第四章 函数的连续性习题§1 连续性概念1. 按定义证明下列函数在其定义域内连续:(1)()xx f 1=; (2) ()x x f = 2. 指出下列函数的间断点并说明其类型:(1)()x x x f 1+=; (2)()xx x f sin =; (3)()[]x x f cos =; (4)()x x f sgn =; (5)()()x x f cos sgn =; (6)()⎩⎨⎧-=为无理数;为有理数,x x x x x f ,,(7)()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<--≤≤--<<-∞+=x x x x x x x x f 1,11sin 117,7,71 3. 延拓下列函数,使其在R 上连续:(1)()283--=x x x f ; (2)()2cos 1x x x f -=; (3)()x x x f 1cos =.4. 证明:若f 在点0x 连续,则f 与2f 也在点0x 连续。
又问:若f 与2f 在I 上连续,那么f 在I 上是否必连续?5. 设当0≠x 时()()x g x f ≡,而()()00g f ≠。
证明:f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续6. 设f 为区间I 上的单调函数。
证明:若I x ∈0为f 的间断点,则0x 必是f 的第一类间断点7. 设f 只有可去间断点,定义()()y f x g xy →=lim ,证明:g 为连续函数8. 设f 为R 上的单调函数,定义()()0+=x f x g ,证明:g 在R 上每一点都右连续 9. 举出定义在[]1,0上分别符合下述要求的函数: (1)只在41,31,21三点不连续的函数; (2)只在41,31,21三点连续的函数;(3)只在() ,2,11=n n上间断的函数;4)只在0=x 右连续,而在其他点都不连续的函数§2 连续函数的性质1. 论复合函数g f 与f g 的连续性,设(1)()x x f sgn =,()21x x g +=;(2)()x x f sgn =,()()x x x g 21-=. 2. 设g f , 在点0x 连续,证明:(1)若()()00x g x f >,则存在()δ,0x ,使在其内有()()x g x f >; (2)若在某()00x 内有()()x g x f >,则()()00x g x f >3. 设g f , 在区间I 连续.记()()(){}()()(){}x g x f x G x g x f x F ,min ,,max ==.证明:G F ,也在I 上连续.4. 设f 为R 上连续函数,常数0>c .记()()()())⎪⎩⎪⎨⎧>≤-<-=,,,,,,c x f c c x f x f c x f c x F 若若若证明:F 在R 上连续.5.设()()⎩⎨⎧>+≤-==.0,,0,,sin x x x x x g x x f ππ证明:复合函数g f 在0=x 连续,但g 在0=x 不连续.6.设f 在[)+∞,a 上连续,且()x f x +∞→lim 存在.证明:f 在[)+∞,a 上有界.又问f 在[)+∞,a 上必有最大值或最小值吗?7.若对任何充分小的0>ε,f 在[]εε-+b a ,上连续,能否由此推出f 在()b a ,内连续. 8.求极限:(1)()x x x tan lim 4-→ππ; (2)1121lim 21+--++→x x x x x . 9.证明:若f 在[]b a ,上连续,且对任何[]()0,,≠∈x f b a x ,则f 在[]b a ,上恒正或恒负. 10.证明:任一实系数奇次方程至少有一个实根.11.试用一致连续的定义证明:若g f ,都在区间I 上一致连续,则g f +也在区间I 上一致连续.12.证明:()x x f =在区间[)+∞,0上一致连续.13.证明:()2x x f =在区间[]b a ,上一致连续,但在区间()+∞∞-,上不一致连续. 14.设函数f 在区间I 上满足利普希芝条件,即存在常数0>L ,使得对I 上任意两点///,x x 都有()()//////x x L x f x f -≤-.证明:f 在I 上一致连续.15.证明:x sin 在()+∞∞-,上一致连续.16.设函数f 满足第6题的条件.证明:f 在[)+∞,a 上一致连续.17.设f 在[]a 2,0上连续,且()()a f f 20=.证明:存在点[]a x 2,00∈,使得()()a x f x f +=0018.设f 为[]b a ,上的增函数,其值域为()()[]b f a f ,.证明:f 为[]b a ,上连续. 19.设f 为[]b a ,上连续.,[]b a x x x n ,,,,21∈ .证明:存在[]b a ,∈ξ,使得 ()()()()[]n x f x f x f nx f +++=211. 20.证明:()x x f cos =在[)+∞,0上一致连续. §3 初等函数的连续性 1. 求下列极限:(1)()x x x e x x -+++→1ln 15cos lim 20; (2)⎪⎭⎫⎝⎛-+++∞→x x x x x lim ;(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+++→x x x x x x x 111111lim 0; (4)1lim++++∞→x xx x x ; (5)()xx x cot 0sin 1lim +→.2. 设b b a a n n n n =>=∞→∞→lim ,0lim .证明:bbn n a a n =∞→lim .总练习题1. 设函数f 在()b a ,内连续,且()0+a f 与()0-b f 为有限值.证明:(1)f 在()b a ,内有界;(2)若存在()b a ,∈ξ,使得()()(){}0,0max -+≥b f a f f ξ,则f 在()b a ,内能取到最大值.2.设函数f 在()b a ,内连续,且()()+∞=-=+00b f a f .证明:f 在()b a ,内能取到最小值.3.设函数f 在区间I 上连续,证明:(1)若对任何有理数I r ∈有()0=r f ,则在I 上()0≡x f ;(2)若对任意两个有理数2121,,r r r r <,有()()21r f r f <,则f 在I 上严格增. 4.设321,,a a a 为正数,321λλλ<<.证明:方程0332211=-+-+-λλλx a x a x a 在区间()21,λλ与()32,λλ内各有一个根.5.设f 在[]b a ,上连续,且对任何[]b a x ,∈,存在[]b a y ,∈,使得 ()()x f y f 21<. 证明:存在[]b a ,∈ξ,使得()0=ξf .6.设f 在[]b a ,上连续,[]b a x x x n ,,,,21∈ ,另有一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ .证明:存在一点[]b a ,∈ξ,使得()()()()n n x f x f x f f λλλξ+++= 22117.设f 在[)+∞,0上连续,满足()[)+∞∈≤≤,0,0x x x f .设(),,011n n a f a a =≥+,2,1=n .证明:(1){}n a 为收敛数列; (2)设t a n n =∞→lim ,则有()t t f =;(3)若条件改为()[)+∞∈<≤,0,0x x x f ,则0=t .8.设f 在[]1,0上连续,()()10f f =.证明:对任何正整数n ,存在[]1,0∈ξ,使得()ξξf n f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+1.9.设f 在0=x 连续,且对任何R y x ∈,有()()()y f x f y x f +=+.证明: (1)f 在R 上连续; (2)()()x f x f 1=.10.设定义在R 上的函数f 在1,0两点连续,且对任何R x ∈有()()x f x f =2.证明:f 为常量函数.习题答案§1 连续性概念 2.(1)0=x ,第二类间断点;(2)0=x ,跳跃间断点;(3)() ,2,1,0±±==n n x π,可去间断点;(4)0=x ,可去间断点;(5)() ,2,1,02±±=+=k k x ππ,跳跃间断点;(6)除0=x 外每一点都是跳跃间断点;(7)7-=x 为第二类间断点,1=x 为跳跃间断点.§2 连续函数的性质1.(1)g f 处处连续,f g ,0=x 为可去间断点; (2)g f ,1,0,1-=x 为跳跃间断点,f g 处处连续.8.(1)π43;(2)23. §3 初等函数的连续性1.(1)6;(2)21;(3)1;(4)1;(5)e . 典型习题解答1.(§1 第6题)设f 为区间I 上的单调函数。
证明:若I x ∈0为f 的间断点,则0x 必是f 的第一类间断点证明;取()I x ⊂+00 ,则f 在()00x + 上单调有界,从而()00+x f 存在,又取()I x ⊂-00 ,则f 在()00x - 上单调有界,所以()00-x f 存在,但f 在点0x 不连续,因此0x 是f 的第一类间断点.2.(§1 第7题)设f 只有可去间断点,定义()()y f x g xy →=lim ,证明:g 为连续函数证明:设0x 为f 的定义域内的任意点.因为()()y f x g xy →=lim ,所以0,01>∃>∀δε,使得当()100,δx y ∈时,有()()ε<-0x g y f (1)()()()100200100,,,,δδδx x x x ⊂∃∈∀,当()200,δx y ∈时,(1)成立,从而()()ε≤-→00lim x g y f x y 即()()ε≤-0x g x g因此()x g 在点0x 连续,由0x 的任意性,()x g 为连续函数. 3.(§2 第12题)证明:()x x f =在区间[)+∞,0上一致连续.证明:因为[)+∞∈∀,0,///x x ,有()/////////2///x x x x x x xx -=+-≤-所以0>∀ε,取2εδ=,对[)+∞∈∀,0,///x x ,只要δ<-///x x ,就有ε<-///x x因此x 在区间[)+∞,0上一致连续.4.(§2 第13题)证明:()2x x f =在区间[]b a ,上一致连续,但在区间()+∞∞-,上不一致连续.证明:由()2x x f =在区间[]b a ,上连续,故()2x x f =在区间[]b a ,上一致连续 下证()2x x f =在区间()+∞∞-,上不一致连续.取10=ε,取n n x n n x n n 1,2///+=+=,则nx x n n 1///=- 于是0>∀δ,存在0n ,使得δ<=-0///100n x x n n ,但 ()()020200200///1321200ε=>+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-n n n n n x f x f n n 所以()2x x f =在区间()+∞∞-,上不一致连续.5.(总练习题 第8题)设f 在[]1,0上连续,()()10f f =.证明:对任何正整数n ,存在[]1,0∈ξ,使得()ξξf n f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+1证明:当n =1时,取0=ξ即可当1>n 时,考虑()()x f n x f x F -⎪⎭⎫⎝⎛+=1,则有()0110=⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n F n F F 于是()0111101=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n F n n F n F n 由第6题,存在[]1,0∈ξ,使得 ()()0111101=⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n F n n F n F n f ξ 即()ξξf n f =⎪⎭⎫⎝⎛+1 6.(总练习题 第10题)设定义在R 上的函数f 在1,0两点连续,且对任何R x ∈有()()x f x f =2.证明:f 为常量函数.证明:R x ∈∀,有()()()()()x f x f x f x f ==-=-22,故f 为偶函数.只考虑f 在[)+∞,0上的情况0>∀x ,有()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x f x f x f x f 2121212 所以 ()()()1lim lim lim 2121f x f x f x f x f n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∞→∞→∞→ 于是()()()()11lim lim 00f f x f f x x ===++→→ 所以 ()()R x f x f ∈∀=,1.。