函数的概念与性质 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】（八）函数的概念与性质【命题解读】考向1：函数的概念与性质（包括基本初等函数）分析定位：理解函数概念的核心是从运动与相互联系的角度理解两个变量之间的关系，定义域、值域与对应法则是函数的三要素，而单调性、奇偶性、对称性等是一个函数特有的性质，是认识函数的重要桥梁，特别是基本初等函数的性质，常成为命题的重要载体.例1（2015年全国Ⅰ卷第13题）若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = .分析：先转化成()ln(g x x =为奇函数，再联想到ln(y x =是奇函数进行解决.解：因为()ln(g x x =为奇函数，先从定义域入手，解02>++x a x 得x x a ->+2，若0>x ，则只需02≥+x a ；若0≤x ，则0>a ，否则无解； 所以0>a ，且()()ln 0g x g x a +-==，即1=a .总结：函数的概念与性质是必考知识点，考生要抓住它们的本质进行解题，当然还要了解一些特殊的函数如x x x f e e )(±=，11lg )(-+=x x x g 的性质. 考向2：函数的零点与方程的根分析定位：函数的零点与方程的根是考查函数与方程思想、数形结合思想的重要载体，常放在压轴位置进行考查.例2（2016年全国Ⅱ卷第12题）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，， ()22x y ，，，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m（D ）4m分析：先由)(2)(x f x f -=-得出函数)(x f 的对称性，再观察函数xx y 1+=的性质. 解：由)(2)(x f x f -=-得2)()(=+-x f x f ，即函数1)(-=x f y 的图像关于原点对称，所以)(x f 的图像关于点)1,0(对称；而xx x y 111+=+=的图像也关于点)1,0(对称， 所以)(x f 与xx y 1+=的交点关于点)1,0(对称，并且是成对出现的， 所以m my x y x mi i mi i mi i i =⨯+=+=+∑∑∑===220)(111. 总结：函数的交点、零点问题常放在选择题第12题考查，此时可能用函数本身的性质解决，也可能用导数工具解决，它们的共同之处就是都要考虑能否借助函数的图像进行解决.【备考启示】1.重视以函数的概念与性质为考点的试题，包括：（1）考查函数的概念与函数解析式；（2）考查函数的奇偶性、单调性与最值；（3）考查对函数基本性质的灵活运用.如：2013年全国Ⅰ卷第6题:如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为分（A（B（C析：当4π0<≤x 时递增，21)4π(=f ，然后减至0，再增，再减. 2.重视以基本函数为考点的试题，包括：（1）考查指数与对数的运算与性质；（2）考查指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质；（3）考查分段函数的图象与性质.如：2016年全国Ⅰ卷第8题：若0a b >>，01c <<，则（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <分析：通过考察幂函数c x y =（10<<c ）在),0(+∞上单调递增，则c c b a >，排除A ；又考察幂函数1-=c x y （10<<c ）在),0(+∞上单调递减，所以11--<c c b a ，即c c ab ba <，排除B ；又考察对数函数x y c log =（10<<c ）在),0(+∞上单调递减，所以b a c c log log <，但当01>>>b a 时，b a c c log log 0<<，所以c c b a log log >，排除D ，所以选C. 3.重视以函数的图像为考点的题目，包括（1）作图；（2）识图；（3）用图. 2009年全国卷第12题：用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值，设{}()min 2,2,10x f x x x =+-（0x ≥）,则()f x 的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72016年全国Ⅰ卷第7题：函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）分析：常用排除法（1）利用17.28e 8)2(22<-<-=±f ，排除A ，B ；（2）当0>x 时，x x y e 22-=，x x y e 4'-=，存在)1,0(0∈x ，使0)('0=x f ，0x x =是)(x f 的极小值点.【十年真题】（A ）组1．（2011年全国卷第2题）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=2.（2013年全国Ⅰ卷第3题）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（A ）)()(x g x f 是偶函数 （B ）)(|)(|x g x f 是奇函数 （C ）|)(|)(x g x f 是奇函数 （D ）|)()(|x g x f 是奇函数3．（2015年全国Ⅱ卷第5题）设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）124.（2008年海南宁厦卷第6题）已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i = 都成立的x 取值范围是 (A)11(0,)a (B)12(0,)a (C)31(0,)a (D)32(0,)a6.（2010年全国卷第4题）如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0(2,2)p -，角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（A ） （B ）（C ） （D ）5.（2010年全国卷第8题）设偶函数()f x 满足()38f x x =-（0x ≥），则(){}20x f x -=＞（A ）{}2x x x ＜-或＞4 （B ）{}0x x x ＜或＞4 （C ）{}0x x x ＜或＞6 （D ）{}2x x x ＜-或＞2 6.（2013年全国Ⅱ卷第8题）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则 （A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b c >> 7.（2013年全国Ⅰ卷第6题）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为8.（A（B（C（2012年全国卷第10题）已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为9.（2007年海南宁厦卷第14题(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = ．（2015年全国Ⅰ卷第13题）若函数2()ln()f x x x a x =++为偶函数，则a ＝ .11.（2017年全国Ⅰ卷第5题）函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足1)2(1-≤-≤x f 的x 的取值范围是（A ）[]22-， （B ）[]11-，（C ）[]04， （D ）[]13， 12.（2017年全国Ⅲ卷第15题）设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.（B ）组13.（2016年全国Ⅲ卷第6题）已知342=a ，524=b ，3125=c ，则（A ）c a b << （B ）c b a << （C ）a c b << （D ）b ac <<14.（2016年全国Ⅰ卷第7题）函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）(C) (D)yx 1 1 O yx1 1 O (A)(B)（C ）（D ）15.（2016年全国Ⅰ卷第8题）若0a b >>，01c <<，则（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c <16.（2015年全国Ⅱ卷第10题）如图，长方形ABCD 的边1,2==BC AB ，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记x 的x BOP =∠. 将动点P 到,A B 两点距离之和表示为函数)(x f ，则)(x f y =的图像大致是 （A ） （B ） （C ） （D ）17.（2010年全国卷第11题）已知函数()lg ,010,16,02x x f x x x ⎧≤⎪=⎨-+⎪⎩＜＞1若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（A ）()1,10 （B ）()5,6 （C ）()10,12 （D ）()20,2418.（2009年全国卷第12题）用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值，设{}()min 2,2,10x f x x x =+-（0x ≥）,则()f x 的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）719.（2011年全国卷第12题）函数11y x=-的图像与函数2sin π(24)y x x =-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）820.（2016年全国Ⅱ卷第12题）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，， ()22x y ，，，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m（D ）4m21.（2014年全国Ⅱ卷第15题）已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是 .22.（2013年全国Ⅰ卷第16题）若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值是 .23.（2017年全国Ⅰ卷第11题）设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则（A ）235x y z <<（B ）523z x y << （C ）352y z x <<（D ）325y x z <<24.（2017年全国Ⅲ卷第11题）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（A ）12-（B ）13（C ）12（D ）1。