例 2：把多项式 3( x 4) x(4 x) 分解因式
解析：由于 4 x ( x 4) ，多项式 3(x 4) x(4 x) 可以变形为 3(x 4) x( x 4) , 我们可以发现多项式各项都含有公因式（ x 4 ） , 所以我们可以提取公因 式（ x 4 ）后 , 再将多项式写成积的形式 .
解： 3(x 4) x(4 x)
=3(x 4) x(x 4)
=(3 x)( x 4)
例 3：把多项式 x2 2 x 分解因式 解： x2 2x = (x2 2x) x( x 2)
（ 2）运用公式法
.
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定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分 解因式的方法叫做运用公式法。
（4）十字相乘法（形如 x2 ( p q) x pq ( x p)( x q) 形式的多项式，可以考 虑运用此种方法）
方法：常数项拆成两个因数 p和 q ，这两数的和 p q 为一次项系数
x2 ( p q) x pq
x
p
.
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x
q
x2 ( p q)x pq (x p)( x q)
例：分解因式 x2 x 30
注意： 提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项 式中第一项有负号的，要先提取符号。
例
1：把
2
12a b
2
18ab
33
24a b
分解因式
.
解析：本题的各项系数的最大公约数是 6，相同字母的最低次幂是 ab，故
公因式为 6ab。
解： 12 a2b 18ab2 24a3b3
6ab(2 a 3b 4a2b2 )
．
解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是 12、-8 、6，它们
的最大公约数为 2；字母部分 a3b3c,a3b2c3 , a4b2c2 都含有因式 a3b2c ，故多
项式的公因式是 2 a3b2c .
②提公因式的步骤 第一步：找出公因式；
第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式， 所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。
a.逆用平方差公式： a2 b2 (a b)(a b) b.逆用完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)2 c.逆用立方和公式： a3 b3 (a b)( a2 ab b2（) 拓展） d.逆用立方差公式： a3 b3 (a b)(a2 ab b2（) 拓展） 注意 ：① 公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
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从中考中因式分解题型看因式分解
所谓因式分解是把一个整式分成几个因式乘积的形式， 由于这种变形蕴含着变换 的数学思想和方法， 并且对于代数式的求值、 化简具有重要的意义， 所以中考中 除考察学生对因式分解的方法的选用外， 还考察了学生恒等变形的能力。 因式分 解的思路和方法始终贯穿在代数变换中，它除了在代数的恒等变形中作用巨大， 其他如分式的通分和约分，以及解方程中都起着重要作用，在根式的化简计算， 三角函数式子的恒等变形等方面也经常用。 因此在历届中考中因式分解总是以直 接和间接的方式出题， 且在分值上占有一定的比例， 总之因式分解的归类分解学 好对进一步研究其他数学问题起到至关紧要的作用
分解因式 x2 52 x 100 补充点详解 我们可以将 100 分解成 p
使 p+q=52, p ×q=100, 我
或 q=2,p=50。 所以将多 项式
解为 (x p)( x q)
x
5
x
2
x
-6
x
50
x2 x 30 ( x 6)( x 5)
x2 52x 100 ( x 50)( x 2)
3. 因式分解的一般步骤： 如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公
②选择使用公式的方法： 主要从项数上看， 若多项式是二项式可考虑平方 差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。
例 1：因式分解 a2 14a 49
解： a2
14a
49 =(a
2
7)
例 2：因式分解 a2 2a(b c) (b c)2
解： a2 2a(b c) (b c)2 =(a b c)2 （3）分组分解法（拓展）
Hale Waihona Puke 补充点详解 我们可以将 -30 分解成 p× q 的形式， × q 的形式， 使 p+q=-1, p ×q=-30, 我们就有 p=-6, 们就有 p=2,
q=5 或 q=-6,p=5 。
q=50
所以 将多 项式
2
x
(p
q)x
pq 可 以 分
x2 ( p q) x pq 可以分
解为 ( x p)( x q)
一、 知识梳理
1. 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。 即：多项式 几个整式的积 例： 1 ax 1 bx 1 x(a b) 333
因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。 2. 因式分解的方法：
（1）提公因式法： ①定义：如果多项式的各项有 公因式 ，可以把这个公因式提到括号外面，
将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。 公因式： 多项式的各项都含有的相同的因式。 公因式可以是一个数字或字
母，也可以是一个单项式或多项式。 系数 —— 取各项系数的最大公约数 字母 —— 取各项都含有的字母 指数 —— 取相同字母的最低次幂
.
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例： 12a3b 3c 8a3b 2c3 6a 4b 2c2 的公因式是
①将多项式分组后能提公因式进行因式分解； 例：把多项式 ab a b 1 分解因式
解： ab a b 1 =(ab a) (b 1) =a(b 1) (b 1) (a 1)(b 1)
②将多项式分组后能运用公式进行因式分解 .
例：将多项式
2
a
2ab
1
b2 因式分解
解： a2 2ab 1 b2 =(a2 2ab b2 ) 1 (a b) 2 1 ( a b 1)(a b 1)
式法；若是四项或四项以上的多项式， 通常采用分组分解法， 最后运用十字相乘法分解因式。 因此，可以概括为：“一
提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。 注意 ：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止， 否则就是不完全的
因式分解， 若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解， 应该是指在有理 数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个 整式的积的形式 。 二、 例题解析 提公因式法