概率论与数理统计试题11级计算机大队二区队一、选择题：1、假设事件A与事件B互为对立，则事件AB( )。

(A) 是不可能事件(B) 是可能事件(C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件答案：A。

这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

2、某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间小于10分钟的概率是（）。

A、16B、112C、160D、172答案：A。

以分钟为单位，记上一次报时时刻为0，则下一次报时时刻为60，于是，这个人打开收音机的时间必在（0，60），记“等待时间短于分钟”为事件A。

则有S=（0，60），A=（50，60）所以P(A)=AS=1060=16。

3、设连续型随机变量（X,Y）的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，问P｛X≤Y}=（）。

A、0B、12C、14D、1答案：B。

利用对称性，因为X,Y独立同分布，所以有P｛X≤Y｝=P｛Y≤X｝,而P｛X≤Y｝+ P｛Y≤X｝=1，所以P｛X≤Y｝=1 24、设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F(x,y)，分布律如下：则F （2，3）=（）。

A 、0 B 、14 C 、716 D 、916答案：D 。

F （2，3）=P ｛X ≤2,Y ≤3｝=P ｛X=1,Y=1｝+P ｛X=1,Y=2｝+ P ｛X=1,Y=3｝+ P ｛X=2,Y=1｝+P ｛X=2.Y=2｝ + P ｛X=2,Y=3｝=14+0+0+116+14+0=9165、下列命题中错误的是( )。

(A)若Xp (λ)，则()()λ==X D X E ；(B)若X 服从参数为λ的指数分布，则()()λ1==X D X E ；(C)若Xb (θ,1)，则()()()θθθ-==1,X D X E ；(D)若X 服从区间[b a ,]上的均匀分布，则()3222b ab a X E ++=.答案：B 。

()()2,λλ==X D X E6、设()Y X ,服从二维正态分布，则下列条件中不是Y X ,相互独立的充分必要条 件是( )。

(A) Y X ,不相关 (B) ()()()Y E X E XY E = (C) ()0,cov =Y X (D) ()()0==Y E XY E答案：D 。

当()Y X ,服从二维正态分布时，不相关性⇔独立性。

若()Y X ,服从一 般的分布，则Y X ,相互独立⇒Y X ,不相关，反之未必。

7、已知总体X 服从[0，λ]上的均匀分布（λ未知），X 1，X 2，X 3，···，X n 的样 本,则（ ）。

11212111 A -B -E X n 2n 1C X +X D -D X n n ni i i i n i i X X X λ===∑∑∑、是一个统计量 、（）是一个统计量、是一个统计量 、（）是一个统计量答案：C 。

统计量的定义为：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样 本的统计量。

而（A ）、（B ）、（D ）中均含未知参数。

22123n 222X~N X X X X ,X X S X- A X~N B U=~N nX-C T=~t n-1D X S S X S D μσσμμσμ•••8、设总体（，），，，，，是取自的一个样本，与 分别为该样本的样本均值与样本差，则下面（ ）是错的。

、 （，） 、（0,1）、（） 、与不独立解：对于但正态总体来说，与是相互独立的，故（）错9、设函数0x 0F x x /3,0x 21,x 2⎧⎪<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，（），则F （x ）是（）。

（A ）是某随机变量的分布函数 （B ）是离散型随机变量的分布函数（C）是连续型随机变量的分布函数（D）不是某随机变量的分布函数答案：A。

10、某班级要从4名男生，2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）。

A．48 B.24 C.28 D.14答案：D。

由题意得：如果要求至少有1名女生的选派方案种数为：C12C34+C22C24=14 种。

二、填空题：1. 已知P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则P(AB)=（）。

答案：0.18。

由乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6 0.3=0.18。

2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为（）。

答案：0.784。

是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。

3、若（X,Y）的分布律为则a,b应满足的条件是（）。

答案：由分布律的性质可知，16+19+118+13+a+b=1,则a+b=13。

4、设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X,Y）的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值，试将其它数值填入表中的空白处。

解：由边缘概率分布的定义知：P11=P1—P21=16—18=124,又由X与Y相互独立，有124= P11= P1P1= P1×16，故P1=14，从而P13=14—124—18，又由P12= P1P2，即1 8=14P2,从而P 2=12，类似的有P 3=1，P 13=1，P 2=3，所以：5、1X ，2X ，……，n X 是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ，2σ)，(0>σ)，则X ∑==ni i X n 11服从的分布是（ ），且()=X E （ ），()=X D （ ）。

答案：正态分布，μ，n 2σ。

6、设总体X 服从参数为2 的指数分布，1X ，2X ，……，n X 为来自总体X 的一个样本，则当∞→n 时，n Y ∑==n i i X n 121依概率收敛于（ ）。

答案：12。

7、两个骰子的点数分别为b,c,则方程x 2+bx+c=0有两个实数根的概率为（ ）。

解：1936。

共有6*6=36种结果，方程有解，则△=b 2—4c ≥0，即b 2≥4c ，满足条件的数记为（b 2，4c ），共有（4,4），（9,4），（9,8），（16,4），（16，8），（16,12），（16,16），（25,4），（25,8），（25,12），（25,16），（25,20），（25,24），（36,4），（36,8），（36,12），（36,16），（36,20），（36,24），19个结果。

8、.若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为（ ）。

解：1/2。

书架上共有（5+3+2）本书，其中外文书有（3+2）本，则由书架上抽出一本外文书的概率为510=12。

123n n 22i n i=112n 3X B X X X X 10011X=X S =()n n E X =E S =333397291X~B E X ==D X ==100100101001001000E X =E X n i i X X =•••-⨯⨯⨯∑∑9、设总体服从二项分布（10，），，，，，为来自该总体的简单随机样本，与分别表示样本均值和样本二阶中心矩，则（）（ ），（）（）。

解：由（10，），得：（）10，（）10，所以（）（2n3n-1291n-=E S =D X =10n 1000n （1）），（）（）三、应用题：1、 一个袋有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为多少？（古典概型）解：设事件A 为“任取3个球恰为一红、一白、一黑” 由古典概型计算得所求概率为P （A ）=31053210.254C ⨯⨯==2、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。

由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。

（事件的独立性与条件概率）解：设从甲袋取到白球的事件为A ，从乙袋取到白球的事件为B ，则根据全概 率公式有：()()(|)()(|)211150.417323412P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯==3、设有两种鸡蛋混放在一起，其中甲种鸡蛋单只的重量（单位：克）服从)25,50(N 分布，乙种鸡蛋单只的重量（单位：克）服从)16,54(N 分布。

设甲种蛋占总只数的%70，（1） 今从该批鸡蛋中任选一只，试求其重量超过55克的概率； （2） 若已知所抽出的鸡蛋超过55克，问它是甲种蛋的概率是多少？（ )9938.0)5.2(,8413.0)1(=Φ=Φ解：设B=“选出的鸡蛋是甲种鸡蛋” ，B =“选出的鸡蛋是乙种鸡蛋” A=“选出的鸡蛋重量超过55克” ，X=“甲种鸡蛋单只的重量” ， Y=“乙种鸡蛋单只的重量” ， 则 ,3.0)(,7.0)(==B P B P1587.08413.01)1(1)55055(1}55{1}55{)(=-=Φ-=-Φ-=≤-=>=X P X P B A P0062.09938.01)5.2(1)44555(1}55{1}55{)(=-=Φ-=-Φ-=≤-=>=Y P Y P B A P（1）)()()()()(B A P B P B A P B P A P += 11295.00062.03.01587.07.0=⨯+⨯=（2）9835.011295.011109.0)()()()(===A P B P B A P A B P4、 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度函数为()⎩⎨⎧<<<=其它01015,2y x y x y x f（1）. 求边缘概率密度函数);(,)(y f x f Y X .； （2）求)(x y f X Y ； （3）求}1{≤+Y X P 。

解：（1）⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()( ， )1(21515)(,102212x x ydy x x f x xX -==<<⎰时 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它010)1(215)(22x x x x f X ⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()( ， 402515)(,10y ydx x y f y yY ==<<⎰时⎩⎨⎧<<=其它105)(4y y y f Y(2) 0)(10><<x f x X ，时⎪⎩⎪⎨⎧<<<-==其它01012)(),()(2y x x yx f y x f x y f X X Y(4) 64515),(}1{12211===≤+⎰⎰⎰⎰-≤+xxy x ydy x dx dxdy y x f Y X P5、袋中有2个白球，3个黑球，不放回地连续去两次球，每次取一个。

若设随机变量X 与Y 分别为第一、二次取得白球的个数。