第四章习题详解
1． 下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限：
1) mi
ni a n -+=
11； 2) n n i a -⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+=21； 3) ()11++
-=n i a n n ；
4) 2i n n e
a π-=；
5) 21i n n e n
a π-=。
2． 证明：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≠==>∞<=∞→1111110a a a a a a n n ,,,,lim 不存在，
3． 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：
1) ∑∞
=1n n
n i ；
2) ∑∞
=2n n
n i ln ；
3)
()∑∞=+0856n n n i ；
4) ∑∞=0
2n n in cos 。
4． 下列说法是否正确？为什么？
1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；
2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；
3) 每一个在0z 连续的函数一定可以在0z 的邻域内展开成泰勒级数。
5． 幂级数()∑∞
=-02n n
n z c 能否在0=z 收敛而在3=z 发散？
6． 求下列幂级数的收敛半径：
1) ∑∞
=1n p n
n z （p 为正整数）；
2)
()∑∞=12n n n z n n !；
3)
()∑∞=+01n n n z i ；
4)
∑∞=1n n n i z e π；
5)
()∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛1
1n n z n i ch ； 6) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝
⎛1n n in z ln 。
7． 如果
∑∞=0n n n z c 的收敛半径为R ，证明()∑∞=0n n n z c Re 的收敛半径R ≥。
[提示：()n n n n z c z c <Re ]
8． 证明：如果n
n n c c 1+∞→lim 存在∞≠，下列三个幂级数有相同的收敛半径∑n n z c ；∑+++111n n z n c ；∑-1n n z nc 。
9． 设级数
∑∞=0
n n c 收敛，而∑∞=0n n c 发散，证明∑∞=0n n n z c 的收敛半径为1。
10． 如果级数
∑∞=0n n n z c 在它的收敛圆的圆周上一点0z 处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收
敛。
11． 把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径：
1)
311z +；
2)
()2211z +；
3) 2z cos ；
4) shz ；
5) chz ；
6) 22z e
z sin ；
7) 1-z z e
；
8) z -11sin。
12． 求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径：
1)
11+-z z ，10=z ；
2) ()()21++z z z
，20=z ；
3)
21z ，10-=z ；
4)
z
341-，i z +=10； 5) tgz ；40π=
z ；
6) arctgz ；00=z 。
13． 为什么在区域R z <内解析且在区间()R R ,-取实数值的函数()z f 展开成z 的幂级数时，展开式的
系数都是实数？
14． 证明在()⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=z z z f 1cos 以z 的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为()⎰=π
ϑϑϑπ20221d n c n cos cos cos ，() ,,,210±±=n 。
[提示：在公式()844..中，取C 为1=z ，
在此圆上设积分变量ϑζi e
=。
然后证明n c 的积分的虚部等于零。
]
15． 下列结论是否正确？
用长除法得 ++++=-4321z z z z z
z ++++=-3211111z
z z z z 因为 01
1=-+-z z z z 所以 0111143232=+++++++++
z z z z z z z
16． 把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数：
1) ()()
2112-+z z ，21<<z ；
2)
()211z z -，11<<z ，110<-<z ；
3)
()()
211--z z ，110<-<z ，+∞<-<21z ； 4) z e
-11，+∞<<z 1；
5)
()
i z z -21，在以i 为中心的圆环域内； 6) z -11sin
，在1=z 的去心邻域内；
7)
()()()()
4321----z z z z ，43<<z ，+∞<<z 4。
17． 函数⎪⎭⎫
⎝⎛z tg 1能否在圆环域()+∞<<<<R R z 00展开成洛朗级数？为什么？
18． 如果k 为满足关系12
<k 的实数，证明 ()∑∞=+-=
+0
2211n n k k n k ϑϑϑcos sin sin ()∑∞=+--=+02
211n n k k k n k ϑϑϑcos cos cos [提示：对k z >展开()1--k z 成洛朗级数，并在展开式的结果中置ϑi e z =，再令两边的实部与实部
相等，虚部与虚部相等。
]
19． 如果C 为正向圆周3=z ，求积分()⎰C
dz z f 的值。
设()z f 为：
1) ()
21+z z ；
2)
()z z z 12++；
3)
()211+z z ；
4)
()()21++z z z 。
20． 试求积分⎰∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-=C n n dz z 2
的值，其中C 为单位圆1=z 内的任何一条不经过原点的简单闭曲线。
21． 22． 23． 24． （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
） 25． 26． 27． 28． 29．
30．。