·
R m
1 1 2 2 v gh 0 = JOω + m −m 2 2 1 2 JO = M R v = Rω 2
Ep = 0
h
v0=0
4m gh v= 2m+ M
例 弹簧与均质杆相连 把杆拉至水平 弹簧与均质杆相连,把杆拉至水平 已知弹簧的原长 l0=20cm, OO1=40cm, k =4.9N/m 杆长 l=30cm, m =98kg 求 杆运动到竖直位置时的角速度 解 研究对象:杆和弹簧 研究对象 杆和弹簧 受力分析: 受力分析 N不作功 不作功 各力的做功情况: 各力的做功情况 F和mg作功 和 作功 O
λ1 =30cm
λ2 =10cm
1 2 JO1 = ml 3
1 2 1 1 2 1 kλ 1 = mgl + kλ 2+ Jω 2 2 2 2 2
ω = 5.72 rad / s
例 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体 装在转 动架上，转轴 上装一半径为 的轻鼓轮， 动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕 在鼓轮上， 的重物。 在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。 重物下落时， 轴转动。 重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得 重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t， 物体A对 轴的转动惯量Jz。 求 物体 对Z 轴的转动惯量 。设绳子 不可伸缩，绳子、 不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴 处的摩擦力矩忽略不计。 处的摩擦力矩忽略不计。 解 分析 机械能) 分析(机械能 机械能
•
l,m
Ep = 0
B
θ
l Ep2 = −m sinθ g Ep1 = 0 N 4 • 1 O Ek1 = 0 ， Ek2 = JOω2, • 2 1 l 2 JO = JC +m 2 d JOω −m sinθ = 0 g mg 2 4 6gsinθ 1 2 l 2 7 2 ω =2 JO = m +m ) = m l ( l 7l 12 4 48
ω
例 一匀质圆盘 忽略轴处的摩擦力, 一匀质圆盘,忽略轴处的摩擦力 忽略轴处的摩擦力 求 物体 下落高度h 时的速度 物体m下落高度 下落高度 解 选(滑轮、物体、地球) 滑轮、物体、地球 滑轮 为研究系统，只有重力作功， 为研究系统，只有重力作功， E守恒。 守恒。 守恒
绳子不计质量且不伸长
M 定轴O 定轴
(
)
二. 力矩的功
力的累积过程——力矩的空间累积效应 力矩的空间累积效应 力的累积过程
•
功的定义
r r dA = F ⋅ dr = Fcosθds
= Frcosθdθ
ω
O
dθ
= F rdθ τ
=M θ d
力矩作功的微分形式 力矩作功的微分形式
r r dr r' r .θ r P
v F
•
对一有限过程
θ2
积分形式) A = ∫ M θ (积分形式 d 积分形式
θ1
若M=C
A=M(θ2 −θ1)
讨论 (1) 合力矩的功 A=
(2) 力矩的功就是力的功。 力矩的功就是力的功。
∫ ∑Midθ = ∑∫ θ θ i i
1
θ2
θ2
1
Midθ = ∑A i
i
(3) 内力矩作功之和为零。 内力矩作功之和为零。
取 ∆ i ,其动能为 m 其动能为
r vi
P
• ∆mi
1 2 1 Eki = ∆mvi = ∆mr2ω2 i i i 2 2
刚体的总动能
各质量元速度不同， 各质量元速度不同， 但角速度相同
结论 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯 量与其角速度平方乘积的一半
1 1 1 2 2 2 2= J 2 ω Ek = ∑Eki = ∑ ∆mr ω = ∑ mr ω ∆ ii i i 2 2 2
此题也可用机械能守恒定律方便求解
mg
例 均匀直杆质量 m,长为 。初始水平静止，轴光滑，AO =l /4 ,长为l。初始水平静止，轴光滑， 求 杆下摆 角后的角速度ω 杆下摆θ角后的角速度 角后的角速度 解 选(杆+地球 系统，只有 地球)系统 杆 地球 系统， 重力作功，E守恒。 重力作功， 守恒 A O
θ2
ω2
•
刚体的机械能 刚体重力势能
• ∆m i
E = EK + EP
Ep = ∑∆mgh i i
C•
∑∆mihi = mghC =m g
m
质心的势能
h C
h i EP = 0
1 2 刚体的 gh 机械能 E = 2 Jω +m C
•
刚体的机械能守恒
1 2 Jω +m C = C gh 2
对于包括刚体的系统， 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立
dh =v， = a dv dt dt m 2 gr a= 2 =常 量 m + JZ r
m 2 2 1at2 = 1 gr t h= 2 2m 2 + JZ r
若滑轮质量不可忽略，怎样？ 若滑轮质量不可忽略，怎样？
gt2 JZ = m 2( −1 r ) 2h
三. 转动动能定理 —— 力矩功的效果 dω 1 2 d dA= M θ = (J )dθ = Jω ω = d( Jω ) d dt 2
对于一有限过程
1 2 1 2 1 2 A = ∫ dA = ∫ d( Jω ) = Jω2 − Jω = ∆Ek 1 θ1 ω 2 2 1 2
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量， 绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过 程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。 程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定 轴转动刚体的—— ——动能定理 轴转动刚体的——动能定理
的均匀细直棒， 例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动， 面内转动，初始时它在水平位置 求 它由此下摆 θ 角时的 ω
Байду номын сангаас
1 解 M = m cosθ gl 2
由动能定理
θ θ
O
•
m
l
x
θ
•C
l A = ∫ M θ = ∫ m cosθdθ d g 0 0 2 1 2 lm g 1 2 l = sinθ −0= Jω −0 J = m 3 2 2 3gsinθ 3gsinθ 1/ 2 2 ω = ω =( ) l l
EP1 = 0 Ek1 = 0
EP2 = −m gh
Ek2 = mv2 / 2+ JZω2 / 2
=v2(mr2 + JZ ) / (2r2)
机械能守恒
− m +v (m + JZ ) / (2r ) = 0 gh r
2 2 2
v2 (m 2 + J ) m = 2 r gh Z 2r
dh = 2 dv 1 (m 2 + J ) m g v r 2 Z dt dt 2r
§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能 设系统包括有 N 个质量元 z ∆m ,∆m ,......., ∆m,......, ∆mN 1 2 i ω rr r r r ,r ,.....r,.....rN 1 2 i r r r r r ri O v1,v2 ,......,vi ,......vN
但都是保守力作功,所以机械能守恒 但都是保守力作功 所以机械能守恒 选定势能的零参考点 原长,水平位置 原长 水平位置 O1
N
F
mg
水平位置: 水平位置
EP1 = 0
1 P 竖直位置: 竖直位置 E 1 = mgl 2 1 E杆转 = Jω 2 2
所以
1 2 E弹 = kλ 1 2 1 2 E弹 = kλ 2 2