立体几何证明题考点1:点线面的位置关系及平面的性质例1.下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是__________ .【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线（当这三个公共点共线时），②错.③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面.⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图（1）所示.ABC —A B C D'中，直线BB丄AB, BB丄CB但AB与CB不平行，•••⑥错. AB// CD BB n AB= B,但BB与CD不相交，.••⑦错•如图（2）所示，AB= CD BC= AD四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错.I、m外的任意一点，贝U （A.过点P有且仅有条直线与I、m都平行B.过点P有且仅有条直线与I、m都垂直C.过点P有且仅有条直线与I、m都相交D.过点P有且仅有条直线与I、m都异面答案 B解析对于选项A,若过点P有直线n与I , m都平行，则I // m这与I , m异面矛盾.对于选项B,过点P与I、m都垂直的直线，即过P且与I、m的公垂线段平行的那一条直线.对于选项C,过点P与I、m都相交的直线有一条或零条.对于选项D,过点P与I、m都异面的直线可能有无数条.A. 与a, b都相交B. 只能与a, b中的一条相交C. 至少与a, b中的一条相交D. 与a, b都平行解析若c与a, b都不相交，则c与a, b都平行，根据公理4，则a// b,与a, b异面矛盾. 考点2 :共点、共线、共面问题P、Q R S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形C中易证PQ/ SR③在D中，I QF?平面ABC( )B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件( )答案 CQ R S四点共面.PSn面ABC= P 且P?QR•••直线PS与QR为异面直线.••• P、Q R S四点不共面.④在B中P、Q R S四点共面，证明如下：取BC中点N,可证PS NR交于直线B i C i上一点，• P N R S四点共面，设为a.可证PS// QN •- P、Q N S四点共面，设为卩.•••a、卩都经过P、N S三点，• a与卩重合，• P、Q R S四点共面.【答案】 D2. 空间四点中，三点共线是这四点共面的A.充分不必要条件C.充分必要条件答案 A3. 下面三条直线一定共面的是A. a、b、c两两平行B. a、b、c两两相交C. a// b, c与a、b均相交D. a、b、c两两垂直例1.下列各图是正方体和正四面体,②在答案 C4. 已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交线互相平行或者相交于一点.5.如图所示，已知空间四边形 (2)若在本题中, AE CF E B = F B =2, AH CG HD GD 3, 其他条件不变. 求证: EH FG BD 三线共点.由 a ? 3 , b ?卩，则 an b = O,如图(1),或 a // b ,如图(2)，若 an b = QOe a , a ? a ,则 Qe a , Oe b , b ? 丫，则 O€ Y ，又 Y n a = C ,因此 O€ c ；若 a / b , a ? Y , b ? Y ,贝a // 丫，又 a ? a , an 丫 = c ，贝 V a/ c. 因此三条交线相交于一点或互相平行. ABCD 中, E 、H 分别是边 AB AD 的中点，F , G 分别是边BC CD ⑴求证：三条直线 EF, GH AC 交于一点. 【解析】 (1) ••• E, H 分别是AB AD 的中点, 1 •••由中位线定理可知， EH 綊尹D CF CG 2 又… 又'CB~ CD -3, 2 •••在厶 CBD 中, FG// BD 且 FG= 3BD •由公理4知，EH// FG 且EKFG •四边形EFGH1梯形，EH FG 为上、下两底. •两腰EF GH 所在直线必相交于一点 P. •/ Pe 直线 EF, EF ?平面 ABC • Pe 平面ABC 同理可得 Pe 平面 ADC • P 在平面ABC 和平面ADC 的交线上. 又•.•面 AB(n 面 ADC= AC • Pe 直线AC 故EF GH AC 三直线交于一点. AE CF ⑵「E E T CB T 2, • EF// AC AH CG 口 又话祜 3,「. HG/ AC • EF// HG 且 EF >HG HD GD •四边形EFGl 为梯形. 上的点，且CF CG 2 C B " CD 3.设EH与FG交于点P,贝U P€平面ABD P€平面BCD••• P在两平面的交线BD上.••• EH FG BD三线共点.考点3 :异面直线的夹角1.在正方体ABCD ABCD中，E为AB的中点.求BD与CE所成角的余弦值.【解析】连接AD, AD交点为M连接ME MC则/ MEC或其补角）即为异面直线BD与CE所成的角，设AB= 1, CE= f, ME= *BD=¥，血CD +。

矗 |在厶MEC中，cos / MECCE + ME — CM 152CE- ME = TT ，因此异面直线 BD 与CE 所成角的余弦值为 _J5 "TT .fl _ J C *i1r ■ 2.如图，若正四棱柱 ABC — ABCD 的底面边长为2,高为4，则异面直线 BD 与AD 所成角的正 ABC — A B C D 中，AA = 2AB E 为AA 中点，则异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦3 1 0 3B.5C. 10 D .3答案 C解析连接 BA ,则CD// BA ,于是/ ABE 就是异面直线 BE 与 CD 所成的角（或补角），设AB= 1,则 BE= \ 2, BA=j 5, A 1 E = 1，在△ A BE 中, cos Z ABE=半斗=警，选C. 2寸 5 7 2 104.已知正方体 ABC — ABCD 中, E 为CD 的中点，则异面直线 AE 与BC 所成角的余弦值为【解析】 取AB 的中点F ,连接EF, FA 则有EF// BO / BC Z AEF 即是直线 AE 与BC 所成的角或其补角.设正方体ABC —ABCD 的棱长为 2a ,则有 EF = 2a , AF = 2a 2+ a 2= ：5a , AE= 2a 2+ 2a 2+ a 2= 3a .在厶 AEF 中，cos Z AEF = 切值是 ______ .值为AE+EF2-AF22AE- EF2 ,2 _ 29a + 4a —5a2X 3a x 2a2亍因此，异面直线2AE与BC所成的角的余弦值是3.【答案】3考点4 :直线与平面平行的判定与性质1. _________________________ 下列命题中正确的是.①若直线a不在a内，则a II a ；②若直线l上有无数个点不在平面a内，则I I a ;③若直线I与平面a平行，则I与a内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若I与平面a平行，则I与a内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交.答案⑤⑥解析an a = A时，a不在a内，.••①错；直线I与a相交时，I上有无数个点不在a内，故② 错；I I a时，a内的直线与I平行或异面，故③错；al b, b// a时，a I a或a? a ,故④错；I I a , 则I与a无公共点，••• I与a内任何一条直线都无公共点，⑤正确；如图，长方体中，AC与BD都与平面ABC［平行，.••⑥正确.2. 给出下列四个命题：①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行;④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行.其中正确命题的个数是_________ 个.答案 1解析命题①错，需说明这条直线在平面外.命题②错，需说明这条直线在平面外.命题③正确，由线面平行的判定定理可知.命题④错，需说明另一条直线在平面外.3. 已知不重合的直线a, b和平面a ,①若a I a , b? a,贝U a I b；②若a I a , b I a,贝U a I b；③若a I b, b? a ,则a I a ；④若a I b, a? a ,则bI a或b? a ,上面命题中正确的是________ （填序号）.又PM/ AB// QN方法二如图，连接AQ并延长交BC延长线于K连接又AD// BK DQAQBQ QKAP T AQPE=QKPQ/ EK• PM/ BE, AP AM PE=MB答案④解析①若a// a, b? a,贝y a, b平行或异面；②若a//a, b//a，贝y a, b平行、相交、异面都有可能；③若a// b, b? a, a//a或a? a .4.正方形ABCDf正方形ABEF所在平面相交于AB在AE BD上各有一点P、Q,且AP= DQ求证: PQ/平面BCE【证明】方法一如图所示.作PM/ AB交BE于M作QN/ AB交BC于N,连接MN•••正方形ABC［和正方形ABEF有公共边AB二AE= BD又AP= DQ ••• PE= QBPM PE QB QN BQABT AE=BD DC BD)PM QN• A B" DC•PM綊QN即四边形PMN3平行四边形.•PQ// MN又MN* 平面BCE PQ平面BCE•PQ/平面BCE••• AE= BD AP= DQAP DQ•PE=BQ•-PE= BQ又PQ?平面BCE EK?平面BCE• PQ/平面BCE方法三如图，在平面ABEF内,过点P作PM/ BE交AB于点M连接QM• PM/ 平面BCE又•••平面ABEfR平面BCE= BEEK又AE= BD AP= DQ • PE=BQ•AP DQ • AM"DQ•P E BQ • MB QB•MQ AD 又AD// BC•MQ BC, • MQ 平面BCE又PW M T M •平面PMQ平面BCE又PQ?平面PMQ •P Q/平面BCEAB= BC= BF= 2,6.若P 为异面直线a , b 外一点，则过P 且与a , b 均平行的平面A.不存在D.有无数多个<1>求证：MM 平面CDEF <2>求多面体 A — CDEF 的体积. 解析（1）证明由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且DE= CF= 2 ;'2,A Z CBF= 90° .取BF 中点G,连接MG NG 由M N 分别是AF, BC 中点，可知：NG/ CF, MG/ EF 又M® NG= G,CFA EF= F,•••平面 MNG 平面 CDEF MN/平面 CDEF⑵作AHL DE 于H,由于三棱柱 ADE- BCF 为直三棱柱,• AHL 平面CDEF 且AH= '2.1 18•- Vx - CDEF = 3S 四边形 CDEF- AH= 3X 2x 2 ；：：,"2 X ■ 2 = 3.B.有且只有一个C.可以有两个 答案 B7.如图，在正方体 ABC —ABCD 中，点N 在BD 上 ,点 M 在BC 上,且 CM = DN 求证：MN/平 面 AABB. 【证明】 方法一 如右图，作 ME/ BC 交BB 于E;作NF// AD 交AB 于F ,连接EF ,贝U EF平面AABB•/ BD= BC, DNh CM•- BM = BNME BN NFBC Bc T A D••• ME NFDN CNNB NP 又CM= DN•/ MP/ BB,CM CPM B=PB• B M=BNCM_DNM B=N B8.如图所示，四棱锥—ABCD中，底面ABCD为正方形, PDL平面ABCD PD= AB=2, E, F, G 分别为PC PD BC的中点.MEB i M N^BN B C B1C，ADT BD又ME/ BC/ AD// NF,• MEFN为平行四边形.•NM/ EF.又T MN面AAB i B,•MN/平面AAB i B.方法二如图，连接CN并延长交BA的延长线于点P,连接BP,则BP?平面AAB i B•••△NDQA NBPCM DN CNBC=BD,MBTNBT NP•MN/ B l P. ••• B l P?平面AAB i B,•MN/平面AAB i B.方法三如右图，作MP// BB,交BC于点P,连接NP••• BD= B i C, DN= CMCP DN• PB N, • NP// DC/ AB•平面MNP平面AABB• MN/平面AAB i B.(i )求证：PA/平面EFG9.如图所示,a , b 是异面直线,A 、C 与B 、D 分别是a , b 上的两点，直线 a //平面a ,直线b=M CDH a = N,求证:若 AM= BM 贝U CN=DNE 点，并连接 ME NE aCl 面 ABD= ME⑵求三棱锥P — EFG 勺体积.解析⑴证明如图，取AD 的中点H 连接GH FH•/ E , F 分别为PC, PD 的中点， ••• EF// CD••• G, H 分别是BC, AD 的中点，• GH/ CD• EF// GH •- E, F , H, G 四点共面.•/ F , H 分别为DP, DA 的中点，• PA// FH •/ PA ?平面 EFG FH?平面 EFG• PA//平面 EFG』h J _ ■ 」； （2） ••• PDL 平面 ABCD CG 平面 ABCD • PDL CG又••• CGL CD Cm PD= D, • GCL 平面 PCD •/ PF = 2PD = 1, EF = 2C D= 1, • S"EF = 2EF - PF =2.1 11 1又 GC2BCX • WEFC= W PEF = 3 X 2 X1 =6.• ME/ BD 又在△ ABC 中 AM= MB• AE= ED即E 是AD 的中点. 又 a // a , EN?平面 ACD 平面 a A 面 ADC= EN • EN// AC 而E 是AD 的中点. CD 的中点，• CN= DN//平面连接AD 交平面a 于 ,ME 平面ABD 平面 a , ABA a • N 必是连接B i C 交BG 于点F ,在三棱柱ABC- ABC中，E为AC上一点，若AB//平面CEB求：AE： EC 则F为BC中点.正确；由于RQ•/ AB //平面 GEBAB ?平面ABC 且平面 CEBA 平面 ABC = EF ••• AB // EF, ••• E 为 AC 中点. ••• AE： EC= 1 : 1.【答案】 1 : 1考点5 :面面平行的判定及性质1. 设m n 是平面a 内的两条不同直线；l 1 , l 2是平面卩内的两条相交直线，则 a //卩的一个充分而不必要条件是（）A. m/卩且 11 //a B . m// 11 且 n // 12 C. m// 卩且 n //卩答案 B解析 因n ? a , I 1? 3 ,若a //® ,则有m /卩且11/ a ,故a //卩的一个必要条件是 m//卩 且I 1 / a ,排除A.因m n ? a , 11 , 12? 3且I 1与12相交，若rr// I 1且n // 12 ,因I 1与12相交，故 m 与n 也相交，二a // 3 ;若a //3 ,则直线m 与直线I 1可能为异面直线，故 a //3的一个充分而不必要条件是 n V/ I 1 且 n // 12 ,应选 B.2. 棱长为1的正方体 ABC —ABCD 中，点P, Q R 分别是面 ABCD , BC （B , ABBA 的中心， 给出下列结论： ① PR 与 BQ 是异面直线； ② RQ_平面BCGB ; ③ 平面PQR 平面DAC④ 过P , Q R 的平面截该正方体所得截面是边长为：'2的等边三角形.以上结论正确的是 _________ .（写出所有正确结论的序号 ）尹解析 由于PR >^ ABC 的中位线，所以PR// BQ 故①不// AC ,而AQ 不垂直于面 BCGB ,所以②不正确；由于 PR// BC // DA, PQ// AB// DC,所以③正确；由于△ ABC 是边长为,：2的正三角形，所以④正确•故填③④.3.已知PABC 所在平面外一点， G 、G 2、G 3分别是△ PAB △ PCBA PAC 勺重心.<1>求证：平面 GGG //平面ABC <2>求 S ^G1G2G3 : &ABC【解析】 ⑴如图，连接PG 、PG 、PG 并延长分别与边 AB BC AC 交于点D E 、F .连接DE EF FD 则有 PG ： PD- 2 : 3,PG : PE = 2 : 3.•- GG // DE 又GG 不在平面 ABC 内, • GG //平面 ABC 同理GG //平面 ABCPG PG 2 2又因为GGQ GG= G2,「.平面GG2G//平面ABC（2）由（1）知PD=■pE=3，…GG= 3DE又DE= 2AC「GG= 3AC同理G2Gs= 3AB GG3= 3BC•••△ GGGs^ CAB 其相似比为 1 : 3.SA GGG : Sx ABC= 1 : 9.4. 给出下列关于互不相同的直线I、m n和平面a、卩、Y的三个命题：①若I与m为异面直线，I ? a，n?卩，则a / 3 ；②若 a / 3,1? a , n? 3 ,则I // m③若 a n 3= I , 3门丫= m Y Q a = n, I //丫，贝V m// n.其中真命题为_________ .答案③解析①中当a与3不平行时，也能存在符合题意的I、m②中I与m也可能异面.I // Y③中I ? 3 ? I // m3 Q Y= m同理I // n,贝y m// n,正确.5. 如图所示，正方体ABC—ABCD中，M N E、F分别是棱AB, AD, BC, CD的中点. 求证：平面AM/平面EFDB【证明】连接MF T M F是A B、CD的中点，四边形A B CD为正方形，•• MF A D .又A D AD•MF AD•四边形AMFI是平行四边形.•AM/ DF•/ DF?平面EFDB AM平面EFDB•AM/平面EFDB同理AN//平面EFDB又AM AN?平面ANM AW AN= A,•平面AMN平面EFDB6.在正方体ABCB A B G D中，M N, P分别是GC, B C i, C i D的中点，求证：平面MNP平面ABD证明方法如图⑴所示，连接BD.••• P, N分别是DG, B1C1的中点，••• PN// BiD.又B i D // BD • PN// BD又PN?平面ABD,•P N//平面ABD同理：MIN/平面A i BD又PNH MN= N,•平面PMN平面ABD方法二如图⑵ 所示，连接AG , AC■/ ABC B ABCD为正方体，•ACL BD又CG丄平面ABCD•AC为AC在平面ABCDt的射影，•AC丄BD同理可证AC丄A i B,•AC丄平面A i BD同理可证AC丄平面PMN7.如图所示，平面 a //平面卩，点A€ a , C€a ,点B€卩，D€卩，点E、F分别在线段AB CD上，且AE： EB= CF： FD求证：EF//【证明】由 a // 3 ,①当ABa Q平面CD在同一平面内时,ABD AC3 门平面ABDG BD • AC// BD •/ AE： EB= CF： FD,• EF// BD 又EF?3 , BD? 3 , • EF// 3 .②当AB与CD异面时, 设平面ACQ 3 = DH且DH= AC•/ a/3 , a 门平面ACDI4AC • AC/ DH•四边形ACDI是平行四边形.在AH上取一点G 使AG： GH= CF： FD又••• AE： EB= CF： FD • GF// HD EG/ BH又EGn GF= G •平面EFG/平面3 .【解析】（1）如图，取D为线段AG的中点，此时ADDC =1,连接A i B交AB于点O连接0D.•/ EF?平面EFG 二EF// 卩.综上，EF// 卩.8.已知：如图，斜三棱柱ABC—ABC中，点D D分别为AC AQ上的点.A D（1）当 /的值等于何值时，BG//平面ABD;DC若平面BGD//平面ABD,求DC勺值由棱柱的性质，知四边形AABB为平行四边形，所以点0为A i B的中点.在厶A i BG中，点O D分别为A B A i G的中点,OD// BG.又••• 0D?平面ABD , BG?平面ABD ,.BG//平面ABD.A i D 丄….—=i 时，BG//平面ABD.DG⑵由已知，平面BGD//平面ABD,且平面A BGA平面BDG= BG,平面A i BGn平面ABD = D Q 因此BG // D Q 同理AD // DG..A i D A i O AD DGDG = OB，DG = AD口A i O DG 加AD又，OB= i，…AD= i，即D= i .考点6 :线线、线面垂直i .设a、卩是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是A. 若a // a , b / a，贝U a // bB. 若a // a , b/ 3, a // b,^ U a // 卩C. 若a丄a , b丄3, a丄b,^U a丄3D. 若a、b在平面a内的射影互相垂直，则a丄b答案 G解析与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以 B错误；如图（i ），设OA// a, OB// b,直线OA OB确定的平面分别交a、3于AG BC贝U OAL AG OBL BC 所以四边形OACE为矩形，/ ACB为二面角a - l - 3的平面角，所以a丄3 , G 正确；如图⑵，直线a、b在平面a内的射影分别为m n,显然mln,但a、b不垂直，所以D错误，故选G.l 丄a ”的C.充要条件 D .既不充分又不必要条件 答案 B3.若m n 表示直线，a 表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为①m/ nn 丄a mL? n 丄a ②,? m// namL a③mL am/ a? mL n ④? n 丄an // amL nA. 1 B . 2 C .3 D .4答案 C解析 ①②③正确，④错误.4.如图，四棱锥 P — ABCD 中，PA!底面 ABCD ABLAD AC 丄CD / ABC= 60° , PA= AB= BC E是PC 的中点.求证：⑴CDL AE ⑵PDL 平面ABE【证明】 (1) T PAL 底面ABCD••• CDL PA又 CELL AC PAn AC= A , 故CDL 平面PAC AR 平面PAC 故 CDL AE⑵••• PA= AB= BC / ABC= 60°，故 PA= AC ••• E 是PC 的中点，故 AE! PC由(1)知 CD_ AE,从而AE 丄平面PCD 故AE1PD 易知BAL PD 故PDL 平面 ABE5.设I 是直线,a ,卩是两个不同的平面（）A.若 I //a , I // 3 ,则 a // 卩B.若 I //a , I 丄3,贝U a 丄3C.若 I -L a ,， 久丄3 ,则 I 丄3D.若 a 丄卩， I // a ,贝 9I 丄3答案 B解析 A 项中由 I // a , I // 3不能确定 a 与3的位置关系，C 项中由a 丄3, I 丄a 可推出I //A.充分不必要条件 B .必要不充分条件解析 如果一条直线平行于一个平面，它不是与平面内的所有直线平行，只有对D 来讲若c // a , a 丄3， 则c 与3的位置关系不定，故选 C.C 对;7.在三棱柱ABC-ABC 中,••• AB= 2 ：卩或I ? 3 , D 项由a 丄卩，I //a 不能确定I 与卩的位置关系.6.设b , C 表示两条直线，a , 3表示两个平面，下列命题中真命题是部分平行，故A 错;若一条直线与平面内的直线平行，该直线不一定与该平面平行，该直线可能是该平面内的直线,故B 错;如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面垂直，这是一个真命题，故AA 丄平面 ABC AC= BC= AA = 2,Z ACB= 90 ° , E 为 BB 的中点,/ ADE= 90°，求证：CDL 平面 A ABB.证明连接AE, EC•/ AC- BC- 2,Z ACB= 90 ° ,设 AD= x ,贝U BD= 2 ：'2-x .A I D 2-4+ x 2, DE = 1 + (2 :2— x )2, A i E 2- (2 '2)2+ 1.•••/A i DE= 90°,. A i D 2+ DE -A i E 2.• x = 2• D 为 AB 的中点.••• CDL AB 又 AA 丄 CD 且 AAQ AB= A, • CDL 平面 AABB.8.如图，长方体 ABC —ABCD 中，底面 A i BCD 是正方形，O 是BD 的中点，E 是棱AA 上任意占八、、♦< 1 >证明：BDL EC ;<2>如果 AB= 2, AE= .'2, OEL EG ,求 AA 的长. 【解析】 （1）如图，连接AC AC , AC 与BD 相交于点O 由底面是正方形知，BDL ACA.若 b ? a , c // a ,贝y b // cB.若 b ?a ,b // C ,贝yc // aC.若 c // a , c 丄3,贝U a 丄3D.若 c // a , a 丄3，贝U c 丄3答案 C--4因为AA丄平面ABCD BD?平面ABCD所以AA丄BD又由AAQ AC= A,所以BDL平面AACC再由EC?平面AACQ知，BDL EC.⑵设AA的长为h，连接OC在 Rt △ OAE中, AE= ：2, AO= :‘2, 故OE- （ .：2）2+ （ ,：2）2- 4. 在 Rt △ EAC 中，AE- h—,AG = 2羽.故EG= (h—⑵2+ (2 ⑵2.在 Rt △ OCG中，OG= '2, GG= h,OG= h2+ ( ：2)2.因为OEL EG,所以OE+ EG= OG. 即 4 + (h—⑵2+ (2 :'2)2= h2+ (⑵2, 解得h=企阻.所以AA的长为3述.考点7 :面面垂直1. △ ABC为正三角形，EGL平面ABG BD/ GE且GE= GA= 2BD, M是EA的中点，求证:①DE= DA②平面BDML平面EGA③平面DEL平面ECA【证明】①取EC的中点F,连接DF••• BD// GE DBL BA 又EGL BG在 Rt △ EFD和 Rt △ DBA中 ,1•/ EF= Q EG= BD FD= BG= AB••• Rt△ EFD^ Rt △ DBA 二DE= DA1②取CA的中点N,连接MN BN贝U MN綊^EC•MN/ BD • N 点在平面BDM内.•/ ECL平面ABC •- ECL BN又GAL BN • BNL平面ECA••• BN?平面BDM二平面BDLL平面ECA③••• DM/ BN BNL平面EGA•DML平面EGA又DIM平面DEA•平面DEL平面ECA2.已知平面PABL平面ABC平面PAG_平面ABCAE!平面PBG E为垂足.①求证：PAL平面ABC②当E PBC的垂心时，求证：△ ABC是直角三角形.【证明】①在平面ABG内取一点D,作DFL AC于F.平面PAGL平面ABG且交线为AG • DF!平面PAC又PA?平面PAG•DFL PA 作DGL AB于G,同理可证：DGL PADG DF都在平面ABG内 ,•PA!平面ABCBG的中点②连接BE并延长交PC于H,•/ E是厶PBC勺垂心，••• PCLBH又已知AE是平面PBC的垂线，PC?平面PBC• PCL AE 又BHA AE= E,「. PCL平面ABE又AB?平面ABE •- PCL AB•/ PA!平面ABC •- PAL AB又PCA PA= P,「. ABL平面PAC又AC?平面PAC • ABL AC即厶ABC是直角三角形.3.如图所示,在斜三棱柱ABG —ABC中,底面是等腰三角形，AB = AC侧面BBCC丄底面ABC （1）若D是BC的中点，求证：ADLCG;⑵过侧面BBCC的对角线BC的平面交侧棱于M 若AM= MA,求证：截面MBCL侧面BBCC;⑶AM= MA是截面MBCL侧面BBCQ的充要条件吗？请你叙述判断理由.【证明】（1）••• AB= AC D是BC的中点，• ADL BC•••底面AB丄侧面BBGC,且交线为BC•由面面垂直的性质定理可知ADL侧面BBCC又••• CC?侧面BBCC, • ADL CC.⑵方法一取BC的中点E,连接DE ME在厶BCC中，D E分别是BC一 1• DE綊 q CC.1又AA綊CC,「. DE綊2AA.•/ M是AA的中点（由AM= MA知）,• DE綊AM• AMEDi平行四边形，• AD綊ME由（1）知ADL面BBCC,：MEL侧面BBCC.又••• ME 面BMC：面BMCL 侧面BBCC方法二延长BA与BM交于N（在侧面AABB中），连接CN•/ AM= MA,「. NA= AB.又••• AB= AC由棱柱定义知△ ABC^A ABC.• AB= A1B1, AC= A Ci.• A1C = A1N= AB.在厶BCN中，由平面几何定理知：/ NCB= 90°,即卩CN丄BC.又•••侧面BBCC丄底面ABC，交线为BC,• NC丄侧面BBCC又••• NC?面BNC,•截面CNBL侧面BBCC即截面MBCL侧面BBGC(3)结论是肯定的，充分性已由(2)证明.下面仅证明必要性(即由截面BMC^侧面BBCC推出AM= MA,实质是证明M是AA的中点), 过M作ME1丄BC于E i.•••截面MBC丄侧面BBCC,交线为BC.••• ME丄面BBGC又由(1)知ADL侧面BBCC,•• •垂直于同一个平面的两条直线平行，•AD// ME,「. M E、D A四点共面.又••• AM/侧面BBCC,面AMEDnW BBCB DE,•由线面平行的性质定理可知AM/ DE.又AD// ME,•四边形AMHD是平行四边形.•AD= ME, DE綊AM又••• AM/ CC,「. DE// CC.又••• D是BC的中点，• E是BC的中点.1 1•DE= 2CC= 2AA1.1•AM= 2从，二MA= MA•AM= MA是截面MBC丄侧面BBCC的充要条件.考点&平行与垂直的综合问题1. 如图所示，在直角梯形ABEF中，将DCEF沿CD折起使/ FDA= 60°,得到一个空间几何体.(1) 求证：BE//平面ADF(2) 求证：AFL平面ABCD(3) 求三棱锥E—BCD勺体积.【解析】(1)由已知条件，可知BC// AD, CE// DF,折叠之后平行关系不变.又因为BC平面ADF AD?平面ADF所以BC//平面ADF同理CE//平面ADF又因为BCn CE= C, BC CE?平面BCE所以平面BC/平面ADF⑵由于/ FDA= 60° , FD= 2 , AD= 1 ,所以AF2= F D+ A D— 2 X FDX ADX cos FDA= 4 + 1 — 2X 2 X 1 X- = 3.2即AF= '3.所以AF+ AD = FD.所以AFL AD又因为DCL FD DCL AD ADA FD= D,所以DCL平面ADF又因为AF?平面ADF所以DCL AF因为ADA DC= D, AD DC?平面ABCD所以AF丄平面ABCD(3)因为DCL EC, DCL BC EC, BC?平面EBC E8 BC= C,所以DCL平面EBC又因为DF// EC AD// BC / FDA= 60° ,所以/ ECB= 60° .又因为EC= 1 , BC= 1 ,所以S A ECB= q X 1 X 1 X = -^.1 1 x/3所以VE—BCD= V—EBC=—X DCX S AECB=- X 1 X = ——.3 34 122. 如图1,在Rt△ ABC中 , / C= 90° , D, E分别为AC AB的中点，点F为线段CD上的一点.将△ ADE沿DE折起到△ ADE的位置，使AFLCD如图2.<1>求证：DE/平面ACB<2>求证：AFL BE<3>线段AB上是否存在点Q,使AQ丄平面DEQ说明理由.【解析】（1）因为D, E分别为AC AB的中点，所以DE// BC又因为DE平面AQB所以DE//平面AQB⑵由已知得ACL BC且DE// BC所以DEI AC所以DEI AD, DEI CD所以DEL平面A DC而AF?平面ADC所以DEIAF又因为AFLCD所以AFL BE⑶线段AB上存在点Q使AQ丄平面DEQ理由如下:APD= 90 °,平面如图，分别取 AQ, AB 的中点P , Q 连接PQ QE PD 贝U PQ/ BC因为DE// BC 所以DE/ PQ 所以平面DEC 即为平面DEP 由(2)知，DEL 平面ADC 所以DEI AC又因为P 是等腰三角形DAC 底边AC 的中点, 所以A i CL DP所以AQ 丄平面DEP 从而AQ 丄平面DEQ 故线段 AB 上存在点 Q 使得 AC 丄平面 DEQ3. 如图，四棱锥 P -ABCD 中 ,四边形 ABCD 为矩形，△ PAD 为等腰三角形,PADL 平面ABCD 且AB= 1, AD= 2 , E 、F 分别为PC BD 的中点.<1>证明：EF//平面PAD <2>证明：平面PDCL 平面PAD <3>求四棱锥P — ABC ［的体积.•••四边形 ABCD^矩形且F 是BD 的中点, ••• F 也是AC 的中点.又E 是PC 的中点，EF// AR •/ EF ?平面 PAD PA ?平面 PAD •- EF// 平面 PAD⑵证明：•••面 PAD_平面 ABCD CDL AD 平面PACT 平面 ABC 』AD• CDL 平面 PAD•/ CD ?平面PDC •平面 PDCL 平面PAD(3)取AD 的中点为Q 连接PO•••平面PAD_平面ABCD △ PAD 为等腰直角三角形, ••• POL 平面ABCD 即PO 为四棱锥P — ABC 啲高.••• AD= 2 , • PO= 1.又 AB= 1,12•••四棱锥 P-ABCD 勺体积 V = 3P0・ AB- AD= 3.33(1)证明：如图，连接 AC。