高中数学-全称量词、存在量词练习
【选题明细表】
知识点、方法题号
全称命题与特称命题的判定1,2
全称命题与特称命题的符号表示7,8
全称命题与特称命题的真假判断3,4,8,9 由全称命题与特称命题的真假求参数(或范围) 5,6
综合应用10,11,12,13
【基础巩固】
1.下列命题中,不是全称命题的是( D )
(A)任何一个实数乘以0都等于0
(B)自然数都是正整数
(C)每一个向量都有大小
(D)一定存在没有最大值的二次函数
解析:D选项是特称命题.故选D.
2.下列命题中全称命题的个数为( C )
①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.
(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个
解析:①②是全称命题,③是特称命题.故选C.
3.(2017·河南许昌高二期末)下列命题中,真命题是( D )
(A)∃x0∈R,使<x0+1成立
(B)对∀x∈R,使2x>x2成立
(C)a+b=0的充要条件是=-1
(D)a>1,b>1是ab>1的充分条件
解析:对于A.画出函数y=e x和y=x+1的草图知,
e x≥x+1恒成立,故错误;
对于B.令x=-2,不成立,故错误;
对于C.=-1是a+b=0的充分不必要条件,错误.
选D.
4.下列命题中的假命题是( C )
(A)∃x∈R,lg x=0 (B)∃x∈R,tan x=1
(C)∀x∈R,x3>0 (D)∀x∈R,2x>0
解析:对于C,当x=-1时,x3=-1<0,故C为假命题.故选C.
5.(2017·泰州调研)若()<恒成立,则实数a的取值范围是( B )
(A)(0,1) (B)(,+∞)
(C)(0,) (D)(-∞,)
解析:由题意,得-x2+2ax<3x+a2,
即x2+(3-2a)x+a2>0恒成立,
所以Δ=(3-2a)2-4a2<0,
解得a>.
故选B.
6.(2018·肥城统考)已知命题p:∃x∈R,mx2+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是( C )
(A)(-∞,-2) (B)[-2,0)
(C)(-2,0) (D)(0,2)
解析:p真:m<0.
q真:Δ=m2-4<0,
所以-2<m<2.
因为p∧q为真命题,
所以p,q均为真命题,
所以-2<m<0,故选C.
7.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为.
答案:∃x0<0,使(1+x0)(1-9x0)>0
8.用量词符号“∀”“∃”表述下列命题,并判断真假.
(1)所有实数x都能使x2+x+1>0成立;
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;
(3)一定有整数x0,y0,使得3x0-2y0=10成立;
(4)所有的有理数x都能使x2+x+1是有理数.
解:(1)∀x∈R,x2+x+1>0;真命题.
(2)∀a,b∈R,ax+b=0恰有一解;假命题.
(3)∃x0,y0∈Z,3x0-2y0=10;真命题.
(4)∀x∈Q,x2+x+1是有理数;真命题.
【能力提升】
9.(2018·浙江六校联考)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( B )
(A)p∧q (B)(¬p)∧q
(C)p∧(¬q)(D)(¬p)∧(¬q)
解析:由20=30知p为假命题;
令h(x)=x3+x2-1,
则h(0)=-1<0,h(1)=1>0,
所以方程x3+x2-1=0在(-1,1)内有解,
所以q为真命题,
所以(¬p)∧q为真命题,故选B.
10.(2018·宝鸡质检)已知命题p:∃x0∈N,<;命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=log a(x-1)的图象过点(2,0),则( A )
(A)p假q真(B)p真q假
(C)p假q假(D)p真q真
解析:由<,得(x0-1)<0,
解得x0<0或0<x0<1,在这个范围内没有自然数,
所以命题p为假命题;
因为对任意的a∈(0,1)∪(1,+∞),均有f(2)=log a1=0,
所以命题q为真命题.
故选A.
11.(2017·枣庄一中高二月考)若“∀x∈[-,],m≤tan x+1”为真命题,则实数m的最大值为.
解析:“∀x∈[-,],m≤tan x+1”为真命题,
可得-1≤tan x≤1.
所以0≤tan x+1≤2,
实数m的最大值为0.
答案:0
12.(2017·会宁县一中高二期中)设p:不等式x2+(m-1)x+1>0的解集为R;q:∀x∈(0,+∞),m
≤x+恒成立,若“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,求实数m的取值范围.
解:若p为真:判别式Δ<0,则(m-1)2-4<0,
所以-1<m<3,
若q为真:∀x∈(0,+∞),x+≥2,当且仅当x=1时取“=”,所以m≤2.
由“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,可知p,q一真一假,
(1)当p为真q为假时,2<m<3,
(2)当q为真p为假时,m≤-1,
综上所述,m的取值范围为(-∞,-1]∪(2,3).
【探究创新】
13.若关于x的方程4x-(a+1)2x+9=0有实数解,求实数a的取值范围.
解:令t=2x,则t>0,
即将4x-(a+1)2x+9=0有实数解转化为t2-(a+1)t+9=0在(0,+∞)上有实数解. 设f(t)=t2-(a+1)t+9,
因为f(0)=9>0,
所以有
解得a≥5.
故所求的a的取值范围为[5,+∞).。