2.2 等差数列第1课时等差数列的概念与简单表示1.理解等差数列的概念.(难点)2.掌握等差数列的通项公式及应用.(重点、难点)3.掌握等差数列的判定方法.(重点)[基础·初探]教材整理1等差数列的含义阅读教材P36~P37思考上面倒数第二自然段,完成下列问题.1.等差数列的概念(1)文字语言:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.(2)符号语言:a n+1-a n=d(d为常数,n∈N*).2.等差中项(1)条件:如果a,A,b成等差数列.(2)结论:那么A叫做a与b的等差中项.(3)满足的关系式是a+b=2A.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.()(2)如果一个无穷数列{a n}的前4项分别是1,2,3,4,则它一定是等差数列.()(3)当公差d=0时,数列不是等差数列.()(4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列.()(5)方程x2+6x+1=0的两根的等差中项为-3.()【解析】(1)×.因为若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,则这个数列就不是等差数列.(2)×.因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列,往后各项与前一项的差未必是同一个常数1.(3)×.因为该数列满足等差数列的定义,所以该数列为等差数列,事实上它是一类特殊的数列——常数列.(4)√.因a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.(5)√.设方程x2+6x+1=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-6,所以x1,x2的等差中项为A=x1+x22=-3.故该说法正确.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√教材整理2等差数列的通项公式阅读教材P37思考上面倒数第2行~P38,完成下列问题.1.等差数列的通项公式以a1为首项,d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n=a1+(n-1)d.2.从函数角度认识等差数列{a n}若数列{a n}是等差数列,首项为a1,公差为d,则a n=f(n)=a1+(n-1)d=nd+(a1-d).(1)点(n,a n)落在直线y=dx+(a1-d)上;(2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加d个单位.1.已知等差数列{a n}中,首项a1=4,公差d=-2,则通项公式a n=________.【解析】∵a1=4,d=-2,∴a n=4+(n-1)×(-2)=6-2n.【答案】6-2n2.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是________.【解析】由等差数列的通项公式a n=a1+(n-1)d,可知-89=1+(n-1)·(-2),所以n=46.【答案】 46[小组合作型]n n p ,q 为常数). (1)当p 和q 满足什么条件时,数列{a n }是等差数列? (2)求证:对任意实数p 和q ,数列{a n +1-a n }是等差数列.【精彩点拨】 利用等差数列定义判断或证明a n +1-a n 为一个常数即可. 【自主解答】 (1)欲使{a n }是等差数列,则a n +1-a n =[p (n +1)2+q (n +1)]-(pn 2+qn )=2pn +p +q 应是一个与n 无关的常数,所以只有2p =0,即p =0时,数列{a n }是等差数列. (2)证明:因为a n +1-a n =2pn +p +q , 所以a n +2-a n +1=2p (n +1)+p +q .而(a n +2-a n +1)-(a n +1-a n )=2p 为一个常数, 所以{a n +1-a n }是等差数列.等差数列的判定方法有以下三种:(1)定义法:a n +1-a n =d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列; (2)等差中项法:2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列; (3)通项公式法:a n =an +b (a ,b 是常数,n ∈N *)⇔{a n }为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法. [再练一题]1.已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4-4a n -1(n >1),记b n =1a n -2.(1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式.【解】 (1)证明:b n +1-b n =1a n +1-2-1a n -2=1⎝ ⎛⎭⎪⎫4-4a n -2-1a n -2 =a n 2(a n -2)-1a n -2=a n -22(a n -2)=12.又b 1=1a 1-2=12,∴数列{b n }是首项为12,公差为12的等差数列. (2)由(1)知b n =12+(n -1)×12=12n . ∵b n =1a n -2,∴a n =1b n+2=2n +2.∴数列{a n }的通项公式为a n =2n +2,n 1n N *,p ,q 为常数),且x 1,x 4,x 5成等差数列,求p ,q 的值.【精彩点拨】 将x 1,x 4,x 5用p ,q 表示出来,由x 1,x 4,x 5成等差数列,即2x 4=x 1+x 5列出关于p ,q 的方程组求解.【自主解答】 由x 1=3,得2p +q =3,① 又x 4=24p +4q ,x 5=25p +5q ,且x 1+x 5=2x 4,得 3+25p +5q =25p +8q ,② 由①②得q =1,p =1.三数a,b,c成等差数列的条件是b=a+c2(或2b=a+c),可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{a n}为等差数列,可证2a n+1=a n+a n+2(n∈N*).[再练一题]2.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m与n的等差中项是________.【解析】由m和2n的等差中项为4,则m+2n=8,又由2m和n的等差中项为5,则2m+n=10.两式相加,得m+n=6,∴m与n的等差中项为m+n2=62=3.【答案】 3[探究共研型]探究1安装第一盏后,往后每隔50米安装一盏,试问安装第5盏路灯时距离第一盏路灯有多少米?你能用第一盏灯为起点和两灯间隔距离表示第n盏灯的距离吗?【提示】设第一盏路灯到第一盏路灯的距离记为a1,第2盏路灯到第一盏路灯的距离记为a2,第n盏路灯到第一盏路灯的距离记为a n,则a1,a2,…,a n,…构成一个以a1=0为首项,以d=50为公差的一个等差数列.所以有a1=0,a2=a1+d=0+50=50,a3=a2+d=a1+2d=0+2×50=100,a4=a3+d=a1+3d=0+3×50=150,a5=a4+d=a1+4d=0+4×50=200,…a n=a1+(n-1)d=50n-50,所以,第5盏路灯距离第一盏路灯200米, 第n 盏路灯距离第一盏路灯(50n -50)米.探究2 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次,奥运会如因故不能举行,届数照算,你能算出2016年8月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗?若已知届数,你能确定相应的年份吗?【提示】 设第一届的年份为a 1,第二届的年份为a 2,…,第n 届的年份为a n ,则a 1,a 2,…,a n ,…构成一个以a 1=1 896为首项,以d =4为公差的等差数列,其通项公式为a n =a 1+(n -1)d =1 896+4(n -1)=4n +1 892,即a n =4n +1 892,由a n =2 016,知4n +1 892=2 016,所以n =31.故2016年举行的奥运会为第31届.已知举办的届数也能求出相应的年份,因为在等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d 中,知道其中任何三个量,均可求得第四个量.探究3 在等差数列{a n }中,能用a 1,d 两个基本量表示a n ,那么能否用{a n }中任意一项a m 和d 表示a n?【提示】 由a n =a 1+(n -1)d ,① a m =a 1+(m -1)d ,②两式相减可得:a n -a m =(n -m )d , 则a n =a m +(n -m )d .(1)在等差数列{a n }中,已知a 4=7,a 10=25,求通项公式a n ; (2)已知数列{a n }为等差数列,a 3=54,a 7=-74,求a 15的值.【精彩点拨】 设出基本量a 1,d ,利用方程组的思想求解,当然也可以利用等差数列的一般形式a n =a m +(n -m )d 求解.【自主解答】 (1)∵a 4=7,a 10=25, 则⎩⎨⎧ a 1+3d =7,a 1+9d =25,得⎩⎨⎧a 1=-2,d =3,∴a n =-2+(n -1)×3=3n -5, ∴通项公式a n =3n -5(n ∈N *).(2)法一:由⎩⎪⎨⎪⎧a 3=54,a 7=-74,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =54,a 1+6d =-74,解得a 1=114,d =-34,∴a 15=a 1+(15-1)d =114+14×⎝ ⎛⎭⎪⎫-34=-314.法二:由a 7=a 3+(7-3)d , 即-74=54+4d ,解得d =-34,∴a 15=a 3+(15-3)d =54+12×⎝ ⎛⎭⎪⎫-34=-314.1.应用等差数列的通项公式求a 1和d ,运用了方程的思想.一般地,可由a m =a ,a n =b ,得⎩⎨⎧a 1+(m -1)d =a ,a 1+(n -1)d =b ,求出a 1和d ,从而确定通项公式. 2.若已知等差数列中的任意两项a m ,a n ,求通项公式或其它项时,则运用a m =a n +(m -n )d 较为简捷.[再练一题]3.-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项? 【解】 由a 1=-5,d =-9-(-5)=-4, 得这个数列的通项公式为 a n =-5-4(n -1)=-4n -1. 由题意知,-401=-4n -1, 得n =100,即-401是这个数列的第100项.1.数列{a n}的通项公式a n=2n+5,则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列【解析】∵a n-a n=2(n+1)+5-(2n+5)=2,+1∴{a n}是公差为2的等差数列.【答案】 A2.等差数列的前3项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为() A.a n=2n-5 B.a n=2n-3C.a n=2n-1 D.a n=2n+1【解析】∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前3项,∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0,∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2,∴a n=-1+2(n-1)=2n-3,故选B.【答案】 B3.等差数列的第3项是7,第11项是-1,则它的第7项是________.【解析】设首项为a1,公差为d,由a3=7,a11=-1,得a1+2d=7,a1+10d=-1,所以a1=9,d=-1,则a 7=3. 【答案】 34.已知1,x ,y,10构成等差数列,则x ,y 的值分别为________. 【解析】 由已知,x 是1和y 的等差中项,即2x =1+y ,① y 是x 和10的等差中项,即2y =x +10,② 由①②解得x =4,y =7. 【答案】 4,75.在等差数列{a n }中,(1)已知a 5=-1,a 8=2,求a 1与d ; (2)已知a 1+a 6=12,a 4=7,求a 9. 【解】 (1)由题意,知 ⎩⎨⎧a 1+(5-1)d =-1,a 1+(8-1)d =2, 解得⎩⎨⎧a 1=-5,d =1.(2)由题意,知⎩⎨⎧a 1+a 1+(6-1)d =12,a 1+(4-1)d =7,解得⎩⎨⎧a 1=1,d =2,∴a n =1+2(n -1)=2n -1, ∴a 9=2×9-1=17.。