y
1
x
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表
示,则它们的函数关系式将是:
y
x
定义
一般地,函数y x叫做幂函数,其中x是自变量,
是常数.
几点说明:
1、y x中x 前面的系数为1,并且后面没有常数项.
2、 定义域不固定， 与的值有关.
幂函数与指数函数的对比
式子 a
指数函数: y=a x 底数
所以f (x1) f (x2),即幂函数f (x) x在[0,]上的增函数.
小结
一. 定 义 二. 图 象 三. 性 质 四. 应 用
这个是幂函数
1.在函数y x2 , y 2x, y x2 x, y 1中,
哪几个是幂函数
2.已知幂函数y f (x)的图象过点(2, 2),
试求出这个函数的解析式.
解 : 设所求幂函数为y x ,
因为函数过点(2,
2), 所以
2
2
,
所以 log 2
2
log 2
1
22
1 2
1
故所求的幂函数为y x2 .
例3.证明幂函数f (x) x在[0,]上是增函数.
证明: 任取 x1, x2 [0,],且 x1x2,则
f (x1) f (x2)
x1
(
x2
x1
x2 )( x1
x1 x2
x2 )
x1 x2
方法技巧:分子有理化
x1 x2
因为x1x2, x1, x2 [0,],所以x1 x2 0, x1 x20,
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习2
1） 1.30.5＜ 1.50.5
2） 5.12 ＜ 5.092
1
1
3） 1.794 ＞ 1.814
4）
(2
a
2
)
2
3≤
2
23
检测提升
1、判断下列函数是否为幂函数
若是判断其定义域与奇偶性. 1
(1) y=x4
(4) y x 2
1 (2) y x 2
§2.3幂函数
学习目标
1、通过实例，了解幂函数的概念.
2、通过具体实例研究幂函数的图 象和性质.
3、掌握幂函数的简单应用.
1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需
要支付p=w元,这里p是w的函数; y x
(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
(1,1)
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
α 因函数式中 的不同而各异.
★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1).
★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)
并在(0,+∞)上为增函数.
α>1
0<α<1
★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在
(0,+∞)上为减函数.
α<0
合作探究：
幂函数在第一象限的图象 如何分布？
观察（一）
3 y x3 y x2
2
1
0
0
1
2
3
观察（二）
3
2
1
y x2
1
1
y x3
0
0
1
2
3
观察（三）
3
2
1
y x1
0
y x2
0
1
2
3
结论：幂函数图象在第一象限的分布情况：
1 0 1 0
例2. 利用单调性判断下列各值的大小。
图象
几个幂函数的性质:
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx R
R
奇函数 增函数 (0,0),(1,1)
y x2 y x3
1
y x2
y x1
R R
x0 x0
y0
R
偶函数 奇函数
(0,0),(1,1)
增函数 (0,0),(1,1)
y 0 非奇非偶 增函数 (0,0),(1,1)
y 0 奇函数
名称 x
指数
y
幂值
幂函数: y= x a 指数
底数
幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
例1:
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4
1 (2) y x2
1
(4) y x 2
(5) y=2x2
(3) y= -x2
(6) y=x3+2
P77练习 这个是幂函数
(5) y=2x2
(3) y= -x2
(6) y=x3+2
正确答案：(1)(2)(4)
2、
如果函数 f (x) (m2 m 1)xm22m3是幂函数，且在
区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实
数m的集合。
m2
舍去m 1
1）函数f(x)的图象与x、y轴不相交 （或与坐标轴无公共点）。
2）函数f(x)的图象不经过原点。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
(3) 2.5 5 与2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数
这里S是a的函数;
y x2
S
2
a
,
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V
这里V是a函数;
y
3
x
3
a
,
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的
s 边长a
1
2,
这里a是 S的函数;
1
y x2
(5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度
t v 1 km/ s, 这里v是t的函数.