第五章 大变形问题的基本方程和Lagrangion 表示法（列式法）§5-1物体的运动分析和应变度量严格来说任何一个变形过程都是非线性的，因为平衡状态和变形有关。

但在小变形情况下，以物体变形的平衡方程可始终建立在初始构形上，而与实际情况相差不大，足够满足工程要求。

而研究大变形物体的变形过程，，必须在变形之后的物体构形上建立平衡方程。

研究方法：把连续的的变形过程分为若干个增量步，在每个增量步内建立它的增量运动方程——即变形体内质点的运动规律。

要选取某一坐标系：初始（initial ）坐标系; 相邻（adjacent, neighboring ）坐标系; 瞬时（current ）坐标系.1． 物体运动方程：物体构形（configuration ）内一点P 的增量运动方程。

选择两个固定坐标系,以t 时刻物体构形作为参考构形的坐标系a i , 以+t t 时刻物体构形作为参考构形的坐标系x i研究（t t t →+）具有普遍意义.t 时刻 ()i P a ； t t + 时刻 '()i P x △t 增量步内，P 的变形i i i u x a =- （1）研究t 时间步内物体内一点P 的变形。

最简便的办法是将两个坐标系重合在一起。

2． 应变度量研究P 点附近线素变形 在 t t t →+ 时间步内 ''PQ P Q →线素变形 i i i du dx da =- （1）’将i du 在i a 坐标系中，在P 点处作一阶泰勒展开并考虑到()=i P du O 得ii j ju du da a ∂=∂ 代入(1)’ 式得 ()ii ij j ju dx da a δ∂=+∂ (2) 同理将i du 在x i 坐标系中，在P ’点处作一阶泰勒展开,并考虑到()'=i P du O 得ii j ju du dx x ∂=∂代入(1)’ 式 ()ii ij j ju da dx x δ∂=-∂ (2)’ --------------------------------------------------------------------------------------------------- 附：若位移i du 是坐标i a 的单值连续函数，则可在i a 空间中p 点处展成泰勒级数. 123123()⎫⎛∂∂∂∂=+++=⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭i i i i i i p j ju u uu du du da da da da a a a x i.e 111111231232222212312333333123123()()()p p p u u u du du da da da a a a u u u du du da da da a a a u u u du du da da da a a a ⎧⎫⎛∂∂∂=+++⎪⎪ ⎪∂∂∂⎝⎪⎭⎪⎫⎛∂∂∂⎪=+++⎪⎨ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪⎫⎛∂∂∂⎪=+++⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎩代入（1）式 i i i dx da du =+写成张量形式： ii ij j j udx da a δ⎛⎫∂=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭(2) 同理若将位移i du 在i x 坐标系中p ’点处展成泰勒级数并取一阶项：123123()⎫⎛∂∂∂∂=+++=⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭i i ii i i p j u u u u du du dx dx dx x x x x 代入（1）得ii ij j j uda dx x δ⎛⎫∂=- ⎪ ⎪∂⎝⎭(2)’ ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 上两式中 i i j j u du da a ∂=∂ i i j judu dx x ∂=∂ 其中i j u a ∂∂和i jux ∂∂ 可分别记为,i j u 和,i j u ，可称为相对位移张量（不对称张量），而且可将,i j u 分解成对称部分和反对称部分。

i.e. ,ii j ij ij ju u a εω∂==+∂ (3)其中 1()21()2j i ij j i j i ij j i u u a a u u a a εω∂⎫∂=+⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪=-⎪∂∂⎭(4)同理 ,ii j ij ij ju u x εω∂==+∂ (3)’ 1()21()2j i ij j i j i ij j i u u x x u u x x εω∂⎫∂=+⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪=-⎪∂∂⎭(4)’将（3）（4）和 (3)’ (4)’代入（2）(2)’得变形前线素 ()i ij ij ij i dx da δεω=++ (5) 变形后线素 ()i ij ij ij i da dx δεω=-- (5)’为了定义应变要讨论t ∆时间步内线素的长度变化PQt 时刻变形前线素长度 ： PQ 长度ds 0 ()20i i ds da da = (6) t+t ∆时刻变形前长度 ： ''P Q 长度ds ()2i i ds dx dx = (6)’ 定义应变为: ()()2202iji ids ds E da da -=和 ()()2202iji ids ds e dx dx -=(7)和(7)’--------------------------------------------------------------------------------------------------- 附录：1. 说明：平衡方程和变形有关，否则无法求解或求解错误。

由两杆三铰结构，且三铰位于同一条直线上。

从小变形的观点，平衡方程始终相对于初始坐标建立。

所以，外力P 无法抵挡，成为结构力学中瞬变机构。

而实际上，平衡状态是客观存在的，如图平衡状态和变形有关。

当铰2有了一定的微小法向位移δ之后，杆中的轴力，有一部分可以抵抗外力P ，而平衡与变形δ有关。

平衡方程应相对于变形后的构型为参考的坐标系来建立。

2. 说明：用线性理论求解会得到错误的结果。

物体作平面转动的刚体运动。

角速度为3ω，t 时间内转动量为t 3ω。

按小变形理论，x向线素dx ，经转动后成为'dx ，则1cos cos '3311-=-⋅=-==t dxdx t dx dx dx dx dx du ωωε 当t 3ω较大的时候011≠ε，这显然是不真实的错误解。

只有当03→t ω时，011=ε。

因此，线性应变理论不适用于大变形状态。

3、关于相对位移张量和不对称性在i a 坐标系下，表示位移i du ，则j j i j j i i da u da a u du ,=∂∂=，其中ji j i a uu ∂∂=,称相对位移张量，即⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧321332313322212312111321da da da a u a u a u a u a u a u a u a u a u du du du 相对位移张量是非对称张量，因为ijj i a u a u ∂∂≠∂∂。

例如对于平面内变形： 1221a u a u ∂∂≠∂∂ )(2112213a u a u ∂∂-∂∂=ω 12211221a u a u ∂∂+∂∂==γγ 122112212121ωεωγ+=+=∂∂a u 其中21γ是工程应变，21ε是应变张量分量。

这样可以将相对位移张量分解成对称部分和反对称部分ij ij j i jiu a u ωε+==∂∂, (3) 其中)(21i j j i ij a u a u ∂∂+∂∂=ε为对称部分称为应变张量；)(21i jj i ij a u a u ∂∂-∂∂=ω为非对称部分称为刚体转动12a∂122γ1a分量表示⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211333231232221131211212121212121εεεεεεεεεεγγγεγγγεεij ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=00323123211312ωωωωωωωij 同理ij ij j i jiu x u ωε+==∂∂, (3)’ --------------------------------------------------------------------------------------------------- 为了求)(ij ij e E ，将（2）代入（5）ii jk i k i j j i i i jki k i j j i i i i ji ij i j i ij ii i i da da a u a u a u a u da da a u a u a u a u da da da a uda a u da da dx dx dS dS )()11()()()()(202∂∂∂∂+∂∂+∂∂=-∂∂∂∂+∂∂+∂∂+=-∂∂+∂∂+=-=-δδ (8) 上面的展开推导过程中，采用了张量运算法则：1) 当1i j k ===时，1==kl ij ij ij δδδδ 2) jij i ija u a u ∂∂=∂∂δ 3)jki k j i j i a u a u a u a u ∂∂∂∂=∂∂∂∂ 同理，将 (2)’ 代入 (5)’220()()()∂∂∂∂-=-=++∂∂∂∂j i k ki i i i i i j i i ju u u u dS dS dx dx da da dx dx x x x x (8)’ 将 (8) 和 (8)’ 代入 (5) 和 (5)’，得)(21jk i k i j j i ij a u a u a u a u E ∂∂∂∂+∂∂+∂∂=(9))(21jki k i j j i ij x u x u x u x u e ∂∂∂∂+∂∂+∂∂= (9)’统一表示为：)(21)(,,,,j k i k i j j i ij ij u u u u e or E ++=(10) (10) 式恰好反映了t ∆增量步内，线素PQ （P 点）的应变量，ij E 是以t 时刻的物体构形为参考构形建立的坐标系来描述的，而ij e 是以t +t ∆时的坐标描述的。

前者称为Green 应变，取相对坐标系。

后者称为Almansi 应变，取即时坐标系。

讨论：如果将初始构形i a 和变形后的构形i x 看作是同一构形，即变形比较小，且位移的一阶导数项j i a u ∂∂（j i x u∂∂）也比较小，则可认为平方项（i k a u ∂∂jk a u ∂∂）趋近于零，那么 (9) 式和 (9)’ 式就完全相同。