第一章．原子的基本状况1. 若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭C'放射的，其动能为7.68×106电子伏特.散射物质是原子序数Z=79的金箔.试问散射角θ=1500所对应的瞄准距离b 多大？解：根据卢瑟福散射公式：222cot42Mv b Zeθπε= 而动能212k E mv =则20222cot442k E Mv b b Ze Zeθπεπε== 由此，瞄准距离为20cot 24kZe b E θπε=其中：79Z =12-1-108.854210A s V m ε-=⨯⋅⋅⋅191.6021910e C -=⨯0150θ=, 0cotcot 750.26802θ==3.14159π=6197.687.6810 1.6021910k E MeV J -==⨯⨯⨯得到：219215022126190cot 79(1.6021910)cot 4(4 3.141598.854210)(7.6810 1.6021910)k Ze b m E οθπε---⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯153.969710m -=⨯2.已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为2202121()(1)4sin mZe r Mv θπε=+,试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？解：2min202121()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 2min0211()(1)4sin k Ze r E θπε=+ 其中，0150θ=, 0sinsin 750.965932θ==把上题各参数代入，得到192min12619179(1.6021910)1(1)4 3.141598.8542107.6810 1.60219100.96593r m ---⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯143.014710m -=⨯4. 钋放射的一种α粒子的速度为71.59710⨯米/秒，正面垂直入射于厚度为710-米、密度为41.93210⨯3/公斤米的金箔。
试求所有散射在90οθ>的α粒子占全部入射粒子数的百分比。
已知金的原子量为197。
解：散射角在θ和d θθ+之间的α粒子数dn 与入射到箔上的总粒子数n 的比是：dnNtd nσ=其中，N 为金箔单位体积内原子个数，t 金箔的厚度，d σ有效散射截面. 单个原子的质量为：3252319710 3.2713106.0221710Aum kg kg --⨯==⨯⨯ N 为金箔单位体积内原子数：43283251.93210/ 5.905910/3.271310Aukg m N m m kgρ-⨯===⨯⨯ 而散射角大于090的粒子数'dn 为：2'dn dn nNt d ππσ=⎰=⎰所以有：2'dn Nt d nππσ=⎰2221802903cos122()()4sin 2Ze Nt d Mv οοθπθθπε=⎰ 积分：180********3cos sin 2221sin sin 22d d οοοοθθθθθ⎰=⎰=故'2222012()()4dn Ze Nt n Mvππε= α粒子的质量为4倍氢原子的质量272744 1.6736710 6.694710H M M kg kg --==⨯⨯=⨯已知α粒子的速度为：71.59710/v m s =⨯取12-1-108.854210A s V m ε-=⨯⋅⋅⋅191.602210e C -=⨯3.1416π=则'2222012()()4dn Ze Nt n Muππε= 192287212227721279(1.602210)5.90591010 3.1416[](4 3.14168.854210) 6.694710(1.59710)----⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯648.4570108.457010%--=⨯=⨯即速度为71.59710/⨯米秒的α粒子在金箔上散射，散射角大于90ο以上的粒子数占总粒子数的408.457010-⨯.1.7能量为3.5兆电子伏特的细α粒子束射到单位面积上质量为221.0510/-⨯公斤米的银箔上，α粒子与银箔表面成ο60角. 在离α入射线成020θ=的方向上，离银箔散射区距离L=0.12米处放一窗口面积为25100.6米-⨯的计数器. 测得散射进此窗口的α粒子是全部入射α粒子的百万分之29. 若已知银的原子量为107.9。
试求银的核电荷数Z. (有兴趣的同学可以看一下)解：设靶厚度为't . 非垂直入射时引起α粒子在散射物质中通过的距离不再是散射物质的厚度't ，而是ο60sin /'t t=，如图1.1所示.因为散射到θ与dnn=而σd 为：σ=d 把(2)式代入(1)2sin)()41(422220θπεΩ=d Mv Ze Nt n dn ……(3) 式中立体角元0'0'220,3/260sin /,/====Ωθt t t L ds d代入已知数据：25100.6米-⨯=ds米12.0=L则3252101667.412.0100.6--⨯=⨯==ΩL ds d 设N 为单位体积内原子的个数。
则'Nt 为单位面上的原子数， 一个银原子的质量为：2523107.9 1.7917106.0221710Ag Ag A m g kg N -===⨯⨯Ag m 是银原子的质量；Ag A 是银原子的原子量；0N 是阿佛加德罗常数。
根据已知条件，银箔单位面积上的质量为：22/100.1m kg -⨯=η则2222522'/105813.5107917.1/100.1/m kgm kg m Nt Ag⨯=⨯⨯==--η， 将各量代入(3)式，得：2sin )()41(105813.53242222022θπεΩ⨯⨯⨯=d Mv Ze n dn α粒子的动能为：221Mv E k =则2sin )2()41(105813.5324222022θπεΩ⨯⨯⨯=d E Ze n dn k 代入数据J Mev E k 196106022.1105.35.3-⨯⨯⨯==12-1-108.854210A s V m ε-=⨯⋅⋅⋅191.602210e C -=⨯3.1416π=020θ=, 0sinsin102θ==0.17375109.2-⨯=ndn得到432196219212225)1737.0(101667.4]100622.1105.32)100622.1([)108542.81416.341(105813.532109.2-----⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯Z 由此，求得：Z=48.1992，约等于实际值47.第二章 原子的能级和辐射1. 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度.解：电子在第一玻尔轨道上即n=1. 根据量子化条件，πφ2hnmvr p == (1)当n=1时，电子在最小半径轨道上. 最小轨道半径1a 为：210012240.5292104h a m meπεπ-==⨯上式中： 真空介电常数：12-1-108.854210A s V m ε-=⨯⋅⋅⋅普朗克常数：346.626210h J s -=⨯⋅电子静质量：319.1095610m kg -=⨯电子电荷：191.6021910eC -=⨯3.141593π=设电子在第一波尔轨道上的速度为v ，由(1)式有π21h mva =(2)12ma h v π==3431106.626210/2 3.1415939.10956100.529210m s ---⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 62.188510/m s =⨯频率: z a v H 105292.0141593.32101885.221061-⨯⨯⨯⨯==πν z H 105818.615⨯=加速度：21026122/105292.0)101885.2(s m a v r v w -⨯⨯===222/100505.9s m ⨯=2. 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势.解：电离能为1E E E i -=∞，把氢原子的能级公式2/n Rhc E n -=代入，得：hc R hc R E H H i =∞-=)111(2代入数据：711.096775810H R m -=⨯346.626210h J s -=⨯⋅82.997910/c m s =⨯得到：J Rhc E i 8347109979.2106262.6100967758.1⨯⨯⨯⨯⨯==-182.178710J -=⨯取电子电荷：191.6021910eC -=⨯电离电势：V e E V i i 19181060219.1101787.2--⨯⨯== V 60.13=第一激发能：J Rhc hc R E H 18221101787.24343)2111(⨯⨯==-=J 18104360.1⨯=第一激发电势：V e E V 1918111060219.1104360.1--⨯⨯== V 20.10=3. 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能级跃迁时，会出现哪些波长的光谱线？解：把氢原子由基态激发到你n=2,3,4……等能级上去所需要的能量是：)111(22nhcR E H -= 其中60.13=H hcR 电子伏特20.10)211(60.1321=-⨯=E 电子伏特09.12)311(60.1322=-⨯=E 电子伏特75.12)411(60.1323=-⨯=E 电子伏特其中21E E 和小于12.5电子伏特，3E 大于12.5电子伏特。
可见，具有12.5电子伏特能量的电子不足以把基态氢原子激发到4≥n 的能级上去，所以只能出现3≤n 的能级间的跃迁。
跃迁时可能发出的光谱线的波长为：οοολλλλλλAR R AR R AR R HH HH H H 102698)3111(1121643)2111(1656536/5)3121(1322322221221==-===-===-=上面各式子中取711.096775810HR m -=⨯.4. 试估算一次电离的氦离子+He 、二次电离的锂离子++Li的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值 (三种情况里德伯常数都取R ∞).解：(1). 氢原子和类氢离子的轨道半径：31,2132,1,105292.0443,2,1,4410222012122220=======⨯==⋯⋯===+++++++++-Li H H Li He H HHe Z Z r r Z Z r r Z Li Z He Z H Z me h a n Z n a mZen h r 径之比是因此，玻尔第一轨道半；，；对于；对于是核电荷数，对于一轨道半径；米，是氢原子的玻尔第其中ππεππε(2). 氢和类氢离子的能量公式：⋯⋯==-=3,2,1,)4(22212220242n nZ E h n Z me E πεπ其中基态能量。