全国名校高考数学专题训练05平面向量（解答题）1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)关于实数x 的不等式22211|(1)|(1)3(1)2(31)022x a a x a x a -+≤--+++≤与的解集依次为A 与B ，求使A B ⊆的a 的取值范围。
解：由2211|(1)|(1)22x a a -+≤-得 222111(1)(1)(1)222a x a a --≤-+≤- }{2|21A x a x a ∴=≤≤+由23(1)2(31)0x a x a -+++≤得 [](2)(31)0x x a --+≤当312a +≥即13a ≥时得}{|231B x x a =≤≤+ 当32a a +<即13a <时得}{|312B x a x =+≤≤ 综上解述：当13a ≥时若A B ≤则 222131a a a ≤⎧⎨+≤+⎩ 解得13a ≤≤ 当13a <时若A B ⊆则 231212a a a +≤≤+≤解得1a =-a 的范围是{|13a a ≤≤或}1a =-2、(江苏省启东中学高三综合测试四)某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n 次进货，每次购买元件的数量均为x ，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为x 21件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？ 解：设购进8000个元件的总费用为S ，一年总库存费用为E ，手续费为H ． 则n x 8000=，nE 8000212⨯⨯=，n H 500= 所以S=E+H=x x 8000500212⨯+⨯C =n n5008000+ =4000)16(500≥+n n\ 当且仅当n n =16，即n=4时总费用最少，故以每年进货4次为宜．\ 3、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)如图，公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.（1）设AD ＝x （x≥0），ED ＝y ，求用x 表示y 的函数关系式；（2）如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 解：（1）在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE 2－2x·AE·cos60°⇒y 2＝x 2＋AE 2x·AE,①又S △ADE ＝21 S △ABC ＝23a 2＝21x·AE·sin60°⇒x·AE ＝2.② ②代入①得y 2＝x 2＋22()x －2（y ＞0）, ∴y 1≤x≤2）. （2）如果DE是水管y=当且仅当x 2＝24x，即x ＝2时“＝”成立，故DE ∥BC ，且DE ＝2. 如果DE 是参观线路，记f （x ）＝x 2＋24x ，可知 函数在[1，2]上递减，在[2，2]上递增，故f （x ） max ＝f （1）＝f （2）＝5. ∴y max=即DE 为AB 中线或AC 中线时，DE 最长.4、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)已知()f x 是R 上的单调函数，且对任意的实数a R ∈，有()()0f a f a -+=恒成立，若(3)2f -=①求证：()f x 是R 上的减函数；②解关于x 的不等式：()()0,0m x f f m m R m x-+<∈>其中且 解：①()()sin x f x π=+；②12原式＝； 18.①由()f x 是R 上的奇函数，(0)0f ∴=，又因()f x 是R 上的单调函数，由(3)2,(0)(3)f f f -=<-，所以()f x 为R 上的减函数。
②当1m >时，{}0,1mx x x m ><-或； 当1m =时，{}0x x >当01m <<时，{}01m x x m <<-。
5、(山东省博兴二中高三第三次月考)为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架. 三角形支架形状如图，要求060=∠ACB ，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米. 为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？且当AC 最短时，BC 长度为多少米？解：如图，设BC 的长度为x 米，AC 的长度为y 米，则AB 的长度为（y －0.5）米. 在△ABC 中，依余弦定理得：ACB BC AC BC AC AB ∠∙-+=cos 2222 -------（4分） 即212)5.0(222⨯-+=-yx x y y 化简，得41)1(2-=-x x y ∵1>x ，∴01>-x 因此1412--=x x y ------------------（6分） 方法一：232)1(43)1(1412+≥+-+-=--=x x x x y . --------------------（10分） 当且仅当)1(431-=-x x 时，取“=”号，即231+=x 时，y 有最小值32+.方法二：2222/)1(412)1()41()1(2-+-=----=x x x x x x x y x -----------------（9分） 解⎪⎩⎪⎨⎧=+->041212x x x ，得231+=x -------------------（11分） ∵当2311+<<x 时，0/<x y ；当231+>x 时，0/>x y . ∴当231+=x 时，y 有最小值32+. 6、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)某化工集团在靠近某河流修建两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为500万立方米/天，在两个化工厂之间还有一条流量为200万立方米/天的支流并入大河（如图）。
第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水2万立方米；第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万立方米，从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前，有20%可自然净化。
环保要求：河流中工业废水的含量应不大于0.2%，因此，这两个工厂都需各自处理部分的工业废水，第一化工厂处理工业废水的成本是1000元/万立方米，第二化工厂处理工业废水的成本是800元/万立方米。
试问：在满足环保要求的条件下，两个化工厂应各自处理多少工业废水，才能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小？解：设第一化工厂每天处理工业废水x 万立方米， 需满足：.20%,2.05002≤≤≤-x x …………2分 设第二化工厂每天处理工业废水y 万立方米， 需满足：.4.10%,2.0700)4.1()2(8.0≤≤≤-+-y y x …………4分两个化工厂每天处理工业废水总的费用为1000x ＋800y 元。
问题即为：在约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤-+-≤-4.1020,%2.0700)4.1()2(8.0%2.05002y x y x x 下 求目标函数)45(200y x z +=的最小值。
7、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)如C DN P图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |＝3米，|AD |＝2米，（1） 要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ （2） 若|AN| [3,4)∈（单位：米），则当AM 、AN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积．解：设AN 的长为x 米（x >2）∵|DN||DC||AN||AM|=，∴|AM |＝32x x - ∴S AMPN ＝|AN |•|AM |＝232x x - ------------------------------------- 4分 （1）由S AMPN > 32 得 232x x - > 32 ，∵x >2，∴2332640x x -+>，即（3x －8）（x －8）> 0 ∴8283x x <<> 或 即AN 长的取值范围是8(2)(8)3∞，，+----------- 8分（2）令y ＝232x x -，则y ′＝2226(2)334)(2)(2)x x x x x x x ---=--（ -------------- 10分 ∵当[3,4)x ∈，y ′< 0，∴函数y ＝232x x -在[3,4)上为单调递减函数， ∴当x ＝3时y ＝232x x -取得最大值，即max ()27AMPN S =（平方米） 此时|AN |＝3米，|AM |＝33932⨯=-米 8、(广东省深圳外国语学校2008届第三次质检)据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x (x ＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a 元（a ＞0）。
（I ）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围；（II ）在（I ）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大。
解：（I ）由题意得（100-x ）·3000·（1+2x%）≥100×3000，即x 2－50x ≤0，解得0≤x ≤50， ……………………4分又∵x ＞0 ∴0＜x ≤50； ……………………6分 （II ）设这100万农民的人均年收入为y 元，则y= (100－x )×3000×(1+2x %)+3000ax 100 = －60x 2+3000(a +1)x +300000100=－35[x －25(a +1)]2+3000+475(a +1)2 (0<x ≤50) ………………9分 （i ）当0<25(a +1)≤50，即0＜a ≤1，当x=25(a +1)时，y 最大； ………………11分 （ii ）当25(a +1)＞50，即a ＞1，函数y 在（0,50]单调递增，∴当x=50时，y 取最大值。
…………13分答：在0＜a ≤1时，安排25(a +1)万人进入企业工作，在a ＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大 ………………14分9、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知函数()log (1)a f x x =+，点P 是函数()y f x =图像上任意一点，点P 关于原点的对称点Q 的轨迹是函数()y g x =的图像（1）当01a <<时，解关于x 的不等式2()()0f x g x +≥；（2）当1a >，且[0,1)x ∈时，总有2()()f x g x m +≥恒成立，求m 的取值范围. 解：由题意知：P 、Q 关于原点对称，设Q （x,y ）是函数y=g(x)图像上任一点，则P （-x,-y ）是f(x)=log a (x+1)上的点，所以-y=log a (-x+1)，于是g(x)=-log a (1-x).(1)0<a<1,2()()0f x g x +≥ 2101010(1)1x x x x x ⎧+>⎪⇔->⇔-<≤⎨⎪+≤-⎩{}01a ∴<<≥≤时,不等式2f(x)+g(x)0解集为:x -1<x 0(2)[)2()()2log (1)log (1) 1.0,1a a y f x g x x x a x =+=+-->∈当时[)2(1)2()()1x f x g x m m x++≥∈≥-a 恒成立,即在x 0,1时,log 恒成立 22(1)(1):log log 11m m a a x x a a x x++≥∴≤--即恒成立 设2(1)4()(1)4,0110,11x x x x x x xϕ+==-+-≤<∴->-- (][)(]4(1)2,011()1x x x x ϕ-++∞<-≤∴-可证在0,2且在在0,1 0min ()1,1,0m x a a m ϕ∴=∴≤=∴≤10、设有关于x 的不等式()a x x >-++73lg （1）时，解此不等式当1=a （2）当a 为何值时，此不等式的解集为R （本题满分12分）解：()11a =时，不等式可化为3710x x ++->…………………………… 2分 由371037x x x x ++->⇒<->或……………………………………………..4分 {}37x x x ∴<->解集为或…………………………………………………………5分 ()23710,x x ++-≥…………………………………………………………….7分欲使()a x x >-++73lg 恒成立，即3710ax x ++->恒成立，只须1010a <即可⇒1a <……………………………………………………….. 10分11、为贯彻落实党的十七大精神,加快新农村建设步伐,红星镇政府投资c 万元生产甲乙两种商品,据测算,投资甲商品x 万元,可获得利润P=x 万元,投资乙商品x 万元可获得利润Q=40x 万元，如果镇政府聘请你当投资顾问，试问对甲乙两种商品的资金投入分别是多少万元？才能获得最大利润,获得最大利润是多少万元？解：设对甲厂投入x 万元（0≤x ≤c ）,则对乙厂投入为c —x 万元．所得利润为y=x+40x c -（0≤x ≤c ） ……………………（3分）令x c -=t （0≤t ≤c ）,则x=c －t 2 ∴y=f （t ）=－t 2+40t+c=－（t —20）2+c+400……………………（6分）当c ≥20,即c ≥400时,则t=20, 即x=c —400时, y max =c+400… （8分）当0<c <20, 即0<c<400时,则t=c ,即x=0时,y max =40 c ．…（10分）答：若政府投资c 不少于400万元时,应对甲投入c —400万元, 乙对投入400万元,可获得最大利润c+400万元．政府投资c 小于400万元时,应对甲不投入,的把全部资金c 都投入乙商品可获得最大利润40c 万元．…（12分）12、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)某小型自来水厂的蓄水池中存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入自来水60吨，若蓄水池向居民不断的供水，且t 小时内供水总量为210·)240(63≤≤t t 吨。