练习一 质点运动学一、选择题1.【 A 】2. 【 D 】3. 【 D 】4.【 C 】 二、填空题1. (1) 物体的速度与时间的函数关系为cos dyv A t dt ωω==； (2) 物体的速度与坐标的函数关系为222()vy A ω+=.2. 走过的路程是m 34π； 这段时间平均速度大小为：s /m 40033π；方向是与X 正方向夹角3πα=3.在第3秒至第6秒间速度与加速度同方向。

4.则其速度与时间的关系v=32031Ct dt Ct v v t==-⎰, 运动方程为x=400121Ct t v x x +=-. 三、计算题1. 已知一质点的运动方程为t ,r ,j )t 2(i t 2r 2ϖϖϖϖ-+=分别以m 和s 为单位，求:(1) 质点的轨迹方程，并作图；(2) t=0s 和t=2s 时刻的位置矢量；(3) t=0s 到t=2s 质点的位移?v ,?r ==ϖϖ∆(1)轨迹方程：08y 4x 2=-+； (2) j 2r 0ϖϖ=，j 2i 4r 2ϖϖϖ-=(3) j 4i 4r r r 02ϖϖϖϖϖ-=-=∆，j 2i 2tr v ϖϖϖϖ-==∆∆2. 湖中一小船，岸边有人用绳子跨过高出水面h 的滑轮拉船，如图5所示。

如用速度V 0收绳，计算船行至离岸边x 处时的速度和加速度。

选取如图5所示的坐标，任一时刻小船满足：222h x l +=，两边对时间微分dt dx x dt dl l=，dt dl V 0-=，dtdxV = 022V xh x V +-=方向沿着X 轴的负方向。

5图方程两边对时间微分：xa V V 220+=，xV V a 220-=3220xh V a -=，方向沿着X 轴的负方向。

3. 质点沿X 轴运动，其加速度和位置的关系是)SI (x 62a 2+=。

如质点在x=0处的速度为1s m 10-⋅，求质点在任意坐标x 处的速度。

由速度和加速度的关系式：dt dv a =，dxdv v dt dx dx dv a == vdv adx =，vdv dx )x 62(2=+，两边积分，并利用初始条件：0x =，10s m 10v -⋅=vdv dx )x 62(v102x⎰⎰=+，得到质点在任意坐标x 处的速度：25x x 2v 3++=练习二 曲线运动和相对运动一、 选择题1. 【 B 】2.【 D 】3. 【 C 】4.【 B 】 二、填空题其速度j t 5cos 50i t 5sin 50v ϖϖϖ+-=；其切向加速度0a =τ；该质点运动轨迹是100y x 22=+。

2.标量值dv dt 是否变化：变化；矢量值dtvd ϖ是否变化：不变；a n 是否变化：变化(A) 轨道最高点A 的曲率半径g )cos v (20A θρ=，落地点B 的曲率半径θρcos g v 2B =。

3.(1) 0a ,0a n t ≠≠：变速曲线运动(2) 0a ,0a n t =≠：变速直线运动， a a t n ,分别表示切向加速度和法向加速度。

4. A 点处的切向加速度g a t =，小球在B 点处的法向加速度g 2a n =。

三、计算题1. 如图3，一质点作半径R=1m 的圆周运动， t=0时质点位于A 点，然后顺时针方向运动，运动方程)SI (t t s 2ππ+=求： (1) 质点绕行一周所经历的路程、位移、平均速度和平均速率；(2) 质点在1秒末的速度和加速度的大小。

(1) 质点绕行一周所需时间：R 2t t 2πππ=+，s 1t =质点绕行一周所经历的路程：)m (2R 2s ππ==位移：0r =ϖ∆；平均速度：0tr v ==∆∆ϖϖ 3图平均速率：s /m 2tsv π∆==(2) 质点在任一时刻的速度大小：ππ+==t 2dtdsv 加速度大小：22222n )dtdv ()R v (a a a +=+=τϖ 质点在1秒末速度的大小： )s /m (3v π=加速度的大小：222)2()9(a ππ+=ϖ，)s /m (96.88a 2=ϖ2. 如图4，飞机绕半径r=1km 的圆弧在竖直平面内飞行，飞行路程服从)m (t 50)t (s 3+=的规律，飞机飞过最低点A 时的速率1A s m 192v -⋅=，求飞机飞过最低点A 时的切向加速度a t ，法向加速度n a 和总加速度ϖa 。

飞机的速率：dtds v =，2t 3v =，加速度：ττˆa n ˆa a n +=ϖ， t 6dt dv a ,r t 9v a 42n ====τρ 飞机飞过最低点A 时的速率：1A s m 192v -⋅=，s 8t =224n s /m 00.48t 6a ,s /m 86.36rt 9a ====τ，加速度：n 86.3648a ϖϖϖ+=τ3. 有架飞机从A 处向东飞到B 处，然后又向西飞回到A 处。

已知气流相对于地面的速率为u ， AB 之间的距离为l ，飞机相对于空气的速率v 保持不变。

(1) 如果u=0(空气静止)，试证明来回飞行的时间为v /l 2t 0=；(2) 如果气流的速度向东，证明来回飞行的时间为)vu 1/(t t 2201-=；(3) 如果气流的速度向北，证明来回飞行的时间为2202vu 1/t t -=(1)如果：0u =，飞机来回的速度均为v ，来回的飞行时间：v l t /20=(2)如果气流的速度向东，飞机向东飞行时的速度：u v v 1+=，飞机向西飞行时的速度：u v v 2-=，来回飞行的时间：uv l u v l t 1-++=，)v u 1/(t t 2201-= (3)如果气流的速度向北，飞机向东飞行的速度：221u v v -=，飞机向西飞行的速度221u v v -=，来回飞行的时间：22222uv lu v l t -+-=，2202v u 1/t t -=大小：y 2y 2x a a a a =+=ϖ，2x y s /m 18v 6a ==，2s /m 18a =ϖ，方向沿Y 轴方向。

4图练习三 牛顿运动定律一、 选择1. 【 B 】2.【 B 】3. 【 C 】4.【 C 】二 填空题1.(1) 0a ,0a B A == (2) 0a ,0a B A == (3) 2B 2A s /m 9.9a ,s /m 05.0a ==2. Rmt 16F 2n =，(设小车的质量为m )。

3木箱的速度大小为4m/s ；在t=7s 时，木箱的速度大小为2.5 m/s 。

( g=10 m/s 2 )。

4.则B 推A 的力等于2N 。

如用同样大小的水平力从右边推A ，则A 推B 的力等于1N二、计算题1. 倾角为θ的三角形木块A 放在粗糙地面上，A 的质量为M ，与地面间的摩擦系数为μ、A 上放一质量为m 的木块B ，设A 、B 间是光滑的。

(1) 作出A 、B 的示力图；(2) 求B 下滑时，μ至少为多大方能使A 相对地面不动。

* 解：研究对象为物体A 和物体B ，受力分析如图所示，选取斜面向下为坐标正方向，水平方向向右为坐标正方向，写出两个物体的运动方程物体B ：ma sin mg =θ和0cos mg N =-θ，θcos mg N =物体A ：0T sin N =-μθ和0cos N Mg T =--θ，两式消去T ，将θcos mg N =代入0)cos N Mg (sin cos mg =+-θμθθ，0)cos mg Mg (sin cos mg 2=+-θμθθ所以：θθθμ2cos m M cos sin m +≥2. 一根匀质链条，质量为m ，总长度为L ，一部分放在光滑桌面上，另一部分从桌面边缘下垂，长度为a ，试求当链条下滑全部离开桌面时，它的速率为多少？(用牛二定律求解)。

解：选取向下为坐标正方向，将整个链条视为一个系统，当链条下落距离x 时，写出牛顿运动方程dt dv m xg L m =，dx dv mv xg L m =，vdv xdx L g=，vdv xdx L g vL a ⎰⎰= 当链条下滑全部离开桌面时，它的速率为L /)a L (g v 22-=3. 质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向。

大小与速度大)1(计算题小成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求: (1) 子弹射入沙土后，速度的大小随时间变化的函数式(2) 子弹进入沙土的最大深度。

* 根据题意，阻力kv f -=，写出子弹的运动微分方程：dt dvm kv f =-=，应用初始条件得到：t m k0e v v -=从dt dv m kv =-变换得到：v dsdvm kv =-，mdv kds =-，应用初始条件，两边积分得到)v v (kms 0-=，当子弹停止运动：0v =，所以子弹进入沙土的最大深度：0max v k m x =6图 练习四 功和能一、 选择题1. 【 C 】2. 【 D 】3. 【 C 】4. 【 B 】 二、 填空题1. (1) 卫星的动能为R 6GmM ； (2) 卫星的引力势能为R3GmM-。

2． (A) 重力做功：)l l (mg 0-； (B) 重力势能的增量：)l l (mg 0--。

(C) 弹性势能的增量：20)l l (k 21-；(D) 弹性力所做的功：20)l l (k 21--。

3． m N 4.42W ⋅-=。

4.木块A 的速度大小为 1A BF t m m ⋅∆+, 木块B 的速度大小为 12F t A BBF t m m m ⋅∆⋅∆++ .二、计算题1．如图6所示装置，光滑水平面与半径为R 的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块A ，B 的质量均为m ，弹簧的倔强系数为k ，其一端固定在O 点，另一端与滑块A 接触。

开始时滑块B 静止于半圆环轨道的底端，今用外力推滑块A ， 使弹簧压缩一段距离x 后再释放，滑块A 脱离弹簧后与B 作完全弹性碰撞，碰后B 将沿半圆环轨道上升。

升到C 点与轨道脱离，O’C 与竖直方向成ο60=α角，求弹簧被压缩的距离x 。

* 过程一，弹簧力做功等于物体A 动能的增量：21A 2mv 21kx 21=，得到：x mk v 1A =过程二，物体A 和物体B 发生弹性碰撞，动量守恒和动能守恒2B 2A 1A mv mv mv +=，2B 22A 21A 2mv 21mv 21mv 21+=，得到：x mk v v 1A 2B ==过程三，物体B 做圆周运动，在C 点脱离轨道满足的条件：R v m cos mg N 23B =+α0cos mg Rv m N 23B=-=α，得到：αcos gR v 3B =根据动能定理：重力做的功等于物体B动能的增量：2B 23B 2mv 21mv 21)cos 1(mgR -=+-α将αcos gR v 3B =和x mkv 2B =代入得到：K 2mgR 7x =2. 设两粒子之间的相互作用力为排斥力f ，其变化规律为3rkf =，k 为常数，r 为二者之间的距离，试问: (1) f 是保守力吗？ 为什么？ (2) 若是保守力，求两粒子相距为r 时的势能。