第二章数列极限
证明留在下节进行.
三、关于极限
例6
例7
例8
四.数列单调有界证法欣赏:
Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法
一.
证法一（ Riemann最先给出这一证法）设应用二项式展开，得
，
+
注意到
比多一项即↗.
且
有界.
}单调有界.
综上, 数列{
证法二( 利用Bernoulli不等式 )
注意到Bernoulli不等式为正整数 ), 有
由利用Bernoulli不等式,有
↗.
为证{
}上方有界, 考虑数列可类证↘. 事实上,
(此处利用了Bernoulli不等式 )
↘.
显然有
有
即数列{
}有上界.
评註: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处.
证法三( 利用均值不等式 ) 在均值不等式
中, 令
就有
即
↗.
令
可仿上证得
时
↗, ( 时无意义, 时诸
=
, 不能用均值不等式. ) 当
时, 由
由
↗
↘. < 4.
证法四 ( 仍利用均值不等式 )
<
即
↗.
有界性证法可参阅上述各证法. 证法五 先证明：对
和正整数 ，有不等式
事实上，
<
该不等式又可变形为
( 为正整数 )
在此不等式中, 取
则有
就有
↗.
取又有对
成立，
又由
小结、习题（2学时）
数列（1+1/n）^n的极限问题,主要是证明此数列单调递增且有上界,然后根据数列极限的单调有界准则就证明了这个极限存在。

而证明此数歹」单调递增及有上界,大多数现行微积分教材都是将(1+告)·按二项式定理展开来分析证明的。

本文我们将介绍四种不同方法来证明。