD 沿AD 折起，使面PAD ⊥面ABCD.（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成的两部分1:2:=MACB PDCMAV V .【答案】（I ）证明：依题意知：ABCD PAD AD CD 面面又⊥⊥ ..PAD DC 平面⊥∴ .PCD PAD PCD DC 平面平面面又⊥∴⊂（II ）由（I ）知⊥PA 平面ABCD∴平面PAB ⊥平面ABCD ．在PB 上取一点M ，作MN ⊥AB ，则MN ⊥平面ABCD ，设MN =h ， 则111213323M ABC ABC h V S h h -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯= 21112)21(3131=⨯⨯+⨯=⋅=∆-PA S V ABC ABCD P要使21,1:23:)321(,1:2:==-=h h h V V MACB PDCMA 解得即（或3P ABCD V V-=M-ABC）即M 为PB 的中点.【解析】略8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，点E是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F .（1）求证： AB EF .（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 求①二面角E AF D --的锐二面角的余弦值.②在线段PC 上是否存在一点H ，使得直线BH 与平面AEF 所成角等于60︒，若存在，确定H 的位置，若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)①13；②答案见解析. 【解析】试题分析：(1)由题意可证得AB 平面PCD ，然后利用线面平行的性质定理可得AB EF ， (2)①建立空间直角坐标系，由题意可得平面AEF 的一个法向量为()1,3,3n =-； 而()3,0,0OB =为平面PAD 的一个法向量.据此计算有二面角E AF D --的锐二面角的余弦值为1313. ②假设PC 上存在点H 满足题意，利用平面向量的夹角公式得到关于实数λ的方程2191260λλ--=，解方程可得λ=PC 上存在一点H ，使得直线BH 与平面AEF 所成的角等于60︒.试题解析：（1）证明：∵AB CD ， CD ⊂平面PCD ， AB ⊄平面PCD ， ∴AB 平面PCD ，又∵AB ⊂平面ABEF ，且平面ABEF ⋂平面PCD EF =， ∴AB EF ，（2）①取AD 的中点O ，连接PO ， OB ， BD ， ∵ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒， PA PD AD ==， ∴ABD ， PAD 是等边三角形， ∴PO AD ⊥， OB AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， PO ⊂平面PAD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，以OB ， OD ， OP 为坐标轴建立空间坐标系O xyz -，则：()0,1,0A =-， ()0,1,0D ，(P ，)B，)2,0C，E ⎝⎭，10,,22F ⎛ ⎝⎭.30,2AF ⎛= ⎝⎭，1,02EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则：0{ 0n AF n EF ⋅=⋅=，∴302{ 1022y z x y +=--=， 令1x =得： ()1,3,3n =-； ∵OB ⊥平面PAD ， ∴()3,0,0OB =为平面PAD 的一个法向量.∴3,1313OB n cosOB n OB n⋅===⋅. 故二面角E AF D --的锐二面角的余弦值为. ②假设PC 上存在点H 使得直线BH与平面AEF 所成角等于60︒， 则BH 与n 所成夹角为30︒，设()(),201CH CP λλλ==-≤≤，则：(),22BH BC CH λ=+=--，4,13BH n cosBH n BH n⋅===⋅， 化简得： 2191260λλ--=， 解得： λ=λ=， ∴线段PC 上存在一点H ，使得直线BH 与平面AEF 所成的角等于60︒.点睛：(1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，在第(2)问中，运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想．(2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．。