MED CBA等腰三角形一、选择题1. 如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32（B ）33（C ）34（D ）362. 如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个3. 如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是A ．15cmB ．16cmC ．17cmD ．16cm 或17cm 二、填空题1. 边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________.2. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .3. 在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为 ．4. 已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80º ，则∠EGC 的度数为5. 如图6，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 的角平分线交BC 边于点D ，AB=5，BC=6，则AD=_______.6．如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。
7. 如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝ 度．三、解答题1. 如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC ，将△DEF 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE ，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G ，H 点，如图(2)（1）问：始终与△AGC 相似的三角形有 及 ；（2）设CG=x ，BH=y ，求y 关于x 的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由） （3）问：当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形.题1图(1)B HFA （D ）GCEC （E ）BFA （D ）题1图(2)2、如图 AB =AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 与CD 相交于点O ． (1)求证AD =AE ；(2) 连接OA ，BC ，试判断直线OA ，BC 的关系并说明理由．3. 如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ．（1）求证：DE 平分∠BDC ； （2）若点M 在DE 上，且DC=DM ， 求证： ME=BD ．ABC EDO4. 如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．5. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D 在CB的延长线上，且ED=EC，如图．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB （填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．等腰三角形答案一、选择题 BDD二、填空题 1、3√3 2、4或6 3、-------- 4、80 5、4 6、80 7、15 三、解答题1. 1（2011广东东莞，21，9分）【答案】解：（1）△HAB ，△HGA 。
（2）∵△AGC ∽△HAB ，∴AC GCHB AB =，即9=9x y 。
∴81=y x 。
又∵BC=229992092<x <+=∴ ，。
∴y 关于x 的函数关系式为()81=092y <x <x。
（3）①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图1， 可知9222BC x CG ===。
②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图2，在△HGA 和△AGC 中 ∵∠AGH=∠CGA ，∠GAH=∠C=450，∴△HGA ∽△AGC 。
∵AG=AH ，∴9x CG AC === ∴当922x =或9x =时，△AGH 是等腰三角形。
【考点】三角形外角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，几何问题列函数关系式，等腰三角形的判定。
【分析】（1）在△AGC 和△HAB 中，∵∠AGC=∠B+∠BAG=∠B+900—∠GAC=1350—∠GAC ，∠BAH=∠BAC+∠EAF —∠EAC=900+450—∠GAC ，∴∠AGC=∠BAH 。
又∵∠ACG=∠HBA=450，∴△AGC ∽△HAB 。
在△AGC 和△HGA 中，∵∠CAG=∠EAF —∠CAF=450—∠CAF ，∠H=1800-∠ACH —∠CAH=1800—1350—∠CAF=450—∠CAF ， ∴∠CAG=∠H 。
又∵∠AGC=∠HGA ，∴△AGC ∽△HGA 。
（2）利用△AGC ∽△HAB 得对应边的比即可得。
（3）考虑∠GAH 是等腰三角形.底角和顶角两种情况分别求解即可。
2、（2011山东德州19,8分）（1）证明：在△ACD 与△ABE 中，∵∠A =∠A ，∠ADC =∠AEB =90°，AB =AC ，∴ △ACD ≌△ABE ．∴AD=AE ． (2) 互相垂直 在Rt △ADO 与△AEO 中， ∵OA=OA ，AD=AE ，∴ △ADO ≌△AEO ． ∴ ∠DAO =∠EAO ．即OA 是∠BAC 的平分线． 又∵AB =AC ，∴ OA ⊥BC ．ABEC DO3、（2011山东日照，23，10分） 证明：（1）在等腰直角△ABC 中，∵∠CAD =∠CBD =15o ，∴∠BAD =∠ABD =45o -15o =30o ，∴BD=AD ，∴△BDC ≌△ADC ， ∴∠DCA =∠DCB =45o ．由∠BDM =∠ABD+∠BAD =30o +30o =60o ，∠EDC=∠DAC +∠DCA =15o +45o =60o ， ∴∠BDM =∠EDC ，∴DE 平分∠BDC ；（2）如图，连接MC ，∵DC=DM ，且∠MDC =60°，∴△MDC 是等边三角形，即CM=CD ． 又∵∠EMC =180°-∠DMC =180°-60°=120°，∠ADC =180°-∠MDC =180°-60°=120°， ∴∠EMC =∠ADC ．又∵CE=CA ，∴∠DAC =∠CEM =15°，∴△ADC ≌△EMC ，∴ME=AD=DB ．4、（2011湖北鄂州，18，7分）【解题思路】连结BD ，证△BED ≌△CFD 和△AED ≌△BFD ，得BF=4，BE=3，再运用勾股定理求得EF=22BE BF +=5【答案】连结BD ，证△BED ≌△CFD 和△AED ≌△BFD ，求得EF=5【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形全等的判定和性质和勾股定理。
只要抓住等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定，解决起来并不困难。
5、（2011•绍兴）考点：全等三角形判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形判定与性质。
专题：计算题；证明题；分类讨论。
分析：（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠DEB=30°，推出DB=BE=AE 即可得到答案； （2）作EF ∥BC ，证出等边三角形AEF ，再证△DBE ≌△EFC 即可得到答案；（3）分为两种情况：一是如上图在AB 边上，在CB 的延长线上，求出CD=3，二是在BC 上求出CD=1，即可得到答案． 解答：解：（1）故答案为：=． （2）故答案为：=．证明：在等边△ABC 中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC ， ∵EF ∥BC ，∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC ，∴AE=AF=EF ，∴AB ﹣AE=AC ﹣AF ，即BE=CF ， ∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°， ∵ED=EC ，∴∠EDB=∠ECB ，∴∠BED=∠FCE ，∴△DBE ≌△EFC ，∴DB=EF ，∴AE=BD ． （3）答：CD 的长是1或3．点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．。