1 2
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 x 面内转动，初始时它在水平位置 m l O 求 它由此下摆 角时的 x

解 取一质元
M mgxC
M xdm g g xdm
C
dm
由转动定律
1 M mgl cos 2
xdm mxC
m
J z :刚体绕任意轴的转动惯量 JZ ? J c :刚体绕通过质心轴的转动惯量
JC
d :两轴间垂直距离
例 均匀细棒的转动惯量
z
z
L m
L/ 2
L 1 2 J Z m mL JZ 2 3
2
1 J z ML2 12
薄板垂直轴定理
z x
y
Jz Jx Jy
2
外力矩 M
内力矩为0
转动惯量 J
刚体的转动定律 讨论
M Jβ
ri fi
h mi
-fi
(1) 与牛顿定律 F ma 比较
(2) 转动惯量 J Δmi ri
2
三. 转动惯量
定义式 质量不连续分布
J z mi ri
z
2
J z mi ri
2
dm
质量连续分布
解
· ·
设 J C k ml 2
k是一个无量纲的量 z
C
立方体绕棱边z的转动惯量为
l 2 1 J z J C m( ) (k ) ml 2 2 2
分成八个相同的小立方体
· ·
他们绕各自棱边的转动惯量为 1 m l 2 J小 (k )（ ） （ ） 2 8 2 八个相同的小立方体绕棱边的转动惯量=JC 1 8 1 k (k ) k J C 8J小 32 2 6
m
G T T t h
v0=0
mg T ma
运动学方程
a
a R
1 2 h at 2
mg
gt 2 Jo ( 1)mR 2 1.14kg m 2 2h
例 一不变的力矩M作用在绞车的鼓轮上使轮顺时针转动，如图 所示。 绳子的质量忽略不计， 鼓轮可看作均质圆柱。 开始时此系统静止， M 求 鼓轮转过角j 时，绳中的张力及鼓轮的角速度 r m1 解 对鼓轮 使用转动定律 m2
(2)
rO
T F
T
Fr 98 0.2 39.2 rad/s 2 J 0.5
mg
mg T ma Tr J a r
mgr 2 J mr 98 0.2 2 21 . 8 rad/s 2 0.5 10 0.2
例 一个作定轴转动的轮子，对轴的转动惯量为J=2.0kg．m2 ， 正以角速度ω0匀速转动。现对轮子加一恒定的力矩 M=-7.0N·m，经过时间t=8.0s时轮子的角速度为-ω0 求 ω0
d 解 M J dt
0 Mdt
t
0
0
Jd
Mt 2 J 0
0 14rad / s
例 R=0.2m, m=1kg, h=1.5m, v0=0 。绳轮无相对滑动，轻绳不 可伸长，下落时间t=3s
求 J0
解 由转动定律得
N

R 定轴O
TR J 0
由牛顿定律得
则填满后的总质量为m+m/
m m/ π R2 R2 2 2 / m πr r
2 mr m/ 2 2 (R r )
1 J 满 （m m /）R 2 2
J小o
1 / 2 m r m/ d 2 2
J J 满 J 小o
d
例 求均匀立方体(边长l、质量m)绕通过面心的中心轴的转动惯量
mg
dm g
M 1 3 3g cos d d mgl cos 2 J 2 ml 2l dt d 3 g cos 3g sin 2 d d 2l l 0 0
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止 求 到圆盘静止所需时间 解 取一质元
§6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一. 力矩
• •
力
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度 z
定义： 力 F 的大小与 O 点到 F 的
作用线间垂直距离 h 的乘积
Mz
O

M z ( F ) Fh Fr sin 矢量式 Mz r F
(3) J 与转轴的位置有关 z O M L z M x O
L/ 2
R dr r O
m
L dm
2
J
L
0
1 2 x dx ML 3
2
dm
x
1 J x dx ML2 L / 2 12
结论：刚体的转动惯量与刚体的质量、质量分布和转 轴的位置均有关
平行轴定理
z d C
J z J c md 2
m, a
根据牛顿第二定律，第 i 个质元
圆周轨迹切线投影 同乘以 ri 对所有质元求和
Fi fi mi ai
外 力
内 力
Fi fi mi ai Fi ri fi ri mi ai ri mi ri 2β
ai=ri
Fi r i fi r i ( mi ri ) β
dm ds 2π rdr

R
dM rdf r gdm
R

2 摩擦力矩 M dM mgR 0 3 2 1 d 2 d 由转动定律 M J mgR mR 3 2 dt dt t 0 3R 3R 0 t 0 dt 0 4gd 4g
m
J R dm R
2 0
2 m
0
2 mR dm
问题
质量分布的均匀性对圆环绕 中心轴旋转的转动惯量有影响吗?
例 质量均匀分布的圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
ds 2π rdr m 2mr 2π rdr 2 dr dm ds 2 πR R R 2m 3 m 2 m 2 J r dm 2 r dr R 0 R 0 2
说明

F
(1) 力对任意点的力矩，在通过该点 的任一轴上的投影，等于该力对 该轴的力矩。
(2) 力矩随参考点而变
O r
A
F
例 已知棒长 L ,质量 m，在摩擦系数为 的桌面转动 (如图) 求 摩擦力对转轴的力矩
m df dm g 解 dm dx m L L m 根据力矩 dM gxdx O x L L m 1 d x M gxdx mgL 0 L 2
z 例 求对薄圆盘的一条直径的转动惯量
m 圆盘 R
1 2 已知 J z mR 2 Jz Jx Jy
垂直轴定理
C
y
Jx Jy
1 J x J y mR 2 4
x
例 求对过圆环中心且垂直于圆 环平面的转轴O 的转动惯量
解 J 棒，c
3r
m
m r O

C
1 m(3r ) 2 12
m
Байду номын сангаас
r
J r dm
2 V
•
转动惯量的三个要素
z M dm L x
(1) J 与刚体的总质量有关 例 两根等长、质量均匀分布的
O
x
细木棒和细铁棒 绕端点轴 转动惯量 L 2 L 2 M 1 2 J x dx 0 x dx ML 0 L 3

J铁 J木
R O m
(2) 当刚体质量一定，J 与质量分布有关 dm 例 圆环绕中心轴旋转的转动惯量
M J
刚体的定轴转动定律
M kJ
M z Jz
刚体绕 z 轴转动 的角加速度
作用在刚体上所有的外力对 刚体对 z 轴 定轴 z 轴的力矩的代数和 的转动惯量 说明 (1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同 (3) 与牛顿定律比较： M F, J
即
1 J C ml 2 6
五. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98N 的 拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5kg· m2，飞轮与转轴间的摩擦不 计， 求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P=98N的物体挂在绳
端，试计算飞轮的角加速度 解 (1) Fr J
例 一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量
1 2 J ml ，现用一水平冲力作用于距轴为 l' 处 3
求 轴对棒的作用力(也称轴反力)。 解 设轴对棒的作用力为 N , 由转动定律
Ny
O
Nx
Nx, N y
Fl ' J
l' F
C
mg
l 质点系 由质心运 F N x macx m 2 l 2 动定理 N y mg macy m 0 打击中心 2 ml Fl ' 3l ' 2 Nx F F ( 1) l' l Nx 0 2 J 2l 3 N y mg • 质心运动定理与转动定律联用
J 棒，O
3 2 J 棒，C m( r r ) 2
J 环,o mr
2
J O J 环，O J 棒，O 8mr 2
例 从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系 统的质量为m,两圆盘中心O 和O′相距为d ，且(d + r) < R 求 挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的转动惯量 解 使用补偿法 设小圆盘的质量为m/ R O m O′ r