因此 ，即 ．
（2）由于弹簧并联，所以
F=F1+F2，x = x1=x2，
因此kx=k1x1+k2x2，即k = k1+k2．
2.8质量为m的物体，最初静止于x0，在力 (k为常数)作用下沿直线运动．证明物体在x处的速度大小v= [2k(1/x– 1/x0)/m]1/2．
[证明]当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程
（1）它们串联起来时，总倔强系数k与k1和k2．满足关系关系式 ；
（2）它们并联起来时，总倔强系数k = k1+k2．
[解答]当力F将弹簧共拉长x时，有F=kx，其中k为总倔强系数．
两个弹簧分别拉长x1和x2，产生的弹力分别为
F1=k1x1，F2=k2x2．
（1）由于弹簧串联，所以
F=F1=F2，x = x1+x2，
[解答]（1）角速度为
ω =dθ/dt= 12t2= 48(rad·s-1)，
法向加速度为
an= rω2= 230.4(m·s-2)；
角加速度为
β =dω/dt= 24t= 48(rad·s-2)，
切向加速度为
at= rβ= 4.8(m·s-2)．
（2）总加速度为a =(at2+ an2)1/2，
当at= a/2时，有4at2= at2+ an2，即
[解答]质点在斜上运动的加速度为a = gsinα，方向与初速度方向垂直．其运动方程为
x = v0t， ．
将t = x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为
，
这是抛物线方程．
2.4如图所示：已知F= 4N，m1=0.3kg，m2=0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为0.2．求质量为m2的物体的加速度及绳子对它的拉力．（绳子和滑轮质量均不计）
由于v =dx/dt，所以
积分 ．
因此 ．证毕．
1.5一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ= 2 + 4t3．求：
（1）t= 2s时，它的速度大小的一半时，θ为何值？
（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
[解答]在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为
；
螺帽做竖直上抛运动，位移为
．
由题意得h=h1- h2，所以
，
解得时间为
= 0.705(s)．
算得h2=-0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m．
[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为
F = mgtgθ．
珠子做圆周运动的半径为
r = Rsinθ．
根据向心力公式得
F = mgtgθ = mω2Rsinθ，
可得
，
解得 ．
2.13如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F= -kx，而位移x=Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t= 0到t= π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．
方法一：利用直角三角形．根据直角三角形得
v1=v2sinθ+v3sinα，
其中v3=v⊥/cosα，而v⊥=v2cosθ，
因此v1=v2sinθ+v2cosθsinα/cosα，
第二章质点力学的基本定律
2.1一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度 运动， 的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
[解答]建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为
v0x=v0cosθ，
v0y=v0sinθ．
加速度的大小为
ax=acosα，
ay=asinα．
运动方程为
，
．
即 ，
．
令y= 0，解得飞机回到原来高度时的时间为
t= 0（舍去）； (s)．
将t代入x的方程求得x=9000m．
1.8一升降机以加速度1.22m·s-2上升，当上升速度为2.44m·s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算：
．
由此得 ，
即 ，
解得 ．
所以
=3.154(rad)．
（3）当at= an时，可得rβ=rω2，
即24t= (12t2)2，
解得t= (1/6)1/3= 0.55(s)．
1.6一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v=300m·s-1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a= 20 m·s-2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？
利用v= dx/dt，可得
，
因此方程变为
，
积分得
．
利用初始条件，当x=x0时，v= 0，所以C= -k/x0，因此
，
即 ．证毕．
2.12如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．
1.10如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v2．今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？
[解答]雨对地的速度 等于雨对车的速度 加车对地的速度 ，由此可作矢量三角形．根据题意得tanα=l/h．
第一章质点运动学
1.4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt= -kv2，k为常数．
（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为 ；
（2）试证在时间t内，船行驶的距离为 ．
[证明]（1）分离变量得 ，
积分 ，
可得 ．
（2）公式可化为 ，
[解答]利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为a2=2a1，而力的关系为T1= 2T2．
对两物体列运动方程得
T2- μm2g=m2a2，
F – T1– μm1g=m1a1．
可以解得m2的加速度为
= .78(m·s-2)，
绳对它的拉力
= 1.35(N)．
2.7两根弹簧的倔强系数分别为k1和k2．求证：
[解答]方法一：利用冲量公式．根据冲量的定义得
dI = Fdt= -kAcosωtdt，
积分得冲量为
，
2.15用棒打击质量0.3kg，速率等于20m·s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？