线性代数练习题 第四章 线性方程组系 专业 班 姓名 学号 第一节 解线性方程组的消元法一．选择题：1．设A 是n m ⨯矩阵，b Ax =有解，则 [ C ] （A ）当b Ax =有唯一解时，n m = （B ）当b Ax =有无穷多解时，<)(A R m （C ）当b Ax =有唯一解时，=)(A R n （D ）当b Ax =有无穷多解时，0=Ax 只有零解 2．设A 是n m ⨯矩阵，如果n m <，则 [ C ] （A ）b Ax =必有无穷多解 （B ）b Ax =必有唯一解 （C ）0=Ax 必有非零解 （D ）0=Ax 必有唯一解3．设A 是n m ⨯矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是)(A R [ D ] （A ）小于m （B ）小于n （C ）等于m （D ）等于n 二．填空题：设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21232121a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=031b ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x（1）齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则 31a a ≠≠-或 （2）非齐次线性方程组b Ax =无解，则a = 1=- 三．计算题：1． 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+1222412w z y x w z y x w z y x213122211112111121001421120011000110211110002000020121122000.2000r r r r r r yx x y y xz w z z w w w --+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎧=⎪+==-⎧⎧⎪⎪⎪-=∴==⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎩⎩⎪⎩或3．λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ⑴ 有唯一解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷多解32111132(1)(2)11111111111000111000111111212212124003λλλλλλλλλλ=-+=-+≠⎛⎫⎛⎫⎪⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当1,-2时，方程有唯一解11当=1时10，有无穷多解；10-22当=-2时11，方程组无解。

10线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班 姓名 学号 第四节 线 性 方 程 组 的 解一．选择题：1．设A 是45⨯矩阵，),,,(4321αααα=A ，已知T),,,(40201=η，T)4,5,2,3(2=η是0=Ax 的基础解系，则 [ D ] （A ）31αα,线性无关 （B ）42αα,线性无关 （C ）1α不能被43αα,线性表示 （D ）4α能被32αα,线性表示2．设A 是45⨯矩阵，若b Ax =有解，21ηη,是其两个特解，导出组0=Ax 的基础解系是21αα,，则不正确的结论是 [ B ] （A ）b Ax =的通解是12211ηαα++k k （B ）b Ax =的通解是)(212211ηηαα+++k k （C ）b Ax =的通解是22122211/)()(ηηααα++++k k（D ）b Ax =的通解是211222112ηηαααα-+-++)()(k k3．设321ααα,,是四元非齐次线性方程组b Ax =的三个解向量，且3=)(A R ，T),,,(43211=α，T ),,,(321032=+αα，C 表示任意常数，则线性方程组b Ax =的解是 [ C ]（A ）TTC )1,1,1,1()4,3,2,1(+ （B ）TTC )3,2,1,0()4,3,2,1(+ （C ）TTC )5,4,3,2()4,3,2,1(+ （D ）TTC )6,5,4,3()4,3,2,1(+4．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵0≠B 使得0=AB ，则 [ C ]（A ）2-=λ且0=B ， （B ）2-=λ且0≠B （C ）1=λ且0=B （D ）1=λ且0≠B 二．填空题：1． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21232121a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b ，=x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x（1）齐次线性方程组0=Ax 只有零解，则a 31≠-， （2）非齐次线性齐次组b Ax =无解，则a = 31-或 三．计算题：1．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量，且T )5,4,3,2(1=η，23(1,2,3,4)T ηη+=，求该方程的通解1231231231231,(2)2020()431,03243(2).5465Ax b A A A bA b b b Ax n R A Ax Ax b k k ηηηηηηηηηηηηη====--=--=--=-=-==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：设方程为 则那么故是的解.又故的基础解系只有一个向量所以的通解为2．求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个解及对应齐次方程组的基础解系。

12342341234234152311152311152311:53611028414560142728242160142728000001523112,024*********2427x x x x x x x x x x x x x x ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪-+-=-⎧ ⎪⎨ ⎪-+=-⎩⎪⎝⎭-+-=-+解原方程组化为求出一个解为另外34120917211,,.,72011091172112.72001010x x k k ⎧⎨=⎩⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10设()分别为解01所以通解为线性代数练习题 第四章 线性方程组系 专业 班 姓名 学号第四节 克拉默法则一、选择题：1．若方程组304050x ky z y z kx y z +-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩有非零解，则k （A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）3=k3．设21,ξξ为齐次线性方程组0=Ax 的解，21,ηη为非齐次线性方程组b Ax =的解，则[ C ] （A ）112ηξ+为0=Ax 的解 （B ）21ηη+为b Ax =的解 （C ）21ξξ+为0=Ax 的解 （D ）21ηη-为b Ax =的解二、填空题：2. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则2k =三、计算题1．计算A 是秩为3的5×4矩阵，321,,ααα是非齐次线性方程组b Ax =的三个不同的解，若1232(2,0,0,0)T ααα++=，T )8,6,4,2(321=+αα，求方程组b Ax =的通解。

解：因A 是秩为3的5×4矩阵，431n r -=-=,故对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系为ξ.1231212312[(2)(3)]23230A A A A A A b b b b b αααααααααα++-+=++--=++--=12312[(2)(3)](2,0,0,0)(2,4,6,8)(0,4,6,8)T T T ξααααα=++-+=-=---是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系. 又123123[(2)(3)]4304A b b ααααα++-+=-=， 123123312[(2)(3)](2,0,0,0)(2,4,6,8)(,3,,6)4429T T T ηααααα=++-+=-=---是非齐次线性方程组b Ax =的特解。

方程组b Ax =的通解为12(0,4,6,8)(,3,,6)29TTx C C ξη=+=---+---.四、用克拉默法则解方程组123412423412342583692254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩解：2151130*********476D ---==≠--,方程组有唯一解。

1815193068152120476D ---==---,22851190610805121076D --==----321811396270252146D --==--4215813092702151470D --==---方程组有唯一解为118121D x D ==,2210821D x D ==-,3397D x D ==-,4497D x D ==.。