组
即存在不全为零的 k1, k2 , , kn，使得
k1 A1 k2 A2 kn An 0 . ( x~1 k1 )A1 ( x~2 k2 )A2 ( x~n kn )An b .
可见 x~1 k1, x~2 k2 , , x~n kn 也是 A X = b 的解，
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§4.1 线性方程组的基本概念
第 三、等价的线性方程组
四 章
定义
若两个线性方程组同解，则称它们等价。 P111 定义4.1
线 定理 若存在可逆矩阵 P ，使 PA = B ，则线性方程组
性 方
P111 定理
A X = b 与 B X = P b 等价(同解)。
程 4.1
组 证明 由 A X b , P A X P b , B X P b;
即得 A X = b 有解。
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§4.1 线性方程组的基本概念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
2. 线性方程组解的惟一性 P112 定理4.2 (2) 线
性 定理 设 r ( A) r ( A b) r , 则 r n A X = b 有惟一解。
方 程
四 章
1. 线性方程组的一般形式
2. 线性方程组的矩阵形式
线 性
3. 线性方程组的向量形式
P111
方 程
对于线性方程组 A X b , 令
组
A ( A1 , A2 , , An ) ,
x1
则得到向量形式为
( A1 ,
A2 ,
,
An
)

x2

b,
即 x1 A1 x2 A2 xn An b .
P123
4
§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
四 章
1. 线性方程组的一般形式
2. 线性方程组的矩阵形式 P111 线
性
方
程
组
简记为 A X b ,
其中 A 称为系数矩阵， A~ ( A b) 称为增广矩阵。
5
§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
第 四
第四章 线性方程组
章
线 §4.1 线性方程组的基本概念
性 方
§4.2 高斯(Gauss)消元法
程 组
§4.3 齐次线性方程组解的结构
§4.4 非齐次线性方程组解的结构
1
§4.1 线性方程组的基本概念
第 四
§4.1 线性方程组的基本概念
章
一、线性方程组的几种表示形式
线
性 二、线性方程组解的存在性与惟一性
方 程
三、等价的线性方程组
组
2
§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
四
章
在第一章中，讨论了方程的个数与未知量的个数相等的
线 方程组，而实际问题中，方程组的方程个数与未知量的个数
性 方
不一定相等。
程
下面将讨论一般线性方程组。
组
需要探讨的问题
(1) 方程组是否有解? (2) 如果有解，是否惟一? (3) 如何求解?
证明
由 r ( A) r ( A b) 知 A X = b 有解，
组
即存在 x~1, x~2 , , x~n ，使得
x~1 A1 x~2 A2 x~n An b .
(1) 若 r n , 则 A1, A2 , , An 线性无关， 故 b 只能由 A1, A2 , , An 的惟一地线性表示， 即 A X = b 的解是惟一的。
故 A X = b 的解不惟一。
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§4.1 线性方程组的基本概念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
2. 线性方程组解的惟一性 线
性 综合 (线性方程组解的判定) 方
程
对于线性方程组 A X = b， 有
组
(1) 当 r( A) r( A~) n 时，方程组有无穷多解;
若 A X = b 有解，
组
则 b 可由 A1 , A2 , , An 线性表示，
故向量组 A1 , A2 , , An 与 A1 , A2 , , An , b 等价，
即得 r ( A) r ( A b).
7§4.1 ຫໍສະໝຸດ 性方程组的基本概念第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
xn
将右端项表示成系数阵的列向量的线性组合
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§4.1 线性方程组的基本概念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
P112 定理4.2 (1)
线 定理 线性方程组 A X = b 有解的充要条件是 r ( A) r ( A b).
性 证明 必要性
方
程
1. 线性方程组解的存在性
线 定理 线性方程组 A X = b 有解的充要条件是 r ( A) r ( A b).
性 证明 充分性
方
程
若 r ( A) r ( A b),
组
则 A1 , A2 , , An 的极大线性无关组也是
A1 , A2 , , An , b 的极大线性无关组，
故 b 可由 A1 , A2 , , An 的线性表示，
由 B X P b; P1B X b , A X b .
故线性方程组 A X = b 与 B X = P b 等价。
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§4.1 线性方程组的基本概念
第 三、等价的线性方程组
四 章 定理的重要意义
线
若 ( A b) 行初等变换 P ( A b) (P A Pb) (B Pb) ,
(2) 当 r( A) r( A~) n 时，方程组有唯一解;
(3) 当 r( A) r( A~) 时，方程组有无解。
其中 A~ ( A b).
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§4.1 线性方程组的基本概念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章 3. 关于齐次线性方程组的一些结论 补
线
对于齐次线性方程组 Amn X 0 , 有如下结论：
性 方
(1) 一定有(零)解。 因为 r ( A) r ( A 0).
程
组
(2) 只有零解 r( A) n; 有非零解 r( A) n .
特别，若 m ＜ n ，即方程的个数小于未知量的个数， 则必有非零解。
(3) 若 m = n ，即 A 为方阵，则 只有零解 | A| 0; 有非零解 | A| 0 .
3
§4.1 线性方程组的基本概念
第 一、线性方程组的几种表示形式
四 章
1. 线性方程组的一般形式
线
性
方
程
组
其中 x1, x2 , , xn 为未知量，
ai j 是第 i 个方程第 j 个未知量 xj 的系数，
b1, b2 , , bm 为常数项。
定义 若常数项不全为 0，称为非齐次线性方程组； P109 否则称为齐次线性方程组 (或者导出组)。
性
方
则线性方程组 A X = b 与 B X = P b 同解(即解不变)。
程
组
称此为线性方程组同解变形 。
它是后面(高斯)消元法的基础。
思考 可否进行列初等变换？
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§4.1 线性方程组的基本概念
第 四 章
线 性 方 程 组
轻松一下吧 ……
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§4.1 线性方程组的基本概念
第 二、线性方程组解的存在性与惟一性
四 章
1. 线性方程组解的存在性
2. 线性方程组解的惟一性 线
性 定理 设 r ( A) r ( A b) r , 则 r n A X = b 有惟一解。
方 程
证明
(2) 若 r n, 则 r n ,
A1 , A2 , , An 线性相关，